スキームは環を貼り合わせただけ！定義から代表例まで

スキームは、可換環 1 つから作った空間を貼り合わせたものです。

材料は環、貼り合わせ方は位相空間と同じ。それだけで、方程式の解の集合よりずっと広い対象が扱えるようになります。

以下ではまず環 1 つから空間を作り、点とは何かを決めます。そのあと貼り合わせの定義を書き、代表的な例を 8 つ並べる。

環 1 つから空間を作る

可換環 $A$ に対して、素イデアルの全体を $\mathrm{Spec}A$ と書きます。これが台となる集合です。

イデアル $I$ に対して、$I$ を含む素イデアルの全体 $V(I)$ を閉集合と定めます。この族が位相の公理をみたすことは、次の 2 つから出ます。

$$V(I)\cup V(J)=V(I\cap J),\bigcap _{\lambda }V(I_{\lambda })=V\left(\sum _{\lambda }{I}_{\lambda }\right)$$

これをザリスキ位相といいます。開基は $D(f)=\{\mathfrak{p}:f\notin \mathfrak{p}\}$ で、$f$ が消えない場所です。

構造層は局所化で定めます。$\mathcal{O}(D(f))=A_f$ とし、点 $\mathfrak{p}$ での茎は $A_{\mathfrak{p}}$ になります^[5]。

大域切断はもとの環に戻ります。$\Gamma (\mathrm{Spec}A,\mathcal{O})=A$ です。

なぜ素イデアルを点と呼ぶのか

古典的な代数幾何では、点は座標の組でした。素イデアルを点と呼ぶ理由を確かめます。

$k$ を代数閉体、$A=k[x_1,\dots ,x_n]$ とします。ヒルベルトの零点定理から、極大イデアルは $(x_1-a_1,\dots ,x_n-a_n)$ の形に限られます。

つまり極大イデアルと $k^n$ の点が 1 対 1 に対応する。古典的な点は、極大イデアルとして全部入っています。

素イデアルのうち極大でないものは、既約な部分多様体に対応します。$(y-x^2)\subset k[x,y]$ なら放物線そのものです。

点が増えたのではなく、部分多様体まで点として数え直したことになります。

例: 直線の上の点を並べる

$\mathrm{Spec}k[x]$ を具体的に描きましょう。$k$ は代数閉体とします。

素イデアルは $(0)$ と $(x-a)$ です。後者が古典的な点、前者が余分に増えた点になります。

$(0)$ を生成点といいます。閉包が空間の全体になる点です。

閉包が全体になるのは、$(0)$ を含む素イデアルがすべてだからです。図では 1 か所に置けないので、帯として描いてあります。

閉点は $(x-a)$ たちで、こちらは閉包が自分自身です。$V((x-a))=\{(x-a)\}$ になります。

定義: スキーム

材料がそろったので定義を書きます。

局所環付き空間 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ がスキームであるとは、どの点にもアフィンスキームと同型な開近傍があることをいいます^[1]。

$$(U,{\mathcal{O}}_X{|}_U)\cong (\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$$

射はそのまま局所環付き空間の射です。茎で局所準同型になることまで込みで要求します^[3]。

多様体の定義と形がそっくりです。局所的にユークリッド空間、の代わりに局所的にアフィンスキーム、と置き換えただけになっています。

例: アフィン空間と算術の直線

いちばん基本的な例を 2 つ挙げます。

2 つが同じ形をしているところに、数論と幾何をつなぐ発想があります。素数を点として扱う、という読み替えです。

$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ はスキームの圏の終対象です。どんな環にも $\mathbb{Z}$ から準同型がただ 1 つあるので、射がちょうど 1 本しか作れません^[4]。

例: 射影直線を貼り合わせる

アフィンでない例を作ります。2 枚のアフィン直線を貼り合わせましょう。

$U_0=\mathrm{Spec}k[t]$、$U_1=\mathrm{Spec}k[s]$ とし、$t\ne 0$ と $s\ne 0$ の部分を $s=1/t$ で同一視します。

貼り合わせてできる空間が射影直線 ${\mathbb{P}}_k^1$ です。$U_0$ に入らない点がちょうど 1 つあり、それが無限遠点になります。

上端の 1 点だけが $U_0$ から外れます。そこが無限遠点で、$U_1$ の座標では $s=0$ にあたる。

下端の 1 点は $U_1$ から外れます。$U_0$ の座標では $t=0$ の点です。

2 枚で覆えていて、重なりの上では $s=1/t$ でつながっている。これが貼り合わせの中身です。

${\mathbb{P}}_k^1$ はアフィンではありません^[5]。大域切断が $k$ しかないので、もしアフィンなら 1 点になってしまうためです。

例: 平面から原点を抜く

アフィンでない例をもう 1 つ作ります。$X={\mathbb{A}}_k^2\setminus \{(0,0)\}$ を考えましょう。

$X$ は $D(x)$ と $D(y)$ という 2 枚のアフィン開集合で覆えます。だからスキームです。

ところが $X$ 自身はアフィンではありません^[5]。大域切断を計算すると $k[x,y]$ になるためです。

$X$ の上の正則関数は $k[x,y{]}_x$ と $k[x,y{]}_y$ の共通部分で、分母をもてません。原点だけを抜いても関数は増えない。

アフィンなら $X\cong \mathrm{Spec}k[x,y]={\mathbb{A}}^2$ となるはずですが、点の個数が違うので同型になりません。

例: 冪零元をもつスキーム

方程式の解の集合では捉えられない例です。$\mathrm{Spec}k[x]/(x^2)$ を考えます。

素イデアルは $(x)$ ただ 1 つです。台は 1 点で、$\mathrm{Spec}k$ と同相になります。

構造層は違います。大域切断が $k[x]/(x^2)$ で $2$ 次元、$\mathrm{Spec}k$ の $1$ 次元より大きい。

$x$ は $0$ でないのに $2$ 乗すると $0$ になります。「厚みをもった点」と読まれ、接ベクトルの情報を運ぶ対象になります^[2]。

古典的な代数幾何では、$x^2=0$ と $x=0$ の解集合は同じでした。スキームでは 2 つを区別できます。

例: 2 直線と、2 点だけの空間

さらに 2 つ挙げます。

どちらも点の個数が有限です。ザリスキ位相はとても粗いので、こういう小さな空間がふつうに出てきます。

開集合が少ないことの帰結

ザリスキ位相の開集合は、閉集合の補集合として作られます。${\mathbb{A}}^1$ なら、閉集合は有限集合か全体だけです。

したがって空でない開集合は、有限個の点を抜いたものになります。どの 2 つも必ず交わる。

ハウスドルフではありません。分離公理は別の形で立て直され、分離射という相対的な概念になります。

連結性の判定は逆に楽になります。$\mathrm{Spec}A$ が連結でないことと、$A$ が $0$ でない 2 つの環の直積になることが同値です。

開部分スキームと閉部分スキーム

部分を切り出す方法が 2 通りあります。開いているほうは簡単です。

$X$ の開集合 $U$ に構造層を制限すると、それだけでスキームになります。$X=\mathrm{Spec}A$ で $U=D(f)$ なら $\mathrm{Spec}{A}_f$ です。

閉じているほうにはイデアルが要ります。イデアル $I$ をとると $\mathrm{Spec}A/I$ が閉部分スキームで、台は $V(I)$ です。

台だけでは決まりません。$I=(x)$ と $I=(x^2)$ は台がどちらも同じ直線ですが、閉部分スキームとしては別物です。

閉集合には根基イデアルが対応し、閉部分スキームにはイデアルそのものが対応する。この差が冪零元の情報になります。

例: 被約化

冪零元を捨てる操作もあります。$A$ の冪零元全体は根基 $\sqrt{0}$ というイデアルをなします。

$A_{\mathrm{red}}=A/\sqrt{0}$ とすると、$\mathrm{Spec}{A}_{\mathrm{red}}$ は $\mathrm{Spec}A$ と同相です。素イデアルは冪零元をすべて含むためです。

$k[x]/(x^2)$ なら $\sqrt{0}=(x)$ なので、被約化は $k$ になります。厚みをもった点が、ふつうの点に戻る。

台が同じで構造層だけが違う 2 つのうち、いちばん細いほうを選ぶ操作にあたります。古典的な代数幾何は、はじめから被約なものだけを見ていました。

点は環ごとに数える

スキームの点には、もう 1 つの数え方があります。行き先ではなく、出発点を変えて数える方法です。

環 $R$ に対して、$R$ 値点の集合を次で定めます。

$$X(R)=\mathrm{Mor}(\mathrm{Spec}R,X)$$

$X$ がアフィンなら、この集合は環準同型の全体です^[4]。方程式の解と直接つながります。

$X=\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ で試しましょう。$X(R)$ は $a^2+b^2=1$ をみたす $R$ の元の組の全体になります。

$R=\mathbb{R}$ なら単位円、$R=\mathbb{Q}$ なら有理点、$R=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ なら有限体の解。同じスキームから、係数環ごとに違う解集合が読めます。

方程式を 1 つ書いておけば、どの環で解くかはあとから選べる。これがスキームで解を扱うときの強みです。

例: 算術的な曲面

$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x]$ は $2$ 次元で、算術的な曲面と呼ばれます。

閉点は $(p,g)$ の形です。$p$ が素数、$g$ が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上既約な多項式の持ち上げになります。剰余体は有限体です。

高さ $1$ の素イデアルは 2 種類あります。$(p)$ という縦の線と、$\mathbb{Q}$ 上既約な多項式が生成する横の曲線です。

$(0)$ が生成点で、鎖は $(0)⊊(p)⊊(p,x)$ のように 2 段まで伸びます。だから次元が $2$ になる。

素数の方向と変数の方向が、対等な 2 本の軸として並びます。数論の問題を曲面の幾何として扱う土台になっています。

用語が生まれるまで

理論が固まるまでの流れを並べておきます^[2]。

セールが層の言葉を代数幾何へ持ち込んだ仕事が、直前の段階にあたります。スペクトルを土台にする案もその流れで出てきました^[2]。

環の理論をそのまま幾何として扱える。この言い換えが、スキーム論のいちばんの見返りです。

練習

台と構造層を分けて考える癖がつくと、この種の問いで迷わなくなります。

よくある誤り

最後に並べます。

環から空間を作る手順を 1 度自分で書き下すと、どれも当たり前に見えてきます。

参考文献