大学で習う微分積分の適当ぶっこいたメモ。更新予定はありません。
微分積分
オイラーの公式は三角関数と指数関数の関係を表しています。オイラーの公式の θ を π にするとオイラーの等式が出てきます。
**切断の定義** 数の集合 $X$ の部分集合 $A,\ B$ について、 $X$ に属するすべての数が $A$ または $B...
「解析概論（高木貞治著）」は微分積分の専門書です。微分積分を一から説明しているように見えますが、イプシロンデルタ論法などの数学独...
Vieta's Formula から平方根の積が円周率に等しいことがわかる．
陰関数 $F(x,y) = 0$ について、点 $(a,b)$ で $F(a,b) = 0$ かつ $\frac{\partia...
実数の関数 $f(x)$ がある点 $a$ で**連続**であるとは、次の条件が成り立つことをいいます。 \[ \forall ...
数列の極限を厳密に定義するのが ε-N 論法です。「限りなく近づく」という直観を、不等式を用いて正確に表現します。 数列の収束の...
関数の極限を厳密に定義するのが ε-δ 論法です。$x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が $L$ に近づく、という直...
一様連続性は連続性を強めた概念で、$\delta$ の取り方が点 $a$ によらないという性質です。 連続性の復習 $f$ が点...
微分は関数の「瞬間的な変化率」を表す概念であり、接線の傾きとして幾何学的に解釈できます。 微分係数の定義 関数 $f$ の点 $...
平均値の定理は微分法の基本定理であり、関数の大域的な振る舞いと局所的な微分係数を結びつけます。 ロルの定理 平均値の定理の特別な...
テイラー展開は関数を多項式で近似する方法であり、マクローリン展開は $x = 0$ のまわりでの展開です。 テイラーの定理 $f...
逆関数の微分は、元の関数の微分と逆数の関係にあります。この関係を使って、対数関数や逆三角関数の導関数を求めることができます。 逆...
リーマン積分は「面積」の概念を厳密に定義したものであり、区間を細かく分割して長方形の面積の和の極限をとります。 分割とリーマン和...
微分積分学の基本定理は、微分と積分が互いに逆の操作であることを示す定理です。この定理により、積分の計算が原始関数を求める問題に帰...
広義積分は、積分区間が無限であったり被積分関数が発散する点をもつ場合に、積分の概念を拡張したものです。 無限区間での広義積分 $...
積分の計算では、置換積分と部分積分という二つの基本テクニックを使いこなすことが重要です。 置換積分 $x = g(t)$ という...
級数は無限個の数の和であり、その収束・発散の判定は解析学の基本的なテーマです。 級数の収束 数列 $\{a_n\}$ に対し、部...
べき級数は多項式の自然な拡張であり、関数を無限次の多項式として表現する方法です。 べき級数の定義 $a$ を中心とするべき級数と...
一様収束は関数列の収束の強い形式であり、極限操作と積分・微分の順序交換を正当化する上で重要です。 各点収束の復習 関数列 $\{...
偏微分は多変数関数の各変数についての微分であり、全微分は多変数関数の線型近似を与えます。 偏微分の定義 $f(x, y)$ を2...
重積分は多変数関数の積分であり、面積や体積の計算に使われます。 二重積分の定義 有界閉領域 $D \subset \mathbb...
逆関数定理と陰関数定理は、多変数の微分法における基本的な存在定理です。非線型方程式を局所的に解くことを保証します。 逆関数定理 ...
テイラー展開の計算問題を通じて、展開の手順と応用を身につける。 問題1：基本的なマクローリン展開 $f(x) = e^{-x^2...
陰関数定理の計算問題を通じて、陰関数の微分と接線の求め方を身につける。 問題1：陰関数の1階微分 $x^2 + y^2 = 25...
収束半径の計算問題を通じて、べき級数の収束域を判定する技術を身につける。 問題1：比判定法 $\displaystyle \su...
べき級数の計算問題を通じて、級数の操作と関数表現を身につける。 問題1：べき級数の和 $\displaystyle \sum_{...
偏微分の計算問題を通じて、多変数関数の微分の技術を身につける。 問題1：基本的な偏微分 $f(x, y) = x^3 y + x...
全微分の計算問題を通じて、近似や誤差評価の技術を身につける。 問題1：全微分の計算 $f(x, y) = x^2 y + xy^...
重積分の計算問題を通じて、積分順序の変更や変数変換の技術を身につける。 問題1：累次積分 $\displaystyle \iin...
逆関数定理の計算問題を通じて、逆写像の微分とヤコビ行列の関係を身につける。 問題1：1変数の逆関数の微分 $f(x) = x +...
数列の極限の計算問題を通じて、様々な極限計算のテクニックを身につける。 問題1：基本的な極限 $\displaystyle \l...
微分の基本計算を様々なパターンで練習する。合成関数、対数微分法、媒介変数表示などの技法を身につける。 問題1：合成関数の微分 $...
ロピタルの定理を用いた極限計算の問題を練習する。不定形の判定と適用条件に注意する。 問題1：$\frac{0}{0}$ 型 $\...
平均値の定理を用いて不等式を証明する問題を練習する。定理の幾何学的意味を理解して応用する。 問題1：基本的な不等式 $x > 0...
置換積分は積分計算の最も基本的な技法である。様々なパターンを通じて、適切な置換の選び方を身につける。 問題1：基本的な置換 $\...
部分積分は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ の公式に基づく技法である。どちらを $u$ に...
有理関数の積分は部分分数分解によって基本的な形に帰着させる。分母の因数分解が鍵となる。 問題1：単純な部分分数 $\displa...
三角関数の積分は、冪の形や積の形に応じて適切な公式や置換を選ぶ。パターンを覚えることが重要である。 問題1：$\sin^n x$...
広義積分は積分区間が無限または被積分関数が発散する場合の積分である。収束・発散の判定と計算を練習する。 問題1：無限区間（基本）...
級数の収束判定は様々な判定法を使い分ける必要がある。各判定法の適用条件を理解することが重要である。 問題1：比較判定法 $\di...
一様収束は関数列や級数の収束の強さを表す概念である。項別微分・積分の正当化に必要となる。 問題1：一様収束の定義確認 $f_n(...
フーリエ級数は周期関数を三角関数の無限和で表す方法である。係数の計算と収束を練習する。 問題1：矩形波のフーリエ級数 $f(x)...
ラグランジュの未定乗数法は、制約条件付きの極値問題を解く強力な方法である。 問題1：基本的な問題 $f(x, y) = x^2 ...
線積分はベクトル場に沿った積分であり、仕事やポテンシャルの計算に現れる。経路の向きに注意する。 問題1：スカラー場の線積分 $\...
面積分と発散定理・Stokesの定理は、多変数解析の集大成である。定理を使いこなす計算力を養う。 問題1：スカラー場の面積分 $...
変数変換とヤコビアンは、積分領域を簡単にするための強力な道具である。適切な変換の選択が鍵となる。 問題1：極座標変換 $\dis...
$\varepsilon$-$\delta$ 論法は関数の極限を厳密に定義し証明するための言語である。論証力を養う。 問題1：基...
連続性と一様連続性の判定問題を練習する。定義に基づく証明と反例の構成を学ぶ。 問題1：連続性の証明 $f(x) = x^2$ が...
中間値の定理は連続関数の基本的な性質であり、方程式の解の存在証明や近似解法に応用される。 問題1：解の存在 $x^3 - x -...
変数分離形は最も基本的な微分方程式の型であり、両辺を積分することで解ける。 問題1：基本形 $\frac{dy}{dx} = x...
1階線形微分方程式は積分因子を用いて解く。標準形に変形することがポイントである。 問題1：基本形 $\frac{dy}{dx} ...
数列の極限を考えるとき、収束しない数列には通常の意味での極限値が存在しません。しかし、どんな有界数列にも「上側からの極限」と「下...
数列が収束するかどうかを判定したいとき、極限値そのものがわからなくても判定できる方法があります。「項どうしの距離がどんどん近づい...
有界な数列は、どんなに複雑に振動していても、必ずどこかに収束する部分列を含んでいます。これがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定...
関数列 $\{f_n\}$ が極限関数 $f$ に「収束する」とはどういうことかを考えるとき、各点収束と一様収束という 2 つの...
関数級数 $\sum f_n(x)$ の和として定義された関数を微分したり積分したりするとき、$\sum$ と $\frac{d...
置換積分は、被積分関数の中に合成関数の構造を見抜き、変数を置き換えることで積分を簡単にする手法です。ここでは様々なパターンの置換...
二重に並んだ数の和 $\sum_{m,n} a_{mn}$ を計算するとき、「先に $m$ で足してから $n$ で足す」のと「...
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