群論
可換環 $A$ とアーベル群 $M$ について次の性質が成り立つとき、$M$ は $A$ 上の加群であるという。 $a(x+y)...
集合 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ の元を順序を変えて並べかえる操作を $n$ 次の置換といい、その集合を対...
$S_4$ の元（置換）は、循環置換の長さで分類されます。 なにも変更しない置換 (1)。1 通りです。 (12) は、元 1 ...
群とは、集合 $G$ と二項演算 $\cdot$ があり、次の三つの条件を満たすものです。 任意の $a,b,c \in G$ ...
有限生成アーベル群 G は、巡回群の直和として一意的に表される
群は代数学における最も基本的な構造の一つである。対称性を抽象化した概念であり、数学のあらゆる分野に現れる。 群の定義 集合 $G...
部分群は群の中に含まれる「小さな群」であり、群の構造を理解する基本的な道具である。生成元は群を構成する最小限の元の集合を記述する...
巡回群は1つの元で生成される群であり、最も単純な構造を持つ。すべての巡回群は整数の加法群またはその剰余群と同型である。 巡回群の...
剰余類は群を部分群で「割った」ときに現れる構造である。Lagrange の定理は有限群の部分群の位数に関する基本的な制約を与える...
正規部分群は商群を構成するために必要な条件を満たす部分群である。商群は群を「粗く見る」操作を可能にし、群の構造解析の基本となる。...
群準同型は群の構造を保つ写像であり、群の間の関係を記述する基本的な道具である。同型定理は準同型と商群の関係を明らかにする。 群準...
群の直積は2つの群から新しい群を構成する基本的な操作である。半直積はより一般的な構成であり、非可換な群を組み立てる方法を提供する...
群作用は群が集合の上で「対称性として働く」状況を記述する。軌道と安定化群は群作用の基本的な構造を捉える概念である。 群作用の定義...
軌道・安定化群定理は軌道の大きさと安定化群の位数を結びつける基本定理である。数え上げや群の構造解析に広く応用される。 軌道・安定...
共役類は共役作用による軌道であり、群の元を分類する基本的な方法である。類等式は有限群の構造、特に $p$-群や単純群の解析に不可...
Sylow の定理は有限群における $p$-部分群の存在と性質に関する基本定理である。有限群の構造解析において最も強力な道具の一...
Sylow の定理を用いると、小さい位数の群を分類できる。位数が小さい場合は、Sylow 部分群の個数に関する制約から群の構造が...
置換の符号は置換を偶置換と奇置換に分類する。交代群は偶置換全体からなる群であり、対称群の重要な正規部分群である。 互換 2つの元...
$A_n$（$n \geq 5$）は単純群であり、非可換単純群の最も基本的な例である。この事実は Galois 理論において5次...
対称群の共役類は置換の巡回型によって完全に決定される。これは対称群の表現論の出発点となり、分割数や Young 図形と深く関わる...
可解群は「可換な部分に分解できる」群であり、Galois 理論において代数方程式の可解性と直結する概念である。 可解群の定義 群...
冪零群は可解群より強い条件を満たす群のクラスである。$p$-群はすべて冪零群であり、冪零群は可解群の重要な部分クラスをなす。 冪...
導来列と下中心列は群の「可換からのずれ」を測る基本的な系列である。導来列は可解性を、下中心列は冪零性を特徴づける。 交換子 $a...
Galois 理論は群論と体論を結びつけ、代数方程式の可解性を群の可解性で特徴づける。5次以上の一般代数方程式がべき根で解けない...
自由群は生成元に関係式を課さない「最も自由な」群である。普遍性により特徴づけられ、群の表示の基礎となる。 自由群の直感的定義 集...
群の表示は生成元と関係式によって群を記述する方法である。有限表示群は組み合わせ的群論の主要な研究対象である。 表示の定義 群 $...
Tietze 変換は群の表示を別の表示に変換する基本操作である。2つの表示が同じ群を定義するかどうかを判定する理論的基盤を与える...
群の表示に関する決定問題の多くは一般には解けない（決定不能）ことが知られている。これは群論と計算理論の深い関係を示している。 語...
単純群は非自明な正規部分群を持たない群であり、群論における「原子」のような存在である。有限群はすべて単純群から構成される。 単純...
有限単純群の分類は20世紀数学の巨大な成果である。すべての有限単純群が特定の4つのクラスに属することが、多くの数学者の協力により...
散在型単純群は有限単純群の分類において無限系列に属さない26個の「例外的な」群である。モンスター群を頂点とする階層構造を持ち、数...
有限アーベル群の構造定理は、有限アーベル群がどのような「部品」からできているかを完全に記述する定理だ。群論における最も基本的かつ...
自由アーベル群は「関係式のない可換群」であり、整数係数ベクトル空間に相当する。階数は自由アーベル群の「次元」を表す不変量である。...
有限生成アーベル群のねじれ部分は有限位数の元全体からなる部分群である。ねじれ部分は群の「有限な部分」を捉え、自由部分と直和に分離...
一般線型群と特殊線型群は行列のなす群であり、線型代数と群論を結びつける基本的な対象である。 一般線型群の定義 体 $K$ 上の ...
直交群は内積を保つ線型変換のなす群であり、回転や鏡映といった幾何学的変換を記述する。 直交群の定義 $n$ 次直交群 $O(n)...
ユニタリ群は複素内積（エルミート内積）を保つ線型変換のなす群である。量子力学において状態空間の対称性を記述する。 ユニタリ群の定...
リー群は群であると同時に滑らかな多様体でもあり、群演算が滑らかな写像となる対象である。連続的な対称性を記述する。 リー群の定義 ...
群のコホモロジーは、群の作用を持つ加群から定まるコホモロジー理論である。群の拡大や表現論と深く関わる。 動機：群の作用と不変元 ...
群の拡大とは、ある群を別の群で「膨らませる」操作である。$H^2$ は与えられた核と商を持つ拡大を分類する。 群の拡大の定義 群...
Schur乗数は群の第2ホモロジー群であり、射影表現や普遍中心拡大と深く関わる。Issai Schur が表現論の研究で導入した...
群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき、軌道の数を求める問題は組合せ論で頻繁に現れます。素朴に数えようとすると「回転して...
群の表現とは、群の元をベクトル空間上の線型変換として実現することです。抽象的な群の構造を、行列という具体的で計算しやすい対象に翻...
群論には未解決だった期間の長さや問題の深さで際立つ問いがいくつかありますが、Burnside 問題はその代表格です。問い自体は素...
群は代数的な対象ですが、適切なグラフを対応させることで幾何学的に「見る」ことができます。Cayley グラフは群の元を頂点、生成...
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