スキームの射と連続写像

スキームの射とは、環準同型を通じて定義される「局所環の構造を保つ」写像のこと。位相空間の写像のうち、単なる連続写像とは異なり、スキームの射は代数的情報を同時に伝える。

スキームの射の定義

スキーム $X=(|X|,{\mathcal{O}}_X)$ と $Y=(|Y|,{\mathcal{O}}_Y)$ のあいだの射とは

位相空間としての連続写像 $f:|X|\to |Y|$
環の層の射 $\phi :{\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$

のこと。ただし、$\phi$ は「局所的準同型」であり、各点 $x\in X$ に対して誘導される局所環の準同型

$${\phi }_x:{\mathcal{O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal{O}}_{X,x}$$

が局所環の準同型（つまり極大イデアルを極大イデアルに写す）であることが必要。この条件によって、スキームの射は単なる連続写像よりも強い制約をもつ。

位相空間としての側面

スキームの射 $f:X\to Y$ の第一成分である連続写像 $|f|:|X|\to |Y|$ は、位相空間の間の写像として通常の連続性を満たす。つまり、任意の開集合 $V\subseteq |Y|$ に対し、$|f{|}^{-1}(V)$ は $|X|$ の開集合である。

一方、$|f|$ だけではスキームの射を特徴づけることはできない。

環準同型との対応

アフィンスキーム $X=\mathrm{Spec}A$ と $Y=\mathrm{Spec}B$ の場合、スキームの射 $f:X\to Y$ は環準同型

$$f^{\#}:B\to A$$

に対応する。この対応は反変で、環の準同型の向きがスキームの射の向きと逆になる。この反変性により、$\mathrm{Spec}$ は「環からスキームへの反変関手」として定義される。

環準同型 $\varphi :B\to A$ が単射であれば、対応する射 $f:\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B$ は優位相（dominant）になる。つまり、$f$ の像は $Y$ において稠密である。