集合と位相

位相幾何学で習う位相の定義。位相は距離を一般化した概念です。

単射 X = {1, 2, 3}, Y = {A, B, C, D}, f: X → Y について 1 → A 2 → B 3 ...

半順序集合とは、「順序」が定義された集合のこと。 集合 $X$ と二項関係 $\leq$ の組 $(X, \leq)$ が半順序...

半順序集合 $(X, \leq)$ において、$u \in X$ が部分集合 $A \subseteq X$ の上界であるとは ...

ハウスドルフ空間（Hausdorff space）は、位相空間論における重要な分離公理の一つです。異なる 2 点を互いに交わらな...

最も単純なハウスドルフでない空間の例は、密着位相（indiscrete topology）を持つ空間です。 集合 $X = \{...

ハウスドルフ空間では、収束する点列の極限が一意に定まります。つまり、ある点列が2つの異なる点に収束することはありません。この性質...

点列の極限が一意であることとハウスドルフであることは、一般には必要十分ではありません。ハウスドルフ空間では点列の極限は一意ですが...

距離空間においては点列コンパクトとコンパクトは同値だが、一般の位相空間では異なる概念である。 定義 位相空間 $X$ が**コン...

距離空間 $(X, d)$ が**完備**であるとは、$X$ 内の任意の Cauchy 列が $X$ の点に収束することをいう。...

位相空間の族から新しい位相空間を構成する基本的な方法として、直積と直和がある。両者は圏論的に双対の関係にあり、それぞれ積と余積に...

距離空間では連続性を点列の収束で特徴づけられるが、一般の位相空間ではこの対応が崩れる。点列による特徴づけが可能な空間には第一可算...

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において、部分集合 $A \subseteq X$ の**閉包**（closur...

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において、部分集合がどれだけ「広がっているか」を表す概念として稠密集合と疎集合が...

位相空間を定義するとき、開集合系をすべて直接指定するのは煩雑です。基底や準基底を用いると、少ない情報から位相を効率的に生成できま...

位相空間における「点の周り」を捉える概念が近傍です。開集合を使わずに位相を特徴づける方法として、近傍系による公理化があります。 ...

位相空間において、異なる点をどの程度「分離」できるかを表す公理を分離公理といいます。T0とT1は最も基本的な分離公理です。 T0...

T0、T1、T2（ハウスドルフ）に続く分離公理として、正則空間と正規空間があります。これらは点と閉集合、あるいは閉集合どうしの分...

Urysohnの補題は正規空間において閉集合を連続関数で分離できることを主張する定理です。位相空間論と関数解析の橋渡しとなる重要...

Tietzeの拡張定理は、正規空間の閉部分集合上で定義された連続関数を空間全体に拡張できることを主張します。Urysohnの補題...

位相空間が「一つながり」であるかどうかを表す概念が連結性です。連結性は位相的性質であり、同相写像で保たれます。 連結空間の定義 ...

連結性には「分離できない」という意味の連結と、「道で結べる」という意味の弧状連結があります。この2つは密接に関係しますが、一般に...

位相空間を連結な部分に分解する方法として、連結成分と弧状連結成分があります。両者は似ていますが、性質に違いがあります。 連結成分...

局所連結空間 空間全体の連結性とは別に、各点の「近く」で連結性が成り立つかという局所的な性質を考えることができます。これが局所連...

コンパクト性の局所版として、各点がコンパクトな近傍を持つ空間を考えます。局所コンパクト空間は解析学や表現論で重要な役割を果たしま...

コンパクト性の変種として、可算個のコンパクト集合で覆える空間や、任意の開被覆が可算部分被覆を持つ空間があります。 σ-コンパクト...

コンパクト化と一点コンパクト化 非コンパクト空間をコンパクト空間に埋め込む操作をコンパクト化といいます。最も基本的なコンパクト化...

一点コンパクト化が最小のコンパクト化であるのに対し、Stone-Čechコンパクト化は最大のコンパクト化です。関数解析や集合論で...

Tychonoffの定理はコンパクト空間の任意個の直積がコンパクトであることを主張します。選択公理と同値であり、位相空間論の最も...

距離空間において、コンパクト性は全有界性と完備性という2つの条件に分解されます。この分解は解析学で重要な役割を果たします。 全有...

Baireのカテゴリー定理は、完備距離空間や局所コンパクトハウスドルフ空間が「大きい」ことを主張します。関数解析の基礎となる重要...

縮小写像の原理は、完備距離空間上の縮小写像が一意の不動点を持つことを主張します。微分方程式の解の存在と一意性の証明など、解析学で...

距離化可能性の条件 位相空間が距離空間として実現できるかどうかを問うのが距離化可能性の問題です。Urysohnの距離化定理が基本...

連続写像は開集合の逆像が開集合となる写像ですが、像について同様の性質を持つとは限りません。開集合の像が開集合となる写像を開写像と...

同相写像は位相空間の構造を完全に保つ写像であり、位相空間論における「同じ」の概念を与えます。同相写像で保たれる性質を位相的性質と...

商空間は、空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。トーラスやメビウスの帯など、多くの重要な空間が商空間として構成されます。...

連続写像全体の集合に位相を入れて関数空間を作ることができます。コンパクト開位相は最も標準的な位相の一つです。 関数空間の動機 位...

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。 一様連続の復習...

点列による収束の概念は距離空間や第一可算空間では十分ですが、一般の位相空間では不十分です。フィルターとネットはより一般的な収束の...

パラコンパクト性は被覆の細分に関する条件で、1の分割の存在と密接に関係します。多様体論や微分トポロジーで基本的な役割を果たします...

基本群は位相空間にループの同値類から群を対応させる不変量で、代数的位相幾何学の出発点となります。 ホモトピーの直感 2つの連続写...

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。 連続と一様連続...

パラコンパクト空間は任意の開被覆が局所有限な開細分を持つ空間です。ここではパラコンパクト空間の具体例と非例を詳しく見ていきます。...

商空間は空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。ここでは商位相の具体例を詳しく見ていきます。 区間から円周へ 最も基本的な...

稠密集合の具体例を様々な位相空間で見ていきます。特にザリスキー位相における稠密性は代数幾何学で重要な役割を果たします。 稠密集合...

距離空間の完備化は「本質的に一意」です。ここでは一意性の正確な意味と、完備化の一意性の証明を解説します。 一意性とは何か 数学で...

位相空間論は純粋数学だけでなく、計算機科学や機械学習でも重要な役割を果たします。ここでは応用上興味深い位相空間の例を紹介します。...

集合論の三大同値命題である選択公理・Zornの補題・整列可能定理の内容と、それらが互いに同値であることの証明の流れを解説します。

可算集合と非可算集合の定義を述べ、Cantorの対角線論法による実数の非可算性の証明を解説します。

被覆空間の定義を述べ、円周や トーラスなどの具体例を通じてその構造を解説します。