可換環
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環とは足し算とかけ算のある集合。足し算について可換群であり、結合法則と分配法則を満たすようにかけ算も入っている。整数と多項式の集...
可換環 A のイデアル m は、m より真に大きい自明でないイデアルが存在しないとき、極大イデアルという。
可換環 $A$ のイデアル $p$ は 1. $p \neq A$ 1. $xy \in p \rightarrow x \in...
すべてのイデアルが有限生成であるような可換環をネーター環という。 ネーター環Aの多項式環A[x]はネーター環になる（ヒルベルトの...
※これはメモです。 すべての0以外の環は少なくとも一つの極大イデアルをもつ。証明は、イデアルの包含関係に順序をつけてツォルンの補...
※これはメモです。Atiyah MacDonald の命題5.13 整閉は局所化される。命題5.13を引用すると次のとおり（言葉...
ハミルトンの功績の一つに \[ a^2+b^2+c^2+d^2 \] の因数分解がある。これは実数はもちろん、複素数を使っても因...
可換代数入門（Atiyah‐MacDonald 著）は共立出版から出ている環と加群の入門書で、Introduction To C...
代数幾何学の視点では、球面 $S^1$ は単なる幾何的な円周としてではなく、代数的方程式で表されるアフィン多様体または射影多様体...
付置環（valuation ring）は、体 $K$ の部分環 $R$ のうちで次の条件を満たすものです。 \[ \forall...
代数的閉体（algebraically closed field）とは、すべての非定数多項式が根を持つような体のこと。つまり、体...
可換環の次元とは、環の「階層的な複雑さ」を示す概念で、幾何学的には空間の「次元」と対応します。とくに代数幾何学では、可換環と対応...
局所環とは、ただ一つの極大イデアルを持つ可換環のこと。可換環 $R$ が局所環であることは、次の条件と同値である。 $R$ はた...
可換環論では、局所環が「正則（regular）」であるとは、その極大イデアルを生成する元の最小数（生成元数）が、その環のクルル次...
体 $K$ の拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ の元 $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとは、ある $K$ 係...
局所化は可換環論における基本的な構成であり、環の一部の元を「分母として許す」操作です。代数幾何学では、多様体上のある点の近傍だけ...
分数体は整域に対して定義される体であり、整数 $\mathbb{Z}$ から有理数 $\mathbb{Q}$ を構成するプロセス...
局所化を行うと、元の環のイデアル構造が単純化されます。特に素イデアルについては、局所化後に「生き残る」ものと「消える」ものがはっ...
剰余環は環をイデアルで「割った」構造であり、準同型定理は環準同型の像と剰余環を結びつける基本的な結果です。 剰余環の構成 $R$...
根基イデアルとニルラジカルは、イデアルや環の「冪零的な振る舞い」を捉える概念です。代数幾何学では、スキームの被約性と密接に関係し...
準素イデアルは素イデアルの一般化であり、イデアルの準素分解理論の基礎となります。 準素イデアルの定義 $R$ を可換環、$Q$ ...
準素分解はイデアルを準素イデアルの共通部分として表す理論であり、整数の素因数分解の一般化と見なせます。 準素分解の定義 $R$ ...
冪零元は何乗かすると $0$ になる元であり、環の構造を理解する上で重要な役割を果たします。 冪零元の定義 $R$ を可換環とし...
整拡大は環の拡大の中でも特に良い性質をもつクラスであり、代数幾何学における有限射や整数論における代数的整数の理論の基礎となります...
整閉整域は分数体における整元をすべて含む整域であり、代数的整数論や代数幾何学で中心的な役割を果たします。 整閉整域の定義 整域 ...
Going-up 定理と Going-down 定理は、整拡大において素イデアルの鎖がどのように対応するかを述べた定理です。 設...
Noether 正規化定理は、有限生成代数が多項式環の整拡大として実現できることを主張する定理です。代数幾何学における次元論の基...
環のテンソル積は二つの環（または加群）を組み合わせて新しい環を構成する操作であり、スカラー拡大や積多様体の座標環を表現するのに使...
平坦性はテンソル積が完全列を保つという性質であり、可換環論とホモロジー代数において中心的な概念です。 平坦加群の定義 $R$ を...
忠実平坦性は平坦性を強めた概念であり、基底変換で完全列を保つだけでなく、完全列であることを「検出」できる性質です。 忠実平坦加群...
射影加群と自由加群はホモロジー代数の基本的な対象であり、加群の構造を理解する上で重要な役割を果たします。 自由加群の定義 $R$...
完全列はホモロジー代数の基本言語であり、蛇の補題は完全列を結ぶ射から新たな完全列を導く重要な道具です。 完全列の定義 $R$-加...
UFD（一意分解整域）は整数環や多項式環のように、元が本質的に一意な方法で既約元の積に分解できる整域です。 UFD の定義 整域...
Dedekind 整域は代数的整数論の中心的対象であり、元の一意分解は成り立たなくてもイデアルの一意分解が成り立つ環です。 De...
形式的ベキ級数環は多項式環の完備化であり、解析的な直観と代数的な厳密さを橋渡しする重要な環です。 形式的ベキ級数環の定義 $R$...
射影次元と大域次元は、加群や環の「ホモロジー的な複雑さ」を測る不変量です。 射影分解 $R$-加群 $M$ の射影分解とは、完全...
正則列は加群の深さを測る基本的な道具であり、Koszul 複体はそれを系統的に扱うホモロジー代数的な構成です。 正則列の定義 $...
Cohen-Macaulay 環は深さと次元が一致する「良い」環であり、代数幾何学や可換環論において中心的な役割を果たします。 ...
Gorenstein 環は Cohen-Macaulay 環の中でも特に良い双対性をもつ環であり、代数幾何学における標準束や特異...
単項イデアル整域（PID）は「すべてのイデアルが一つの元で生成される」という非常に扱いやすい性質をもつ環です。整数環 $\mat...
単項イデアル整域（PID）の Krull 次元が高々 $1$ であることを証明します。これは PID の構造を理解する上で基本的...
