複素解析学

複素解析、複素関数の公式集。コーシーの積分定理、留数定理など。

解析接続（analytic continuation）は、ある領域で定義された正則関数を、より広い領域へ拡張する手続きのこと。 ...

解析接続の具体的な実行手段として、べき級数展開は重要な方法である。正則関数は局所的にべき級数で表現でき、この性質を利用して定義域...

コーシー・リーマンの方程式は次の 2 つの式からなります。 \[ \frac{\partial u}{\partial x} =...

ガンマ関数は階乗の一般化として定義される特殊関数で、数学や物理学の多くの分野で登場する。階乗が非負整数にのみ定義されるのに対し、...

「リーマン幾何学（酒井隆著）」は裳華房から出ているリーマン幾何学（微分幾何学）の専門書です。リーマン幾何学の専門書として有名です...

複素関数の積分で最も重要な定理がコーシーの積分定理です。正則関数を閉曲線に沿って積分すると、その値は 0 になります。 定理の内...

コーシーの積分公式は、正則関数の値を積分で表す公式です。関数の値やその導関数を、周囲の積分から求められます。 積分公式 $f(z...

留数定理は、特異点を含む経路での複素積分を計算する強力な道具です。コーシーの積分定理が「穴がなければ 0」だったのに対し、留数定...

留数定理を使うには、特異点での留数を求める必要があります。ここでは、よく使う計算テクニックと実積分への応用を紹介します。 1 位...

テイラー展開は正則な点のまわりでの展開でしたが、特異点のまわりでは使えません。代わりにローラン展開を使います。 ローラン展開とは...

複素関数の特異点には、性質の異なる 3 種類があります。ローラン展開の主要部を見ると、どの種類かがわかります。 孤立特異点とは ...

リウヴィルの定理は、有界な整関数は定数であるという驚くべき結果です。この定理から、代数学の基本定理も証明できます。 整関数とは ...

正則関数の絶対値は、領域の内部で最大値を取れません。最大値があるとすれば、それは境界上にあります。これが最大値原理です。 最大値...

正則関数による写像は、角度を保存するという特別な性質を持っています。これを等角写像といいます。 等角写像とは 2 つの曲線が点 ...

メビウス変換（一次分数変換）は、円と直線を円と直線に写す等角写像です。複素解析でよく使われる基本的な変換です。 メビウス変換の形...

偏角の原理は、関数の零点と極の個数を積分で数える方法です。ルーシェの定理は、この原理を応用して零点の個数を調べます。 偏角の原理...

正則関数の実部と虚部は、どちらも調和関数になります。逆に、調和関数から正則関数を構成することもできます。 調和関数とは 2 変数...

複素解析において、べき級数は正則関数を表現する基本的な道具だ。実数のべき級数と同様に、複素数のべき級数にも収束する範囲が存在し、...

実数の対数関数 $\log x$ は $x > 0$ で定義され、一価関数として振る舞う。しかし複素数に拡張すると、対数関数は本...

実数の世界では $x^{1/2} = \sqrt{x}$ や $x^{3/4}$ といったべき関数を自然に扱える。複素数に拡張す...

複素平面 $\mathbb{C}$ に「無限遠点」を一つ付け加えた空間をリーマン球面と呼ぶ。この拡張により、複素解析の多くの定理...

シュワルツの補題は、単位円板上の正則関数に対する強力な評価を与える定理だ。見た目は単純だが、等角写像の理論やリーマンの写像定理の...

正則関数の零点は孤立するという性質から、一意性定理（一致の定理）が導かれる。この定理は、正則関数が小さな領域での値だけで全体が決...

真性特異点における関数の振る舞いは極めて複雑で、ピカールの定理がその本質を捉えている。この定理は、正則関数が真性特異点の近くでほ...

正規族の理論は、正則関数の列がいつ収束部分列を持つかを調べる枠組みだ。実解析におけるアルツェラ・アスコリの定理の複素解析版とも言...

リーマンの写像定理は、複素解析における最も重要かつ美しい定理の一つだ。単連結な領域が位相的にはすべて同じ（単位円板と同相）である...

多項式は零点で因数分解できる。整関数にも同様の因数分解が存在するが、零点が無限個ある場合には無限積の収束を保証する工夫が必要だ。...

無限乗積は、整関数や有理型関数を零点情報から構成する強力な道具だ。ワイエルシュトラスの因数分解定理の背景にある無限乗積の収束理論...

アダマールの 3 円定理は、同心円上での正則関数の最大値が対数凸であることを主張する。この定理は最大値原理を精密化したもので、関...

ポアソン積分公式は、円周上で与えられた境界値から円板内部での調和関数を再構成する公式だ。コーシーの積分公式と密接に関連し、調和関...

シュワルツ・クリストッフェル変換は、上半平面（または単位円板）を多角形領域に等角写像する具体的な公式を与える。流体力学や電磁気学...

留数定理は複素積分の計算だけでなく、実数の定積分を求める強力な手法を与える。通常の微分積分学では困難な積分も、複素平面に持ち上げ...

楕円関数は、複素平面上で二重周期を持つ有理型関数だ。三角関数の一般化とも言え、数論、代数幾何、物理学など広範な分野で登場する。 ...

リーマンゼータ関数は、素数分布の謎を解く鍵として 19 世紀に導入された。複素解析の技法が整数論に応用される典型例であり、未解決...

有理型関数は、正則関数に極を許した関数のクラスだ。複素平面全体で有理型な関数の性質、特に極と零点の分布に関する結果を見ていこう。...