代数幾何学
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代数曲線は多項式方程式 $f(x, y) = 0$ で表される曲線です。点 $(a, b)$ が **特異点** であるとは、次...
スキーム（scheme）とは、局所的にアフィン環のスペクトルによって覆われるような空間のこと。つまり、各点の近くでは環のスペクト...
環 $A$ が与えられたとき、$\text{Spec}(A)$ という位相空間とその上の構造層 $\mathcal{O}_{\t...
可換環 $A$ に対して $\operatorname{Spec} A$ を $A$ の素イデアル全体の集合とする。$A$ のイ...
層（sheaf）は、位相空間上の局所的なデータを体系的に扱う道具である。 層の写像 $X, Y$ を位相空間、$\mathcal...
層（sheaf）は、空間上の「局所的なデータ」を、整合的に「大域的なデータ」として扱うための道具です。代数幾何学では、開集合ごと...
層コホモロジーは、トポロジー空間上の層に対して定義される「大域的情報の欠落」を測る道具です。位相空間 $X$ 上の層 $\mat...
準連接層（quasi-coherent sheaf）は、代数幾何学における層の重要なクラスで、連接層よりも広い概念です。スキーム...
チェックコホモロジー(Čech cohomology)は、位相空間のコホモロジー群を計算するための手法の一つ。エドゥアルト・チェ...
スキームの射とは、環準同型を通じて定義される「局所環の構造を保つ」写像のこと。位相空間の写像のうち、単なる連続写像とは異なり、ス...
代数曲面の分類理論は、複素代数曲面（複素射影多様体で次元2のもの）を、その双有理同値類に基づいて体系的に整理する理論である。19...
代数幾何学における**有理写像**（rational map）とは、概形（または代数多様体）$X$ から $Y$ への写像のうち...
代数幾何学における有理同値（rational equivalence）は、代数多様体上のサイクルを分類する同値関係の一つである。...
離散付値環（Discrete Valuation Ring, DVR）は、整域の中でも特に扱いやすい構造をもつ環です。局所環であ...
$p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$ は、離散付値環の代表的な例です。整数論や数論幾何学で中心的な役割を果たすこの環が...
体 $k$ 上の形式的べき級数環 $k[[t]]$ は、離散付値環の最も素朴な例の一つです。多項式環 $k[t]$ とよく似てい...
付値（valuation）は、体の元に「大きさ」や「位数」を割り当てる道具です。通常の絶対値とは異なる視点で数の性質を捉えること...
代数曲線上の滑らかな点には、自然に離散付値環が対応します。この対応は、曲線を局所的に調べるうえで基本的な道具となります。 曲線の...
正則局所環（regular local ring）は、代数幾何学で「滑らかさ」を代数的に表現する概念です。局所環の中でも特に性質...
代数幾何学では、多様体の「滑らかさ」を局所環の性質として捉えます。微分幾何学でいう滑らかな多様体に対応する概念を、純粋に代数的な...
代数多様体の特異点とは、滑らかでない点のことです。特異点における局所環は正則ではなく、いくつかの特徴的な性質が現れます。 特異点...
正則局所環と接空間の間には密接な関係があります。接空間の次元が局所環の正則性を判定する鍵となります。 代数的な接空間の定義 代数...
Krull 次元は、可換環の「大きさ」を測る基本的な不変量です。幾何学的には、対応する代数多様体の次元と一致するように定義されて...
Krull 次元は素イデアルの包含列（鎖）の長さで定義されます。なぜこのような定義が自然なのか、具体例を通じて理解しましょう。 ...
体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ の Krull 次元は $n$ です。この事実は直感的には...
環をイデアルで割ると、次元はどう変化するでしょうか。一般には次元が下がりますが、どれだけ下がるかはイデアルの性質に依存します。 ...
アフィン多様体の次元と、その座標環の Krull 次元は一致します。この対応は代数幾何学の基本であり、幾何学的な問題を代数的に扱...
代数幾何学で「次元が下がる」とは、方程式を課して多様体を切り出すことに対応します。この直感を代数的に理解しましょう。 方程式と次...
局所化（localization）は、環の一部の元を「可逆」にする操作です。幾何学的には、多様体の特定の部分を「拡大して見る」こ...
代数幾何学では、環の極大イデアルを「点」と見なします。この対応はヌルステレンサッツ（零点定理）に基づいており、代数幾何学の出発点...
体上有限生成な環（finitely generated algebra over a field）は、代数幾何学で扱う環の基本的...
