楕円の定義：焦点からの距離の和が一定になる二次曲線

平面上に $F$ と $G$ の $2$ 点をとり，任意の点 $P (x, y)$ と $F, G$ の距離を考えます．

距離の和 $P F + P G$ が一定になるとき $P$ は楕円を描きます．

楕円の定義 $2$ 点からの距離の和が一定になる曲線

楕円における $F$ と $G$ を焦点といいます．

軌跡の方程式

$F (e, 0)$ と $G (- e, 0)$ からの距離の和が $2 a$ になる点の軌跡は

$P F = (x - e)^{2} + y^{2}$

$PG &= \sqrt{ (x - (-e))^2 + y^2 } \\ &= \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 }$

だから

$(x - e)^{2} + y^{2} + (x + e)^{2} + y^{2} = 2 a$

となります．この式は軌跡をあらわしますが，ルートの和が使いにくいためさらに変形します．

一般の方程式

$(x - e)^{2} + y^{2} + (x + e)^{2} + y^{2} = 2 a (x - e)^{2} + y^{2} = 2 a - (x + e)^{2} + y^{2} (x - e)^{2} + y^{2} = (2 a - (x + e)^{2} + y^{2})^{2} (x - e)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + (x + e)^{2} + y^{2} - 4 a (x + e)^{2} + y^{2} (x - e)^{2} = 4 a^{2} + (x + e)^{2} - 4 a (x + e)^{2} + y^{2} 4 a (x + e)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + (x + e)^{2} - (x - e)^{2} 4 a (x + e)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + 4 e x a (x + e)^{2} + y^{2} = a^{2} + e x a x^{2} + 2 e x + e^{2} + y^{2} = a^{2} + e x a^{2} (x^{2} + 2 e x + e^{2} + y^{2}) = a^{4} + 2 a^{2} e x + e^{2} x^{2} a^{2} x^{2} + 2 a^{2} e x + a^{2} e^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} + 2 a^{2} e x + e^{2} x^{2} a^{2} x^{2} + a^{2} e^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} + e^{2} x^{2} (a^{2} - e^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} e^{2} (a^{2} - e^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - e^{2})$

$b^{2} = a^{2} - e^{2}$ とすると，

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2} \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

となります．これを楕円の方程式といい，問題を解くときは $a$ と $b$ の値が重要になります．

楕円の例

$(4, 0)$ と $(- 4, 0)$ からの距離の和が $10 = 2 \cdot 5$ になる点の軌跡は

となります． $a$ は $10 \div 2 = 5$ で， $b$ は

$b = 5^{2} - 4^{2} = 3$

だから楕円の方程式は

$\frac{x ^{2}}{5 ^{2}} + \frac{y ^{2}}{3 ^{2}} = 1$

楕円の方程式と $a^{2} - e^{2}$

軌跡の方程式から一般の方程式にする過程で　 $b^{2} = a^{2} - e^{2}$ としました．これは $a^{2} - e^{2}$ を正と仮定しています．

焦点の座標は $(e, 0), (- e, 0)$ だから二点の最短距離は $2 e$ で，焦点からの距離の和 $2 a$ は必ず $2 e$ 以上になります．

$2 e ≦ 2 a$

$2 a$ が $2 e$ に等しいときの軌跡は原点なので，楕円を考えるときは

$2 e < 2 a e < a 0 < a^{2} - e^{2}$

とします．

楕円の定義：焦点からの距離の和が一定になる二次曲線

軌跡の方程式

一般の方程式

楕円の例

楕円の方程式と a2−e2

楕円の方程式と $a^{2} - e^{2}$