楕円の定義：焦点からの距離の和が一定になる二次曲線

平面上に $F$ と $G$ の $2$ 点をとり，任意の点 $P(x,y)$ と $F,G$ の距離を考えます．

距離の和 $PF+PG$ が一定になるとき $P$ は楕円を描きます．

楕円の定義 $2$ 点からの距離の和が一定になる曲線

楕円における $F$ と $G$ を焦点といいます．

軌跡の方程式

$F(e,0)$ と $G(-e,0)$ からの距離の和が $2a$ になる点の軌跡は

$$PF=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

PG &= \sqrt{ (x - (-e))^2 + y^2 } \\ &= \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 }

だから

$$\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}=2a$$

となります．この式は軌跡をあらわしますが，ルートの和が使いにくいためさらに変形します．

一般の方程式

$$\begin{gathered} \sqrt{(x-e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}=2a \\ \sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+e{)}^2+y^2} \\ (x-e{)}^2+y^2=(2a-\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}{)}^2 \\ (x-e{)}^2+y^2=4a^2+(x+e{)}^2+y^2-4a\sqrt{(x+e{)}^2+y^2} \\ (x-e{)}^2=4a^2+(x+e{)}^2-4a\sqrt{(x+e{)}^2+y^2} \\ 4a\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}=4a^2+(x+e{)}^2-(x-e{)}^2 \\ 4a\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}=4a^2+4ex \\ a\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}=a^2+ex \\ a\sqrt{x^2+2ex+e^2+y^2}=a^2+ex \\ {a}^2(x^2+2ex+e^2+y^2)=a^4+2a^{2}ex+e^2{x}^2 \\ {a}^2{x}^2+2a^{2}ex+a^2{e}^2+a^2{y}^2=a^4+2a^{2}ex+e^2{x}^2 \\ {a}^2{x}^2+a^2{e}^2+a^2{y}^2=a^4+e^2{x}^2 \\ (a^2-e^2)x^2+a^2{y}^2=a^4-a^2{e}^2 \\ (a^2-e^2)x^2+a^2{y}^2=a^2(a^2-e^2) \end{gathered}$$

$b^2=a^2-e^2$ とすると，

$$\begin{gathered} b^2{x}^2+a^2{y}^2=a^2{b}^2 \\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{gathered}$$

となります．これを楕円の方程式といい，問題を解くときは $a$ と $b$ の値が重要になります．

楕円の例

$(4,0)$ と $(-4,0)$ からの距離の和が $10=2\cdot 5$ になる点の軌跡は

となります．$a$ は $10÷2=5$ で，$b$ は

$$b=\sqrt{5^2-4^2}=3$$

だから楕円の方程式は

$$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$$

楕円の方程式と $a^2-e^2$

軌跡の方程式から一般の方程式にする過程で　$b^2=a^2-e^2$ としました．これは $a^2-e^2$ を正と仮定しています．

焦点の座標は $(e,0),(-e,0)$ だから二点の最短距離は $2e$ で，焦点からの距離の和 $2a$ は必ず $2e$ 以上になります．

$$2e\leqq 2a$$

$2a$ が $2e$ に等しいときの軌跡は原点なので，楕円を考えるときは

$$\begin{gathered} 2e<2a \\ e<a \\ 0<a^2-e^2 \end{gathered}$$

とします．