測度論
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集合 $X$ について、$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ が以下の 3 条件を満たす...
可測空間とは、集合とその上の σ 加法族の組のことである。測度論では、まず「どの部分集合を測れるものとして扱うか」を決める必要が...
測度とは、集合の「大きさ」を非負実数または無限大で表す関数である。長さ・面積・体積といった直観的な概念を抽象化し、統一的に扱うた...
外測度は、あらゆる部分集合に対して「大きさ」を定義しようとする概念である。ただし外測度は一般に加法性を満たさないため、適切な部分...
ボレル集合族は、位相空間上で測度論を展開する際の標準的な σ 加法族である。開集合や閉集合といった位相的に自然な集合をすべて含み...
ルベーグ測度は、$\mathbb{R}^n$ 上で長さ・面積・体積の概念を一般化した測度である。リーマン積分では扱えなかった関数...
ルベーグ可測集合は、外測度によるカラテオドリ条件を満たす集合として定義される。ボレル集合をすべて含み、測度 0 の集合の部分集合...
ルベーグ測度の平行移動不変性は、「長さ」や「体積」の直観に合致する基本的な性質である。集合を空間内で動かしても、その大きさは変わ...
選択公理を認めると、ルベーグ非可測集合の存在が証明できる。最も有名な構成がヴィタリによるもので、$\mathbb{R}$ の任意...
可測関数は測度論的積分の対象となる関数である。位相空間における連続関数の類似物であり、可測集合の逆像が可測であるという条件で定義...
ルベーグ積分は、関数の値域を分割して積分を定義するという発想に基づく。リーマン積分が定義域の分割に依存するのに対し、ルベーグ積分...
単調収束定理は、ルベーグ積分における最も基本的な収束定理である。非負可測関数の単調増加列に対して、積分と極限の交換を保証する。 ...
ファトゥの補題は、非負可測関数列の下極限に関する不等式である。等号が成り立つとは限らないが、積分の下からの評価を与える基本的な道...
ルベーグの収束定理（優収束定理）は、可測関数列の積分と極限の交換を保証する最も実用的な定理である。可積分な優関数の存在を仮定する...
リーマン積分とルベーグ積分は、ともに関数の「面積」を定義するが、その方法と適用範囲は異なる。リーマン積分可能な関数はルベーグ積分...
2 つの測度空間の直積上に自然な測度を構成することを考える。積 σ 加法族と積測度の概念は、多変数関数の積分を 1 変数の反復積...
フビニ・トネリの定理は、積空間上の積分を反復積分として計算することを正当化する。多変数の積分を 1 変数ずつの積分に分解する際の...
$L^p$ 空間は、$p$ 乗可積分な関数のなす空間である。関数解析における基本的な関数空間であり、ノルム構造やバナッハ空間とし...
ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式は、$L^p$ 空間の理論における基本的な不等式である。前者は積の積分を各因子のノルムで...
$L^p$ 空間がノルムに関して完備であること、すなわちバナッハ空間であることは、関数解析における $L^p$ 空間の有用性を支...
$L^2$ 空間は $L^p$ 空間の中でも特別な位置を占める。内積が定義でき、ヒルベルト空間の構造を持つため、直交性や射影とい...
