アフィンスキーム

環 $A$ が与えられたとき、 $Spec (A)$ という位相空間とその上の構造層 $O_{Spec (A)}$ の組 $(Spec (A), O_{Spec (A)})$ をアフィンスキームといいます。

Spec の構成

可換環 $A$ に対して、 $Spec (A)$ は $A$ の素イデアル全体の集合として定義されます。この集合に Zariski 位相を入れます。部分集合 $V (I) = {p \in Spec (A) ∣ I \subseteq p}$ をイデアル $I$ に対して定め、これらを閉集合として位相を定義します。

基本開集合 $D (f) = {p \in Spec (A) ∣ f \in / p}$ は $f \in A$ に対して定義され、これらが開集合の基底となります。 $D (f)$ と $Spec (A_{f})$ は自然に同型です。

構造層の定義

層（sheaf）とは、位相空間 $X$ 上で定義される対象で、開集合 $U$ ごとに代数的構造（環や加群など） $F (U)$ を対応させ、包含関係 $V \subseteq U$ に対して制限写像 $ρ_{U V} : F (U) \to F (V)$ を持つものです。

局所性

開集合 $U$ の開被覆 ${U_{i}}$ と各 $s_{i} \in F (U_{i})$ に対し、すべての $i, j$ で $s_{i} ∣_{U_{i} \cap U_{j}} = s_{j} ∣_{U_{i} \cap U_{j}}$ ならば、ある $s \in F (U)$ が一意的に存在して $s ∣_{U_{i}} = s_{i}$ となる。

貼り合わせ条件

開集合 $U$ の開被覆 ${U_{i}}$ において、各 $U_{i}$ 上の切断 $s_{i} \in F (U_{i})$ が交わり $U_{i} \cap U_{j}$ 上で一致するなら、それらを貼り合わせた大域的な切断 $s \in F (U)$ が存在する。

アフィンスキーム $Spec (A)$ 上の構造層 $O_{Spec (A)}$ は、開集合 $U$ に対して $U$ 上の正則関数の環を対応させる層です。基本開集合 $D (f)$ に対しては $O_{Spec (A)} (D (f)) = A_{f}$ （ $f$ による局所化）と定義され、一般の開集合には貼り合わせ条件により定まります。

素イデアル $p$ における茎（stalk） $O_{p}$ は、 $p$ を含むすべての開集合上の切断の帰納極限として定義され、局所環 $A_{p}$ と同型になります。

幾何学的解釈

古典的な代数幾何では、体 $k$ 上の多項式環 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ のイデアル $I$ に対して、零点集合 $V (I) = {(a_{1}, \dots, a_{n}) \in k^{n} ∣ f (a_{1}, \dots, a_{n}) = 0 (\forall f \in I)}$ を考えました。

アフィンスキームの枠組みでは、 $k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I$ という環から $Spec (k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I)$ という位相空間を構成し、その上に構造層を載せることで、より一般的な幾何学的対象を扱えます。極大イデアルは古典的な点に対応し、素イデアルは「一般点」として解釈されます。

古典的代数幾何

体 $k$ 上の代数多様体を $k^{n}$ の部分集合として扱い、点は極大イデアルのみ。幾何学的対象は具体的な座標空間に埋め込まれている。

スキーム論

任意の可換環から幾何学的対象を構成し、素イデアルすべてを点として扱う。座標空間への埋め込みを必要とせず、より抽象的で一般的な枠組みを提供する。

この一般化により、整数論における整数環 $Z$ のスペクトラムや、様々な環上の幾何学を統一的に扱えるようになりました。