微分幾何学
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アフィン空間は、ベクトル空間から「原点」の概念だけを取り除いた構造です。アフィン接続は、そのアフィン空間や一般の多様体上で、向き...
リーマン計量は、多様体の各点における接空間に内積を与える構造です。これにより曲線の長さ、角度、面積といった幾何学的な量を定義でき...
外微分は微分形式に対して定義される演算で、多変数の微分積分学における勾配・回転・発散を統一的に扱う枠組みを与えます。 微分形式の...
多様体は「局所的にはユークリッド空間に見えるが、大域的には異なる形状をもちうる空間」を定式化した概念です。曲面を高次元に一般化し...
接空間は多様体上の各点において「その点での方向」を表すベクトル全体の集合です。多様体上で微分を行うための基盤となる概念です。 接...
余接空間は接空間の双対空間であり、微分形式の理論の出発点となります。余接ベクトルは接ベクトルを受け取って実数を返す線型写像です。...
ベクトル場は多様体の各点に接ベクトルを滑らかに割り当てたものです。流れや力場の数学的表現であり、微分方程式や力学系の理論と深く関...
多様体間の滑らかな写像は、接空間の間に線型写像を誘導します。この誘導された写像を微分写像といい、押し出し（pushforward...
テンソル場は接ベクトルと余接ベクトルを組み合わせた多重線型的な量であり、リーマン計量や曲率といった幾何学的対象を統一的に扱う枠組...
余接ベクトルは「方向」ではなく「傾き」や「変化率を測る道具」として理解するとわかりやすくなります。 接ベクトルと余接ベクトルの対...
微分形式は余接ベクトルを一般化した概念であり、積分や外微分と自然に結びつく。多様体上の解析の基本言語である。 微分形式の定義 $...
内部積とリー微分はベクトル場と微分形式の関係を記述する演算である。Cartanの公式でこれらは結びつく。 内部積の定義 ベクトル...
部分多様体は多様体の中に埋め込まれた多様体である。埋め込みとはめ込みは、多様体の間の写像の正則性を記述する。 部分多様体の定義 ...
正則値定理は、滑らかな写像の逆像が部分多様体となるための条件を与える。多くの重要な多様体がこの方法で構成される。 臨界点と正則点...
1の分割は多様体上で局所的な構成を大域化するための基本的な道具である。積分、接続、計量などの大域的構成に不可欠である。 1の分割...
共変微分はベクトル場を微分する操作であり、接続によって定まる。リーマン幾何学において曲率や測地線を定義する基礎となる。 方向微分...
測地線はリーマン多様体における「まっすぐな曲線」であり、2点間の最短経路を局所的に与える。物理学では自由粒子の運動を記述する。 ...
曲率テンソルは空間の曲がり具合を測るテンソル場である。平行移動の経路依存性として幾何学的に解釈できる。 曲率テンソルの定義 リー...
リッチ曲率とスカラー曲率はリーマン曲率テンソルから得られる縮約であり、曲率の平均的な情報を表す。一般相対性理論で中心的な役割を果...
断面曲率は接空間の2次元部分空間に対して定まる曲率であり、Gauss曲率の一般化である。曲率の最も基本的な概念といえる。 断面曲...
Jacobi場は測地線の変分によって生じるベクトル場であり、測地線の安定性や共役点を調べる道具である。比較定理の基礎となる。 測...
Hopf-Rinowの定理はリーマン多様体における完備性の同値な特徴づけを与える。距離構造と測地線の大域的な振る舞いを結びつける...
比較定理は曲率の上下界から測地線や三角形の性質を導く。定曲率空間との比較により、曲率の効果を定量的に評価できる。 比較定理の思想...
Bonnet-Myersの定理はリッチ曲率の正の下界から直径の有界性とコンパクト性を導く。リーマン幾何学における曲率と大域構造の...
Cartan-Hadamardの定理は断面曲率が非正の完備多様体の大域構造を決定する。普遍被覆がユークリッド空間と微分同相になる...
第一基本形式と第二基本形式は曲面の幾何学を記述する基本的な道具である。第一基本形式は内在的な計量を、第二基本形式は外在的な曲がり...
主曲率は曲面の各点における曲がり具合の極値であり、平均曲率と Gauss 曲率はその組み合わせで定まる。極小曲面や石鹸膜の理論で...
Gauss-Bonnetの定理は曲率と位相を結びつける深い定理である。曲面上の Gauss 曲率の積分が Euler 標数という...
極小曲面は平均曲率がゼロの曲面であり、局所的に面積を最小にする性質を持つ。石鹸膜が形成する形状として物理的にも現れる。 極小曲面...
等温座標は曲面上の計量を最も単純な形に表す座標系であり、複素解析との深い関係を持つ。曲面論と Riemann 面を結びつける。 ...
ベクトル束上の接続は、束の切断を微分する方法を与える。接束に限らない一般のベクトル束で共変微分を定義し、曲率やホロノミーの理論へ...
曲率形式はベクトル束の接続から定まる $2$-形式であり、接続の「曲がり具合」を測る。リーマン曲率テンソルの一般化であり、特性類...
ホロノミーは閉曲線に沿った平行移動によって生じる「ずれ」を測り、接続の大域的性質を反映する群である。曲率とホロノミーは Ambr...
Chern-Weil 理論は曲率形式から特性類を構成する方法を与える。微分幾何学と代数的位相幾何学を結びつける美しい理論である。...
共変微分は「曲がった空間でベクトルを微分する方法」である。平坦な空間では当たり前にできることが、曲がった空間では一工夫必要になる...
曲率テンソルは「空間がどれだけ曲がっているか」を測る量である。平行移動が経路に依存するかどうか、という素朴な問いに答える。 平坦...
微分形式は「積分されるもの」を統一的に扱う言語である。線積分、面積分、体積積分を同じ枠組みで理解できる。 積分には相手が必要 積...
