三角関数（数学Ⅱ）

タンジェントの加法定理の応用として2直線のなす角を求める問題があります。 直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸のなす角を $\...

\[ a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{ a^2 + b^2 } \sin( \theta...

角度 ° は度数法、ラジアン rad は弧度法による大きさで、180° を 1rad とします。ラジアンの単位は省略できます。

三角関数の半角の定理とは、角を半分にしたときの $\sin$, $\cos$, $\tan$ の値を、2倍角の式を使って表すもの...

三角関数には互いに関連する公式がいくつかあり、これらを相互関係と呼びます。単位円上の点 $(\cos\theta, \sin\t...

加法定理は、2つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す公式です。三角関数の公式の中でも特に重要で、2倍角や半角の...

積和公式と和積公式は、三角関数の積を和に変換したり、和を積に変換したりする公式です。積分計算や方程式を解くときに役立ちます。 積...

2倍角・3倍角の公式は、角度を2倍や3倍にしたときの三角関数の値を求める公式です。加法定理で $\alpha = \beta$ ...

三角関数のグラフを理解することは、方程式や不等式を解くうえで欠かせません。周期や振幅といった特徴を押さえておきましょう。 $y ...

正弦定理と余弦定理は、三角形の辺と角の関係を表す定理です。どちらを使うかは、与えられた情報によって決まります。 正弦定理 三角形...

三角方程式とは、$\sin x = \frac{1}{2}$ や $\cos 2x = \cos x$ のように三角関数を含む方...

三角不等式とは、$\sin x > \frac{1}{2}$ や $\cos x \leq 0$ のように三角関数を含む不等式の...

逆三角関数は、三角関数の逆関数です。たとえば $\sin x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求める操作が $...

単位円とは、原点を中心とする半径 $1$ の円のことです。三角関数の定義はこの単位円と深く結びついています。 単位円上の点と三角...

弧度法（ラジアン）は、角度を円弧の長さで表す方法です。度数法（$60°$, $90°$ など）に比べて、数学的な計算がすっきりし...

三角関数の極限は、微分公式を導くうえで重要な役割を果たします。特に $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x...

三角関数を使った面積・体積の計算は、図形問題や積分の応用としてよく出題されます。基本公式を押さえておきましょう。 三角形の面積 ...

三角関数の微分公式は、極限 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ を使って導かれます。まずは...

三角関数の積分は、微分公式の逆をたどることで得られます。置換積分や部分積分と組み合わせて使うことも多いです。 基本の積分公式 \...

加法定理は三角関数の公式の中で最も重要なものの一つです。ここでは $\cos(\alpha - \beta)$ の証明から始めて...

加法定理を使った計算問題を練習しましょう。$15°$、$75°$、$105°$ など、特殊角の組み合わせで表せる角度がよく出題さ...

倍角公式は、角度を2倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理で $\alpha = \beta$ とおくことで導けます。...

三倍角公式は、角度を3倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理と倍角公式を組み合わせて導きます。 三倍角公式（確認） \...

半角公式は、角度を半分にしたときの三角関数を求める公式です。倍角公式を変形することで導けます。 半角公式（確認） \[ \sin...

積和公式は、三角関数の積を和や差に変換する公式です。積分計算でよく使います。 積和公式（確認） \[ \sin\alpha\co...

和積公式は、三角関数の和や差を積に変換する公式です。方程式を因数分解の形に持ち込むときに使います。 和積公式（確認） \[ \s...

三角関数のグラフは、基本形 $y = \sin x$ や $y = \cos x$ を平行移動・伸縮させることで様々な形に変化し...

三角関数の最大・最小問題は、三角関数の合成や置換を使って解くことが多いです。パターンを押さえておくと、確実に解けるようになります...

三角関数の計算や積分では、特殊な置換を使うと劇的に簡単になることがあります。ここでは代表的な置換テクニックを紹介します。 $t ...