可換環

環とは足し算とかけ算のある集合。足し算について可換群であり、結合法則と分配法則を満たすようにかけ算も入っている。整数と多項式の集...

可換環 A のイデアル m は、m より真に大きい自明でないイデアルが存在しないとき、極大イデアルという。

可換環 $A$ のイデアル $p$ は 1. $p \neq A$ 1. $xy \in p \rightarrow x \in...

すべてのイデアルが有限生成であるような可換環をネーター環という。 ネーター環Aの多項式環A[x]はネーター環になる（ヒルベルトの...

※これはメモです。 すべての0以外の環は少なくとも一つの極大イデアルをもつ。証明は、イデアルの包含関係に順序をつけてツォルンの補...

※これはメモです。Atiyah MacDonald の命題5.13 整閉は局所化される。命題5.13を引用すると次のとおり（言葉...

ハミルトンの功績の一つに \[ a^2+b^2+c^2+d^2 \] の因数分解がある。これは実数はもちろん、複素数を使っても因...

可換代数入門（Atiyah‐MacDonald 著）は共立出版から出ている環と加群の入門書で、Introduction To C...

付置環（valuation ring）は、体 $K$ の部分環 $R$ のうちで次の条件を満たすものです。 \[ \forall...

代数的閉体（algebraically closed field）とは、すべての非定数多項式が根を持つような体のこと。つまり、体...

可換環の次元とは、環の「階層的な複雑さ」を示す概念で、幾何学的には空間の「次元」と対応します。とくに代数幾何学では、可換環と対応...

局所環とは、ただ一つの極大イデアルを持つ可換環のこと。可換環 $R$ が局所環であることは、次の条件と同値である。 $R$ はた...

可換環論では、局所環が「正則（regular）」であるとは、その極大イデアルを生成する元の最小数（生成元数）が、その環のクルル次...

体 $K$ の拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ の元 $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとは、ある $K$ 係...

局所化は可換環論における基本的な構成であり、環の一部の元を「分母として許す」操作です。代数幾何学では、多様体上のある点の近傍だけ...

分数体は整域に対して定義される体であり、整数 $\mathbb{Z}$ から有理数 $\mathbb{Q}$ を構成するプロセス...

局所化を行うと、元の環のイデアル構造が単純化されます。特に素イデアルについては、局所化後に「生き残る」ものと「消える」ものがはっ...

剰余環は環をイデアルで「割った」構造であり、準同型定理は環準同型の像と剰余環を結びつける基本的な結果です。 剰余環の構成 $R$...

根基イデアルとニルラジカルは、イデアルや環の「冪零的な振る舞い」を捉える概念です。代数幾何学では、スキームの被約性と密接に関係し...

準素イデアルは素イデアルの一般化であり、イデアルの準素分解理論の基礎となります。 準素イデアルの定義 $R$ を可換環、$Q$ ...

準素分解はイデアルを準素イデアルの共通部分として表す理論であり、整数の素因数分解の一般化と見なせます。 準素分解の定義 $R$ ...

冪零元は何乗かすると $0$ になる元であり、環の構造を理解する上で重要な役割を果たします。 冪零元の定義 $R$ を可換環とし...

整拡大は環の拡大の中でも特に良い性質をもつクラスであり、代数幾何学における有限射や整数論における代数的整数の理論の基礎となります...

整閉整域は分数体における整元をすべて含む整域であり、代数的整数論や代数幾何学で中心的な役割を果たします。 整閉整域の定義 整域 ...

Going-up 定理と Going-down 定理は、整拡大において素イデアルの鎖がどのように対応するかを述べた定理です。 設...

Noether 正規化定理は、有限生成代数が多項式環の整拡大として実現できることを主張する定理です。代数幾何学における次元論の基...

環のテンソル積は二つの環（または加群）を組み合わせて新しい環を構成する操作であり、スカラー拡大や積多様体の座標環を表現するのに使...

平坦性はテンソル積が完全列を保つという性質であり、可換環論とホモロジー代数において中心的な概念です。 平坦加群の定義 $R$ を...

忠実平坦性は平坦性を強めた概念であり、基底変換で完全列を保つだけでなく、完全列であることを「検出」できる性質です。 忠実平坦加群...

射影加群と自由加群はホモロジー代数の基本的な対象であり、加群の構造を理解する上で重要な役割を果たします。 自由加群の定義 $R$...

完全列はホモロジー代数の基本言語であり、蛇の補題は完全列を結ぶ射から新たな完全列を導く重要な道具です。 完全列の定義 $R$-加...

UFD（一意分解整域）は整数環や多項式環のように、元が本質的に一意な方法で既約元の積に分解できる整域です。 UFD の定義 整域...

Dedekind 整域は代数的整数論の中心的対象であり、元の一意分解は成り立たなくてもイデアルの一意分解が成り立つ環です。 De...

形式的ベキ級数環は多項式環の完備化であり、解析的な直観と代数的な厳密さを橋渡しする重要な環です。 形式的ベキ級数環の定義 $R$...

射影次元と大域次元は、加群や環の「ホモロジー的な複雑さ」を測る不変量です。 射影分解 $R$-加群 $M$ の射影分解とは、完全...

正則列は加群の深さを測る基本的な道具であり、Koszul 複体はそれを系統的に扱うホモロジー代数的な構成です。 正則列の定義 $...

Cohen-Macaulay 環は深さと次元が一致する「良い」環であり、代数幾何学や可換環論において中心的な役割を果たします。 ...

Gorenstein 環は Cohen-Macaulay 環の中でも特に良い双対性をもつ環であり、代数幾何学における標準束や特異...

単項イデアル整域（PID）は「すべてのイデアルが一つの元で生成される」という非常に扱いやすい性質をもつ環です。整数環 $\mat...

単項イデアル整域（PID）の Krull 次元が高々 $1$ であることを証明します。これは PID の構造を理解する上で基本的...

Artin 環とは、イデアルの降鎖条件（DCC）を満たす環のことである。ネーター環が昇鎖条件（ACC）を満たすのに対し、Arti...

加群の長さは、加群の「大きさ」を測る不変量の一つである。有限次元ベクトル空間の次元を一般化した概念といえる。 組成列の定義 $R...

中山の補題（Nakayama's lemma）は可換環論における最も重要な技術的道具の一つである。局所環上の有限生成加群を扱う際...

Hilbert 基底定理は、ネーター環の多項式環がふたたびネーター環になることを保証する。可換環論と代数幾何学の基礎を支える定理...

有限生成加群は可換環論における中心的な対象である。ベクトル空間が体上の有限次元性をもつのと同様に、環上の加群にも「有限生成」とい...

可換環 $R$ の素イデアル全体の集合 $\mathrm{Spec}\,R$ は、ザリスキ位相によって位相空間となる。これは代数...

加群の台（サポート）と随伴素イデアルは、加群の「局所的な振る舞い」を素イデアルを通じて捉える概念である。加群がどこで非ゼロか、ど...

被約環と既約成分は、環のスペクトルを幾何学的に理解するための基本概念である。被約性はニルポテント元の不在を意味し、既約成分はスペ...

$I$-進位相と完備化は、局所的な性質を詳しく調べるための道具である。形式的冪級数環が多項式環の完備化として得られるように、完備...

ヘンゼル環とヘンゼルの補題は、局所環における多項式の因数分解を扱う理論である。完備局所環がヘンゼル環の典型例であり、代数方程式の...

形式的滑らかさは、環準同型の「微分的なよさ」を捉える概念である。代数幾何学における滑らかな射の代数的定式化であり、ケーラー微分と...

Krull の交叉定理は、ネーター環においてイデアルの冪の共通部分がどうなるかを述べる。完備化の理論と密接に関係し、局所環論にお...

Krull の標高定理（Hauptidealsatz）は、ネーター環における素イデアルの高さに関する基本定理である。単項イデアル...

加群の深さ（depth）は、正則列の長さで測られる不変量である。次元と並ぶ重要な概念であり、Cohen-Macaulay 環の定...

Tor 関手はテンソル積の導来関手であり、加群の平坦性を測る道具である。ホモロジー代数における基本的な関手の一つで、環と加群の構...

Ext 関手は Hom 関手の導来関手であり、加群の拡大を分類する道具である。射影次元や深さの計算、さらには双対性理論において中...

導来関手はホモロジー代数における中心概念であり、Tor や Ext はその具体例である。射影分解や入射分解を通じて定義され、圏論...

正規環は整閉性を一般化した概念であり、代数幾何学において「よい特異点」をもつ多様体に対応する。局所的な整閉性条件として定義され、...

完全交叉環は、正則局所環を「正則列で割った」形で得られる環である。Cohen-Macaulay 環の特別な場合であり、ホモロジー...

半局所環は、有限個の極大イデアルをもつ環である。局所環の一般化であり、有限個の点の近傍を同時に扱う際に現れる。 定義 可換環 $...

ケーラー微分（Kähler differentials）は、環準同型の「微分」を代数的に定式化したものである。代数幾何学における...

因子類群と Picard 群は、環や多様体の算術的・幾何学的性質を捉える重要な不変量である。UFD（一意分解整域）からのずれを測...

エタール射は、代数幾何学において「局所同型」に対応する射である。可換環論では、形式的にエタールな環拡大として定式化され、ガロア理...

Artin-Rees の補題は、ネーター環上のイデアルと部分加群の関係を記述する基本定理である。Krull の交叉定理や完備化の...

Rees 環と随伴次数付き環は、イデアルのフィルトレーションを次数付き構造に変換する道具である。爆発（blowing-up）の代...

多項式環と形式的冪級数環の代数的性質を体系的に比較し、両者の共通点と本質的な違いを明らかにする

整域の商体の構成から出発し、関数体の概念と拡大の理論を体系的に解説する

半群環・モノイド環の定義と基本性質を解説し、多項式環やLaurent多項式環が特殊な場合として統一的に理解できることを示す

整域の整閉包を具体的に計算する方法と、整閉性を判定するための理論的・実践的な手法を解説する

次数付き環における Hilbert 関数の定義から出発し、Hilbert 多項式の存在定理と次元・重複度との関係を解説する

可換環 $R$ のイデアルに対しては、和・積・交叉・商という 4 つの基本的な演算が定義されます。これらの演算はイデアルの集合に...

中国剰余定理は整数論でよく知られた定理ですが、可換環の言葉で定式化すると、イデアルの互いに素という条件のもとで剰余環が直積に分解...

可換環の直積は、複数の環を組にして新しい環を作る操作です。逆に、1 つの環がいつ直積に分解できるかという問題は、冪等元の理論と密...

冪等元は $e^2 = e$ を満たす元であり、環の直積分解やイデアルの分裂と直結する概念です。前回の記事では冪等元と直積の関係...

可換環上の加群を調べるとき、自由加群の概念だけでは不十分な場面が多く現れます。局所自由加群と有限表示加群は、自由加群を一般化しつ...

可換環のイデアルに関する完備化は、局所化と並ぶ重要な「環を変える」操作です。完備化と平坦性の間には深い関係があり、特にネーター環...

代数幾何では、幾何学的対象（代数多様体）を可換環（座標環）を通じて研究します。曲線や曲面の形状・特異点・交叉といった幾何学的性質...