線形代数
$3$ 次元座標には右手系と左手系がある。右手の親指と人差し指と中指を互いに直交するように開いて、親指を $x$ 軸、人差し指を...
$n$ 個のベクトル $\vec{a_1},\ \vec{a_2},\ \cdots,\ \vec{a_n}$ について <p ...
ベクトル $\mathbf{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \mathbf{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3...
行列のかけ算は前の行列の行と後の行列の列の内積を成分とする。
AB=I となるとき、B を A の逆行列、または A を B の逆行列という。A の逆行列を A^{-1} と書く。
正方行列には行列式という値を定義できる。後述のとおり行列式とは一種の「面積」である。 行列式 <p> \[ A= \left( ...
[2 次正方行列の和と積](2matrix-addition-multiplication)にあるように、行列と行列のかけ算が定...
「線形代数の世界 抽象数学の入り口」は大学数学の入門というサブタイトルがついていますが、本書は線形代数の入門書ではありません。 ...
この記事は線形代数の教科書を少し読んでいる人を対象にしています。線形代数を実際に細かく説明しているわけではありません。とても大雑...
線形空間の部分空間とは、線形空間の中で、自身も線形空間になっているようなベクトルの部分集合のことです。つまり、線形空間内のある集...
行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めます。 \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \...
直交補空間とは、あるベクトル空間の部分空間に対して、その部分空間のすべてのベクトルと直交するベクトルの集合です。分解定理は、ベク...
$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるとは、ある正則行列 $P$ が存在して \[ P^{-1}AP = D \] とい...
行列のランクとは、行列が持つ独立な行（または列）の最大個数です。ランクは行列の本質的な次元を表す重要な概念で、連立方程式の解の存...
エルミート行列（Hermitian matrix）は、複素数を成分とする正方行列のうち、自分自身の共役転置に等しい行列です。つま...
共役転置（随伴行列）は $A^*$ や $A^\dagger$ で表され、行列 $A$ の転置をとってから各成分の複素共役をとっ...
行列 $A$ に対して、ある固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル全体と零ベクトルを合わせた集合を固有空間（eige...
固有値の重複度には、代数的重複度と幾何的重複度の 2 種類があります。この 2 つは固有値がどれだけ「重なっている」のかを異なる...
テンソルの直積（tensor product）は、2つのテンソルから新しいテンソルを構成する演算です。記号 $\otimes$ ...
連立一次方程式を解くとき、未知数を順番に消去していく方法がある。この操作を行列に対して体系的に行う手法が掃き出し法（ガウスの消去...
行列の転置は、行と列を入れ替える操作である。転置によって得られる行列の性質を理解することは、対称行列や直交行列など重要な行列のク...
逆行列が存在する行列を正則行列と呼ぶ。正則性は連立方程式が一意に解けるかどうかと密接に関係しており、行列の最も基本的な性質の一つ...
行列式を計算する方法の一つに余因子展開がある。これは行列式を、ある行または列に沿って小さな行列式の和に分解する手法である。 小行...
クラメルの公式は、連立一次方程式の解を行列式を用いて表す公式である。理論的には美しいが、計算量の観点からは大規模な問題には向かな...
線形写像（一次写像）は、ベクトル空間の間の構造を保つ写像である。線形代数において中心的な役割を果たし、行列はその具体的な表現と考...
線形写像の核と像は、その写像の構造を理解する上で最も重要な概念である。核は写像で 0 に潰れる部分を、像は写像の到達範囲を表す。...
次元定理は、線形写像の核と像の次元の関係を述べる定理である。rank-nullity theorem とも呼ばれ、線形代数の基本...
基底はベクトル空間を記述するための骨格であり、座標は基底を用いてベクトルを数の組として表現する仕組みである。 基底の定義 ベクト...
同じベクトル空間でも、基底の選び方によって座標は異なる。基底の変換行列は、2つの基底の間の座標変換を記述する。 基底の変換行列の...
グラム・シュミットの正規直交化法は、一次独立なベクトルの組から正規直交基底を構成するアルゴリズムである。内積空間において基本的な...
内積空間は、ベクトル空間に長さと角度の概念を導入した構造である。幾何学的な直観を抽象化し、関数空間など幅広い対象に適用できる。 ...
正規直交基底は、互いに直交し長さが 1 のベクトルからなる基底である。計算が簡潔になり、内積空間の解析において中心的な役割を果た...
ユニタリ行列と直交行列は、それぞれ複素数体と実数体における「内積を保存する行列」である。幾何学的には回転や鏡映に対応し、固有値分...
正定値行列と半正定値行列は、二次形式の符号と密接に関係する行列のクラスである。最適化問題や統計学で頻繁に現れ、実用上も重要である...
スペクトル分解は、対称行列（または正規行列）をその固有値と固有ベクトルを用いて分解する手法である。行列のスペクトル（固有値の集合...
特異値分解（SVD）は、任意の行列を3つの行列の積に分解する手法である。正方行列に限らず適用でき、データ解析や数値計算で広く用い...
ジョルダン標準形は、対角化できない行列に対しても定義できる標準的な形である。固有値の重複や固有空間の次元不足を、ジョルダン細胞と...
最小多項式と固有多項式は、行列の固有値に関連する2つの多項式である。ケイリー・ハミルトンの定理によって結びつけられ、行列の構造を...
ケイリー・ハミルトンの定理は、行列がその固有多項式を零化することを主張する。一見自明に見えるが、行列を変数に代入する操作を含むた...
双対空間は、ベクトル空間上の線形汎関数（スカラー値をとる線形写像）の全体がなす空間である。抽象代数や関数解析で基本的な概念であり...
二次形式は、変数の二次の項からなる斉次多項式である。行列と密接に関係し、その標準形への変換は分類や最適化において重要な役割を果た...
行列の指数関数は、スカラーの指数関数を行列に拡張したものである。連立線形微分方程式の解を表現する際に本質的な役割を果たす。 定義...
行列のノルムは、行列の「大きさ」を測る尺度である。数値解析において誤差の評価や収束性の議論に欠かせない概念である。 ノルムの定義...
行列の積は、左の行列の行と右の行列の列の内積を並べたものである。計算ミスを防ぐには、成分を一つずつ丁寧に求めることが大切である。...
行列式は正方行列に対して定義されるスカラー量である。2次では対角成分の積から反対角成分の積を引き、3次ではサラスの方法や余因子展...
逆行列は行列式が 0 でないとき存在する。2次行列では公式があり、3次行列では余因子行列を用いるか掃き出し法を使う。 問題1（2...
掃き出し法（ガウスの消去法）は、拡大係数行列に行基本変形を施して連立方程式を解く手法である。被約行階段形まで変形すれば、解を直接...
行列のランク（階数）は、行基本変形で行階段形に変換したときのピボット（主成分）の個数である。ランクは列ベクトルの一次独立な最大個...
ベクトルの組が一次独立かどうかは、それらを列に並べた行列のランクで判定できる。ランクがベクトルの個数に等しければ一次独立である。...
部分空間の基底を求めるには、生成系から一次独立なベクトルを取り出すか、方程式で定義された空間の解を求める。 問題1 次のベクトル...
基底の変換行列は、新しい基底の各ベクトルを古い基底で表したときの係数を列に並べた行列である。 問題1 $\mathbb{R}^2...
固有値は固有方程式 $\det(\lambda I - A) = 0$ を解いて求め、固有ベクトルは各固有値に対して $(\la...
行列の対角化は、固有ベクトルを列に並べた行列 $P$ を用いて $P^{-1}AP$ が対角行列になるように変換することである。...
固有多項式は $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ で定義される $n$ 次多項式である。展...
グラム・シュミットの正規直交化は、与えられた一次独立なベクトルから正規直交系を構成するアルゴリズムである。 問題1 次のベクトル...
直交射影は、ベクトルを部分空間に垂直に射影したものである。正規直交基底があれば計算は簡単になる。 問題1 ベクトル $v = (...
正規直交基底を用いると、座標は内積で直接計算できる。連立方程式を解く必要がない。 問題1 $\mathbb{R}^2$ の正規直...
行列の累乗は、対角化できる場合は対角行列の累乗に帰着できる。対角化できない場合はジョルダン標準形やケイリー・ハミルトンの定理を用...
行列の指数関数 $e^A$ はべき級数で定義されるが、対角化やジョルダン標準形を用いて計算できる。 問題1 次の行列の $e^A...
特異値分解は $A = U\Sigma V^T$ の形で、$A^T A$ と $AA^T$ の固有値問題に帰着して計算する。 問...
ジョルダン標準形は、対角化できない行列に対しても定義できる標準形である。固有値の重複度と固有空間の次元を調べて構成する。 問題1...
二次形式の標準化は、適切な変数変換により交差項を消去して、平方の和の形にすることである。 問題1 次の二次形式を標準化せよ。 \...
正定値性の判定には、固有値の符号を調べる方法と、シルベスターの判定法（首座小行列式）を用いる方法がある。 問題1 次の行列が正定...
行列が対角化可能かどうかは、各固有値の代数的重複度と幾何的重複度が一致するかで判定できる。 問題1 次の行列が対角化可能かどうか...
$n$ 次正方行列の行列式を厳密に定義するには、置換という概念が必要になる。ここでは置換の基本的な性質を整理したうえで、行列式の...
線形空間を扱ううえで、空間を「きれいに分割する」方法を理解することは非常に重要である。直和はその中心的な概念であり、部分空間の和...
線形空間 $V$ の部分空間 $W$ で「割る」ことで、新たな線形空間を構成できる。これが商空間であり、抽象代数学における商構成...
線形写像は抽象的な概念だが、基底を選ぶことで行列として具体的に表現できる。この対応関係を理解することで、線形写像の性質を行列の計...
行列式は正方行列に対して定義されるスカラー値の関数であり、行列が正則かどうかを判定する基本的な道具です。行列式にはいくつかの重要...
連立一次方程式を行列とベクトルで表すと $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ という形になります。ここで $A$...
ベクトルをある部分空間に「落とす」操作を射影と呼びます。この操作を行列で表したものが射影行列であり、射影行列は $P^2 = P...
行列を未知数とする方程式を行列方程式と呼びます。$AX = B$ のような単純な形であれば $X = A^{-1}B$ で解けま...
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