平面上に F と G の 2 点をとり，任意の点 P(x, y) と F, G の距離を考えます．
二点からの距離が一定の軌跡
距離の和 PF+PG が一定になるとき P は楕円を描きます．
楕円の定義 2 点からの距離の和が一定になる曲線
楕円における F と G を焦点といいます．
軌跡の方程式
F(e, 0) と G(−e, 0) からの距離の和が 2a になる点の軌跡は
PF=(x−e)2+y2
PG &= \sqrt{ (x - (-e))^2 + y^2 } \
&= \sqrt{ (x + e)^2 + y^2 }
だから
(x−e)2+y2+(x+e)2+y2=2a
となります．この式は軌跡をあらわしますが，ルートの和が使いにくいためさらに変形します．
一般の方程式
(x−e)2+y2+(x+e)2+y2=2a(x−e)2+y2=2a−(x+e)2+y2(x−e)2+y2=(2a−(x+e)2+y2)2(x−e)2+y2=4a2+(x+e)2+y2−4a(x+e)2+y2(x−e)2=4a2+(x+e)2−4a(x+e)2+y24a(x+e)2+y2=4a2+(x+e)2−(x−e)24a(x+e)2+y2=4a2+4exa(x+e)2+y2=a2+exax2+2ex+e2+y2=a2+exa2(x2+2ex+e2+y2)=a4+2a2ex+e2x2a2x2+2a2ex+a2e2+a2y2=a4+2a2ex+e2x2a2x2+a2e2+a2y2=a4+e2x2(a2−e2)x2+a2y2=a4−a2e2(a2−e2)x2+a2y2=a2(a2−e2)
b2=a2−e2 とすると，
b2x2+a2y2=a2b2a2x2+b2y2=1
となります．これを楕円の方程式といい，問題を解くときは a と b の値が重要になります．
楕円の例
(4, 0) と (−4, 0) からの距離の和が 10=2⋅5 になる点の軌跡は
楕円と焦点
となります．a は 10÷2=5 で，b は
b=52−42=3
だから楕円の方程式は
52x2+32y2=1
楕円の方程式と a2−e2
軌跡の方程式から一般の方程式にする過程で b2=a2−e2 としました．これは a2−e2 を正と仮定しています．
焦点の座標は (e, 0), (−e, 0) だから二点の最短距離は 2e で，焦点からの距離の和 2a は必ず 2e 以上になります．
2e≦2a
2a が 2e に等しいときの軌跡は原点なので，楕円を考えるときは
2e<2ae<a0<a2−e2
とします．
