スキームの定義と例（代数幾何学）

スキーム（scheme）とは、局所的にアフィン環のスペクトルによって覆われるような空間のこと。つまり、各点の近くでは環のスペクトル $\mathrm{Spec}A$ のようにふるまう幾何的対象を指します。

可換環 $A$ に対して、その素イデアル全体の集合 $\mathrm{Spec}A$ に Zariski 位相を入れ、さらに構造層（structure sheaf）${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$ を付与したものを アフィンスキーム と呼びます。

一般のスキームとは、アフィンスキームたちを貼り合わせた空間であり、形式的には次のように定義されます。

具体例

最も基本的な例はアフィン空間 ${\mathbb{A}}_k^n$ です。$k$ を体とすると、${\mathbb{A}}_k^n=\mathrm{Spec}(k[x_1,\dots ,x_n])$ と定義されます。代数多様体の古典論では点を $k^n$ の元として扱いますが、スキーム論では素イデアル全体を考えるため、より豊かな構造を持ちます。

射影空間 ${\mathbb{P}}_k^n$ もスキームとして定義できます。$n+1$ 個のアフィンスキームを貼り合わせて構成します。具体的には ${\mathbb{P}}_k^n$ は $n+1$ 個の ${\mathbb{A}}_k^n$ を同型写像で接着したものです。

整数環のスペクトル $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ は算術幾何学で重要です。素イデアルは $(0)$ と各素数 $p$ に対応する $(p)$ からなります。これは「素数全体と一般点からなる空間」と解釈でき、数論と幾何学の橋渡しをします。

非既約スキームの例として $\mathrm{Spec}(k[x,y]/(xy))$ があります。これは $xy=0$ で定義される図形で、$x$ 軸と $y$ 軸の和集合に対応します。古典的には二つの直線の和ですが、スキーム論では原点における接着の情報も保持します。