環 が与えられたとき、 という位相空間とその上の構造層 の組 をアフィンスキームといいます。
Spec の構成
可換環 に対して、 は の素イデアル全体の集合として定義されます。この集合に Zariski 位相を入れます。部分集合 をイデアル に対して定め、これらを閉集合として位相を定義します。
基本開集合 は に対して定義され、これらが開集合の基底となります。 と は自然に同型です。
構造層の定義
層（sheaf）とは、位相空間 上で定義される対象で、開集合 ごとに代数的構造（環や加群など） を対応させ、包含関係 に対して制限写像 を持つものです。
開集合 の開被覆 と各 に対し、すべての で ならば、ある が一意的に存在して となる。
開集合 の開被覆 において、各 上の切断 が交わり 上で一致するなら、それらを貼り合わせた大域的な切断 が存在する。
アフィンスキーム 上の構造層 は、開集合 に対して 上の正則関数の環を対応させる層です。基本開集合 に対しては （ による局所化）と定義され、一般の開集合には貼り合わせ条件により定まります。
素イデアル における茎（stalk） は、 を含むすべての開集合上の切断の帰納極限として定義され、局所環 と同型になります。
幾何学的解釈
古典的な代数幾何では、体 上の多項式環 のイデアル に対して、零点集合 を考えました。
アフィンスキームの枠組みでは、 という環から という位相空間を構成し、その上に構造層を載せることで、より一般的な幾何学的対象を扱えます。極大イデアルは古典的な点に対応し、素イデアルは「一般点」として解釈されます。
体 上の代数多様体を の部分集合として扱い、点は極大イデアルのみ。幾何学的対象は具体的な座標空間に埋め込まれている。
任意の可換環から幾何学的対象を構成し、素イデアルすべてを点として扱う。座標空間への埋め込みを必要とせず、より抽象的で一般的な枠組みを提供する。
この一般化により、整数論における整数環 のスペクトラムや、様々な環上の幾何学を統一的に扱えるようになりました。
