アフィンスキームの基礎｜Spec の構成から構造層・環準同型との対応までわかりやすく解説

可換環 $A$ の素イデアル全体に位相を入れ、その上に環の層を載せた組をアフィンスキームと呼びます。記号では $(\mathrm{Spec}(A),{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}(A)})$ と書きます。

古典的な代数幾何は、多項式の零点集合を空間と見ていました。スキーム論はこの向きを逆にして、環そのものを出発点に置きます。

環から空間を作るという発想のおかげで、体上の多項式環に限らず $\mathbb{Z}$ のような環からも幾何が立ち上がります。以下では $\mathrm{Spec}$ の構成から始め、位相の性質、具体例、構造層、環準同型との対応を順に追います。

素イデアルを点とする

$\mathrm{Spec}(A)$ は $A$ の素イデアル全体の集合です。ここで極大イデアルではなく素イデアルを選ぶところに、スキーム論の要点があります。

理由は関手性にあります。環準同型 $\phi :A\to B$ と $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ に対して、逆像 ${\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ はふたたび素イデアルになるからです。

素イデアルなら引き戻しが素イデアルに戻るので、環の射がそのまま空間の写像を与えます。極大イデアルだけを点にすると、この対応が壊れてしまうのです。

なお $A$ が零環のときは素イデアルが存在せず、$\mathrm{Spec}(A)$ は空集合になります。逆に $A\ne 0$ であれば極大イデアルが少なくとも 1 つ存在するので、空になることはありません。

Zariski 位相

$A$ のイデアル $I$ に対して、$I$ を含む素イデアル全体を次のように定めます。

$$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(A)\mid I\subseteq \mathfrak{p}\}$$

この形の部分集合を閉集合と宣言したものが Zariski 位相です。開集合を先に決めるのではなく、閉集合の族を与えて位相を定義する形になっています。

閉集合の族が位相の公理を満たすことは、次の 3 つの等式からわかります。

全体と空集合が閉であること、有限和で閉じること、任意個の共通部分で閉じることがこれでそろいます。3 番目の等式は添字集合が無限でも成り立ちます。

有限和で閉じることの証明

3 つの等式のうち、素イデアルであることを本質的に使うのは 2 番目です。ここだけ確かめておきます。

$I\cap J\subseteq I$ より $V(I)\subseteq V(I\cap J)$ が成り立ち、$J$ についても同様なので、左辺は右辺に含まれます。

逆を示します。$\mathfrak{p}\supseteq I\cap J$ かつ $\mathfrak{p}⊉I$ とすると、$a\in I$ かつ $a\notin \mathfrak{p}$ を満たす元 $a$ がとれます。

任意の $b\in J$ に対して $ab\in I\cap J\subseteq \mathfrak{p}$ です。$\mathfrak{p}$ は素で $a\notin \mathfrak{p}$ なので $b\in \mathfrak{p}$ となり、$J\subseteq \mathfrak{p}$ が従います。

$ab\in \mathfrak{p}$ ならば $a\in \mathfrak{p}$ または $b\in \mathfrak{p}$、という条件を使うのはこの箇所だけです。素イデアルの定義が位相の公理に直結している、と言い換えてもよいでしょう。

基本開集合

$f\in A$ に対して、$f$ を含まない素イデアル全体を $D(f)=\mathrm{Spec}(A)\setminus V(f)$ と書き、基本開集合と呼びます。

任意の開集合は $\mathrm{Spec}(A)\setminus V(I)$ の形をしており、これは ${\bigcup }_{f\in I}D(f)$ に一致します。したがって $D(f)$ たちは開集合の基底をなします。

基本開集合どうしの共通部分もまた基本開集合になります。$\mathfrak{p}$ が素であることから、$fg\notin \mathfrak{p}$ と「$f\notin \mathfrak{p}$ かつ $g\notin \mathfrak{p}$」が同値になり、$D(f)\cap D(g)=D(fg)$ が得られます。

$D(f)$ が空になるのは $f$ がすべての素イデアルに入るときです。素イデアルの共通部分は冪零根基なので、これは $f$ が冪零元であることと同値になります。

反対に $D(f)$ が全体になるのは、$f$ がどの極大イデアルにも入らないとき、すなわち $f$ が単元のときです。

準コンパクト性

$\mathrm{Spec}(A)$ はつねに準コンパクトです。どんな開被覆からも有限部分被覆がとれます。

基底で考えれば十分なので、$\mathrm{Spec}(A)={\bigcup }_{i}D(f_i)$ としましょう。両辺の補集合をとると $V\left({\sum }_i(f_i)\right)=\varnothing$ になります。

単位元 $1$ を表すのに使う項が有限個であることが、そのまま有限部分被覆を与えます。環の単位元がひとつしかないという当たり前の事実が、位相的な性質へ翻訳されるわけです。

ハウスドルフではないので、この性質は「コンパクト」ではなく「準コンパクト」と呼び分けます。

体のスペクトル

体 $k$ の素イデアルは $(0)$ だけです。したがって $\mathrm{Spec}(k)$ は 1 点からなる空間になります。

この 1 点における剰余体は $k$ 自身です。空間としては最小ですが、どの体から来たかという情報は構造層のほうが覚えています。

$\mathrm{Spec}(\mathbb{R})$ と $\mathrm{Spec}(\mathbb{C})$ は、位相空間としてはまったく区別できません。両者を分けるのは環のデータであり、この点がスキームと素朴な点集合との違いを端的に示しています。

整数環のスペクトル

$\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ と、素数 $p$ による $(p)$ です。前者は 1 個、後者は素数の個数だけあります。

$(p)$ は極大イデアルなので閉点になります。剰余体は $\mathbb{Z}/(p)$ で、位数 $p$ の有限体です。

$(0)$ は極大ではないため閉点ではありません。$(0)$ を含む閉集合は $V(0)=\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ だけなので、$(0)$ の閉包は空間全体になります。

このような点を一般点と呼びます。1 点でありながら空間全体に広がっているように振る舞う点で、古典的な図形の感覚にはないものです。

図では閉点を粒として並べ、一般点は全体を覆う帯として描いています。$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ は素数が並ぶ 1 次元の対象であり、曲線に似た構造を持ちます。

直線のスペクトル

$k$ を代数閉体とし、1 変数多項式環 $k[x]$ を考えます。$k[x]$ は単項イデアル整域なので、素イデアルは $(0)$ と既約多項式が生成するイデアルに限られます。

代数閉体の上では既約多項式は 1 次式だけです。よって素イデアルは $(0)$ と $(x-a)$（$a\in k$）になります。

閉点 $(x-a)$ が $k$ の元と 1 対 1 に対応し、そこへ一般点 $(0)$ が 1 つ加わった形です。この空間をアフィン直線 ${\mathbb{A}}_k^1$ と呼びます。

古典的なアフィン直線は $k$ そのものでした。スキームとしての直線には、そこに「曲線全体を代表する点」が付け加わっています。

実数体上の直線

代数閉でない体では様子が変わります。$\mathbb{R}[x]$ の既約多項式には、1 次式のほかに判別式が負の 2 次式があるからです。

素イデアルは $(0)$、$(x-a)$（$a\in \mathbb{R}$）、そして $(x^2+bx+c)$（$b^2-4c<0$）の 3 種類になります。それぞれの点で剰余体を計算すると、次のように分かれます。

つまり互いに共役な 2 つの複素数が、$\mathrm{Spec}(\mathbb{R}[x])$ ではひとつの点にまとまります。$x^2+1$ に対応する点は、$\pm i$ の組をひとまとめにしたものです。

剰余体が点ごとに違うという状況は、古典的な多様体では起こりませんでした。点が持つ情報を空間の側に組み込んでしまう、というのがスキームの見方です。

平面のスペクトル

2 変数多項式環 $k[x,y]$（$k$ は代数閉体）では、素イデアルが 3 つの層に分かれます。

極大イデアル $(x-a,y-b)$ は平面の点に対応する閉点です。既約多項式 $f$ が生成する $(f)$ は既約曲線に対応し、$(0)$ は平面全体を代表する一般点になります。

包含関係 $(0)\subset (f)\subset (x-a,y-b)$ は、対応する図形の大小と逆向きに並びます。素イデアルが小さいほど、それが代表する図形は大きくなるのです。

矢印は特殊化と呼ばれる関係を表します。$\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$ のとき $\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{p}$ の特殊化であり、$\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{p}$ の閉包に含まれます。

曲線 $f=0$ 上の閉点をすべて集めても、$(f)$ という一般点は得られません。曲線を代表する点は閉点とは別に用意されている、と考えるほうが正確です。

二重点

$k[x]/(x^2)$ の素イデアルは $(x)$ ただ 1 つです。$x$ は冪零なので、どの素イデアルにも含まれるからです。

したがって $\mathrm{Spec}(k[x]/(x^2))$ は 1 点からなり、位相空間としては $\mathrm{Spec}(k)$ と同じものになります。

しかし環のほうは違います。$k[x]/(x^2)$ は $k$ 上 2 次元のベクトル空間であり、$0$ でない冪零元 $x$ を持っています。

この差は接ベクトルの情報にあたります。$k[x]/(x^2)$ からの射は点だけでなく、その点における接方向まで指定するものになるのです。

位相空間だけを見ると失われてしまう情報が、構造層には残っています。アフィンスキームが空間と層の組として定義される理由がここにあります。

点の閉包と一般点

一般に、素イデアル $\mathfrak{p}$ の閉包は $V(\mathfrak{p})$ に等しくなります。

$\mathfrak{p}$ を含む閉集合 $V(I)$ は $I\subseteq \mathfrak{p}$ を満たします。そのような $I$ のうち最大のものが $\mathfrak{p}$ 自身なので、$\mathfrak{p}$ を含む最小の閉集合は $V(\mathfrak{p})$ になります。

この式から、$\mathfrak{p}$ が閉点であることと $\mathfrak{p}$ が極大イデアルであることが同値だとわかります。$V(\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$ は、$\mathfrak{p}$ を真に含む素イデアルがないことと同じだからです。

既約閉集合 $Z$ に対して、$Z=\overline{\{\eta \}}$ となる点 $\eta$ を $Z$ の一般点と呼びます。$Z=V(\mathfrak{p})$ のとき $\eta =\mathfrak{p}$ が唯一の一般点になります。

既約性と素イデアル

閉集合 $V(I)$ が既約であることと、$\sqrt{I}$ が素イデアルであることは同値です。

この対応により、$\mathrm{Spec}(A)$ の既約閉集合全体と $A$ の素イデアル全体が 1 対 1 に対応します。図形の言葉と環の言葉が、ここで完全に翻訳されるわけです。

とくに $\mathrm{Spec}(A)$ 自身が既約になるのは、冪零根基 $\sqrt{0}$ が素イデアルのときです。$A$ が整域であれば $\sqrt{0}=(0)$ なので、この条件は満たされます。

閉点だけを集めた部分空間をとると、古典的な点の集合が戻ってきます。ただしその操作では一般点が落ちるので、既約成分を扱う道具を手放すことになります。

分離公理

$\mathrm{Spec}(A)$ は $T_0$ 空間です。相異なる素イデアル $\mathfrak{p}\ne \mathfrak{q}$ は閉包が異なるので、一方だけを含む開集合が必ずとれます。

一方で $T_1$ とは限りません。$T_1$ であることは、すべての点が閉であること、すなわちすべての素イデアルが極大であることと同値になります。

$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ は $(0)$ が閉でないので $T_1$ ではありません。ハウスドルフ性を期待する場面ではないという点を、はじめに押さえておくと混乱が減ります。

代わりに成り立つのが sober 性です。すべての既約閉集合がただ 1 つの一般点を持つという性質で、前節の対応がそれを保証しています。

層とは何か

位相空間 $X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ とは、開集合 $U$ ごとに環 $\mathcal{F}(U)$ を与え、包含 $V\subseteq U$ ごとに制限写像 ${\rho }_{UV}:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V)$ を与えるものです。制限写像は ${\rho }_{UU}=\mathrm{id}$ と ${\rho }_{VW}\circ {\rho }_{UV}={\rho }_{UW}$ を満たします。

前層が層であるとは、開被覆に関する次の 2 つの条件を満たすことをいいます。

2 つを合わせると「存在して一意」になります。局所性が一意性を、貼り合わせが存在を担当しており、片方だけでは層になりません。

貼り合わせが成り立たない前層の例としては、定数関数の前層があります。連結でない開集合の上で値の違う定数を貼ろうとすると、定数関数の枠からはみ出してしまうためです。

構造層の定義

$\mathrm{Spec}(A)$ 上の構造層 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}(A)}$ は、まず基本開集合の上での値を局所化で定めます。

$${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(f))=A_f$$

$A_f$ は $f$ の冪を分母に許した環です。$D(f)$ の上では $f$ がどの素イデアルにも入らないので、そこでは $f$ で割ってよい、という直観になります。

一般の開集合 $U$ に対する値は、$U$ を基本開集合で覆って貼り合わせることで決まります。基底の上で層の条件を満たしていれば、全体の層がただ 1 つ定まるからです。

$f=1$ とすれば $D(1)=\mathrm{Spec}(A)$ かつ $A_1=A$ なので、大域切断は $A$ そのものになります。環から空間を作り、その空間から環が完全に復元されるわけです。

定義がずれないこと

$D(f)=D(g)$ であっても $f$ と $g$ は別の元です。それでも $A_f$ と $A_g$ が同一視できることを確かめておきます。

$D(g)\subseteq D(f)$ は $V(f)\subseteq V(g)$ と同値で、これは $g\in \sqrt{(f)}$ と言い換えられます。すなわち $g^n=af$ を満たす自然数 $n$ と元 $a\in A$ が存在します。

このとき $A_g$ の中で $f$ は単元になります。$g^n$ が単元であり、$f\cdot (a/g^n)=1$ が成り立つからです。

局所化の普遍性から、環準同型 $A_f\to A_g$ がただ 1 つ定まります。$D(f)=D(g)$ なら両向きの射がとれ、一意性から互いに逆になるので $A_f\cong A_g$ が得られます。

制限写像もこの構成から自動的に決まります。$D(g)\subseteq D(f)$ に対して定まる $A_f\to A_g$ が、そのまま層の制限写像になるからです。

茎は局所環

点 $\mathfrak{p}$ における茎 ${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}$ は、$\mathfrak{p}$ を含む開集合上の切断の帰納極限として定義されます。

$${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}=\underset{\mathfrak{p}\in U}{\underrightarrow{\lim }}{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}(A)}(U)$$

基本開集合だけで極限をとれば十分なので、$f\notin \mathfrak{p}$ を満たす $f$ にわたる $A_f$ の極限と同じものになります。

これは $A\setminus \mathfrak{p}$ による局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ に一致します。$A_{\mathfrak{p}}$ は極大イデアル $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ をただ 1 つ持つ局所環です。

すべての茎が局所環になるという性質は偶然ではありません。射を定義するときの鍵になる性質で、「局所環付き空間」という名前もここから来ています。

局所環付き空間

位相空間 $X$ と $X$ 上の環の層 ${\mathcal{O}}_X$ の組を環付き空間と呼びます。さらにすべての茎 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ が局所環であるとき、局所環付き空間といいます。

射 $(X,{\mathcal{O}}_X)\to (Y,{\mathcal{O}}_Y)$ は、連続写像 $f:X\to Y$ と層の射 $f^{\#}:{\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$ の組として定義されます。

局所環付き空間の射では、さらに $f^{\#}$ が誘導する茎の写像 ${\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$ が局所準同型であることを要求します。極大イデアルが極大イデアルの中へ送られる、という条件です。

この追加条件は飾りではありません。次に見るように、これがないと環準同型との対応が崩れてしまいます。

環準同型との対応

環準同型 $\phi :A\to B$ は、写像 ${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spec}(B)\to \mathrm{Spec}(A)$ を $\mathfrak{q}\mapsto {\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ で与えます。

これは連続です。イデアル $I\subseteq A$ に対して $({\phi }^{\ast }{)}^{-1}(V(I))=V(\phi (I)B)$ が成り立ち、閉集合の逆像が閉集合になるからです。

逆向きも成り立ちます。局所環付き空間の射 $\mathrm{Spec}(B)\to \mathrm{Spec}(A)$ は、必ずある環準同型 $A\to B$ から来ます。

正確には、環準同型の集合 $\mathrm{Hom}(A,B)$ と局所環付き空間の射の集合 $\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}(B),\mathrm{Spec}(A))$ が自然に 1 対 1 対応します。可換環の圏とアフィンスキームの圏が、向きを逆にして同値になるということです。

「局所」という条件を落とすと、この対応は成り立ちません。離散付値環 $R$ とその商体 $K$ に対して、$\mathrm{Spec}(K)$ の唯一の点を $\mathrm{Spec}(R)$ の閉点へ送る環付き空間の射が作れますが、これは $R\to K$ から来る射とは別物です。

商環と閉埋め込み

全射 $A\to A/I$ が与える写像は、$\mathrm{Spec}(A/I)$ から $\mathrm{Spec}(A)$ への単射になります。像はちょうど $V(I)$ です。

$A/I$ の素イデアルが $I$ を含む $A$ の素イデアルと 1 対 1 に対応するからです。位相も一致するので、$\mathrm{Spec}(A/I)$ は $V(I)$ に同相になります。

これを閉埋め込みと呼びます。環の側で剰余をとる操作が、空間の側では閉部分集合を切り出す操作にあたるわけです。

$I$ と $\sqrt{I}$ は同じ閉集合を与えますが、$\mathrm{Spec}(A/I)$ と $\mathrm{Spec}(A/\sqrt{I})$ はスキームとしては別物です。前者は冪零元を持ちうるからで、この差がのちに重複度の情報になります。

局所化と開埋め込み

局所化 $A\to A_f$ が与える写像 $\mathrm{Spec}(A_f)\to \mathrm{Spec}(A)$ は、像 $D(f)$ への同相になります。

$A_f$ の素イデアルは、$f$ を含まない $A$ の素イデアルと対応します。分母に $f$ を許すと $f$ が単元になり、$f$ を含む素イデアルは残れないからです。

構造層も対応します。$D(f)$ に制限した ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}(A)}$ は $\mathrm{Spec}(A_f)$ の構造層と一致するので、$D(f)$ 自身がひとつのアフィンスキームになります。

基本開集合がふたたびアフィンスキームになるという事実は重要です。アフィンスキームを貼り合わせて一般のスキームを作るとき、この性質が土台になります。

古典的な代数多様体との対応

$k$ を代数閉体とし、$A=k[x_1,\dots ,x_n]/I$ とします。Hilbert の零点定理により、$A$ の極大イデアルは零点集合の点と 1 対 1 に対応します。

つまり古典的な代数多様体は、$\mathrm{Spec}(A)$ の閉点全体としてとり出せます。スキームはそこへ、既約部分多様体を代表する一般点を付け加えたものです。

零点定理はまた $I(V(I))=\sqrt{I}$ を与えます。閉点だけを見ていると $I$ と $\sqrt{I}$ の区別がつかず、冪零元の情報が落ちてしまいます。

スキームの枠組みでは環をそのまま持ち歩くので、この情報が保存されます。何が得られたのかは、次の交点の例が最もはっきり示してくれます。

冪零元が見える例

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=0$ の交わりを考えます。連立させると $x^2=0$ となり、原点で接していることがわかります。

スキームとしての交わりは、対応する 2 つのイデアルの和で剰余をとることで定義されます。

$$k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$$

右辺は前に見た二重点です。位相空間としては原点 1 点ですが、環が $k[x]/(x^2)$ なので $k$ 上の次元は 2 になります。

この次元 2 が交点の重複度にあたります。接している状況を「2 点が重なったもの」として数え上げられる、というのがスキームの利点です。

直線を $y=c$ にずらすと $k[x]/(x^2-c)$ になります。標数が 2 でない代数閉体なら、$c\ne 0$ のとき相異なる 2 点に分かれ、$c\to 0$ で 2 点が衝突する様子が環の言葉で追えます。

整数環の幾何

$\mathbb{Z}$ は可換環の圏の始対象です。したがって $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ はスキームの圏の終対象になります。

どんなスキームも $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ の上にある、という言い方ができます。体上の幾何は、その上でさらに $\mathrm{Spec}(k)$ を経由する場合にあたります。

$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ は Krull 次元 1 の対象であり、有限体上の曲線とよく似た振る舞いを見せます。この類似が数論幾何の出発点になりました。

代数体 $K$ の整数環 ${\mathcal{O}}_K$ についても同様です。素イデアルの分解が被覆の分岐に対応し、整数論の問題を幾何の言葉で扱えるようになります。

スキームが生まれるまで

環を先に置いて空間を作るという発想は、Grothendieck が突然持ち込んだものではありません。19 世紀末からの流れがあります。

Serre の論文は Faisceaux algébriques cohérents として知られ、層の技法を代数幾何に定着させました。その 5 年後に Éléments de géométrie algébrique がスキームの体系を与えます。

現在の標準的な参照先としては、Stacks Project が全文を公開しています。定義の細部を確認したいときに便利です。

スキームへの拡張

一般のスキームは、局所的にアフィンスキームと同型な局所環付き空間として定義されます。多様体を座標近傍で覆うのと同じ発想です。

もっとも簡単な例が射影直線 ${\mathbb{P}}_k^1$ になります。$\mathrm{Spec}(k[x])$ と $\mathrm{Spec}(k[y])$ の 2 枚を、$x\mapsto 1/y$ という対応で貼り合わせて作ります。

貼り合わせる領域は $D(x)$ と $D(y)$ で、どちらも $\mathrm{Spec}(k[x,1/x])$ に同型です。局所化がふたたびアフィンスキームになるという性質が、ここで効いています。

${\mathbb{P}}_k^1$ 自身はアフィンスキームではありません。大域切断が $k$ だけになるので、$\mathrm{Spec}$ をとると 1 点に潰れてしまい、元の空間に戻らないからです。

アフィンスキームは、こうした貼り合わせの部品として働きます。$\mathrm{Spec}$ の構成を押さえておけば、あとは局所的な情報をどう繋ぐかという問題に還元されます。

参考文献