二重根号をはずす計算例：二重根号の符号と係数に注意しよう

$\sqrt{m+2\sqrt{n}}$ の二重根号は，足して $m$ かけて $n$ になる $2$ つの数 $a,b$ を使って

$$\sqrt{m+2\sqrt{n}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

と変形できます．$b<a$ になるように $a$ と $b$ を定めると引き算の場合と混乱しないですみます．

$(1)\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

足して $7$ かけて $10$ になる $2$ つの数は $5$ と $2$ だから

$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$$

$(2)\sqrt{12+2\sqrt{35}}$

足して $12$ かけて $35$ になる $2$ つの数は $7$ と $5$ だから

$$\sqrt{12+2\sqrt{35}}=\sqrt{7}+\sqrt{5}$$

$(3)\sqrt{7+2\sqrt{12}}$

足して $7$ かけて $12$ になる $2$ つの数は $4$ と $3$ だから

\sqrt{ 7 + 2\sqrt{12} } &= \sqrt{4} + \sqrt{3} \\ &= 2 + \sqrt{3}

根号の中が引き算の場合

$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$ の二重根号は，足して $m$ かけて $n$ になる $2$ つの数 $a,b(b<a)$ を使って

$$\sqrt{m-2\sqrt{n}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

と変形できます．$a$ と $b$ の大小関係に気をつければ，足し算とほとんど変わりません．

$(1)\sqrt{8-2\sqrt{15}}$

足して $8$ かけて $15$ になる $2$ つの数は $5$ と $3$ だから

$$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$$

$(2)\sqrt{11-2\sqrt{30}}$

足して $11$ かけて $30$ になる $2$ つの数は $6$ と $5$ だから

$$\sqrt{11-2\sqrt{30}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$$

$(3)\sqrt{9-2\sqrt{20}}$

足して $9$ かけて $20$ になる $2$ つの数は $5$ と $4$ だから

$$\sqrt{9-2\sqrt{20}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$$

二重根号の係数が $2$ でないとき

係数を $2$ にしてから上と同じようにはずします．

$(1)\sqrt{17+4\sqrt{15}}$

$$\sqrt{17+4\sqrt{15}}=\sqrt{17+2\sqrt{60}}$$

で，足して $17$ かけて $60$ になる $2$ つの数は $12$ と $5$ だから

\sqrt{ 17 + 4\sqrt{15} } &= \sqrt{ 17 + 2\sqrt{60} } \\ &= \sqrt{12} + \sqrt{5} \\ &= 2\sqrt{3} + \sqrt{5}

$(2)\sqrt{26+4\sqrt{30}}$

$$\sqrt{26+4\sqrt{30}}=\sqrt{26+2\sqrt{120}}$$

で，足して $26$ かけて $120$ になる $2$ つの数は $20$ と $6$ だから

\sqrt{ 26 + 4\sqrt{30} } &= \sqrt{ 26 + 2\sqrt{120} } \\ &= \sqrt{20} + \sqrt{6} \\ &= 2\sqrt{5} + \sqrt{6}