連続写像では足りない - スキームの射が持つもう半分

スキームの射は、連続写像 1 本では決まりません。行き先を決めたうえで、関数をどう引き戻すかまで指定して初めて 1 つの射になります。

同じ連続写像に、異なる射がいくつも乗ることがある。この記事ではその具体例を作り、なぜ 2 つ目の部品が要るのかを確かめます。

射は 2 つの部品でできている

スキーム $X=(|X|,{\mathcal{O}}_X)$ から $Y=(|Y|,{\mathcal{O}}_Y)$ への射は、次の組です^[1]。

$f^{\#}$ は、$Y$ の開集合 $V$ の上の関数を、$f^{-1}(V)$ の上の関数へ送る規則です。関数の引き戻しにあたります。

向きに注意します。点は $X$ から $Y$ へ進み、関数は $Y$ から $X$ へ戻ってくる。

局所準同型という条件

組がそろえば射になる、というわけではありません。もう 1 つ条件が付きます。

各点 $x\in X$ で、茎のあいだに誘導される準同型を考えます。

$$f_x^{\#}:{\mathcal{O}}_{Y,f(x)}⟶{\mathcal{O}}_{X,x}$$

これが局所準同型であること、つまり $(f_x^{\#}{)}^{-1}({\mathfrak{m}}_x)={\mathfrak{m}}_{f(x)}$ が成り立つことを要求します^[4]。

言い換えると、$f(x)$ で消える関数は引き戻しても $x$ で消える、という条件です。逆に $x$ で消える関数の引き戻し元は $f(x)$ で消えている。

この条件を落とした組は、局所環付き空間の射ではなく、ただの環付き空間の射になります。

条件を落とすと壊れる例

局所性が本当に要ることを、反例で確かめましょう。$R$ を離散付値環、$K$ をその商体とします。

$Y=\mathrm{Spec}R$ は 2 点からなります。極大イデアルに対応する閉点 $s$ と、零イデアルに対応する生成点 $\eta$ です。$X=\mathrm{Spec}K$ は 1 点だけ。

$X$ の点を閉点 $s$ へ送る連続写像を考えます。層の射としては、包含 $R\hookrightarrow K$ を使います。

$Y$ の開集合は $\varnothing$、$\{\eta \}$、$Y$ の 3 つです。押し出しを計算すると $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X(Y)=K$、$f_{\ast }{\mathcal{O}}_X(\{\eta \})=0$ になります。

$\{\eta \}$ の逆像が空なので、そこでの値は零環です。制限写像との整合も、行き先が $0$ なので自動的に成り立ちます。

つまりこの組は環付き空間の射になっている。ところが茎で見ると条件が破れます。

証明: この組は局所準同型でない

閉点での茎は ${\mathcal{O}}_{Y,s}=R$、$X$ の点での茎は $K$ です。誘導される写像は包含 $R\hookrightarrow K$ になります。

$K$ は体なので、極大イデアルは $(0)$ です。その逆像は $R$ の中の $(0)$ になります。

一方 ${\mathfrak{m}}_s$ は $R$ の極大イデアルで、$(0)$ とは違う。したがって局所準同型ではありません。

正しい射は、点を生成点 $\eta$ へ送るほうです。${\mathcal{O}}_{Y,\eta }=K$ なので、恒等写像が局所準同型になります。

行き先が閉点か生成点かは、位相の言葉だけでは決められません。局所性の条件が、その決定を担っています。

アフィンどうしなら環準同型と 1 対 1

条件をそろえると、きれいな対応が現れます。アフィンスキームどうしの射は、環準同型と 1 対 1 に対応する^[3]。

$$\mathrm{Mor}(\mathrm{Spec}A,\mathrm{Spec}B)\cong {\mathrm{Hom}}_{\text{ring}}(B,A)$$

矢印の向きが逆になります。$\mathrm{Spec}$ は環の圏からスキームの圏への反変関手です。

環準同型 $\phi :B\to A$ から連続写像を作るには、素イデアルを引き戻します。$\mathfrak{p}\subset A$ に対して ${\phi }^{-1}(\mathfrak{p})$ は $B$ の素イデアルです。

素イデアルの逆像が素であることは、剰余環への埋め込みで分かります。$B/{\phi }^{-1}(\mathfrak{p})\hookrightarrow A/\mathfrak{p}$ が単射で、右辺が整域だからです。

もっと広い形の対応

対応はアフィンどうしに限りません。行き先さえアフィンなら、出発点はどんなスキームでもよい^[2]。

$$\mathrm{Mor}(X,\mathrm{Spec}R)\cong {\mathrm{Hom}}_{\text{ring}}(R,\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X))$$

左辺は局所環付き空間としての射の全体、右辺は大域切断への環準同型の全体です。

この形は使い出があります。$X$ がアフィンでなくても、$\mathrm{Spec}R$ への射なら大域切断だけで書けるためです。

$R=\mathbb{Z}$ とすると右辺は 1 点集合になります。$\mathbb{Z}$ から任意の環への準同型はただ 1 つなので、どんなスキームからも $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ への射がちょうど 1 本ある。

$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ がスキームの圏の終対象になる、という事実がこれで出ます。

2 階建ての構造として見る

射がどう積み上がっているかを図にします。

上の段だけを見ていると、下の段の情報がまるごと抜け落ちます。次の例がその抜けを示します。

例: フロベニウス射

標数 $p$ の体の上のスキームには、絶対フロベニウス射があります^[5]。

環の側では $p$ 乗写像 $a\mapsto a^p$ です。二項係数がすべて $p$ で割れるので、和も積も保ちます。

台の位相空間の上では恒等写像になります。素イデアル $\mathfrak{p}$ の逆像が $\{a:a^p\in \mathfrak{p}\}$ で、素イデアルは根基に等しいので $\mathfrak{p}$ 自身に戻るためです。

上の段は恒等写像、下の段は $p$ 乗写像。恒等射とは別物なのに、連続写像としては見分けが付きません。

$X=\mathrm{Spec}{\mathbb{F}}_p[x]$ で試しましょう。フロベニウスは $x$ を $x^p$ へ送りますが、点の集合は 1 つも動かない。

「連続写像を決めれば射が決まる」が偽であることの、いちばん短い反例です。

例: 体からの射は点と体の埋め込み

$k$ を体とし、$\mathrm{Spec}k\to X$ という射を考えます。$\mathrm{Spec}k$ は 1 点なので、上の段は $X$ の点 $x$ を選ぶだけです。

下の段は、局所環からの準同型 ${\mathcal{O}}_{X,x}\to k$ になります。局所性から ${\mathfrak{m}}_x$ が $0$ へ行くので、剰余体を経由する。

$$\kappa (x)={\mathcal{O}}_{X,x}/{\mathfrak{m}}_x⟶k$$

体からの準同型は単射なので、これは剰余体の $k$ への埋め込みです。

つまり $\mathrm{Spec}k\to X$ の射は、点 $x$ と埋め込み $\kappa (x)\hookrightarrow k$ の組にあたります。点を指定するだけでは足りない。

$X=\mathrm{Spec}\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$、$k=\mathbb{R}$ なら、埋め込みは $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ の 2 通りあります。点は 1 つでも射は 2 本です。

例: 二重数からの射は接ベクトル

$k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ を二重数の環といいます。$\mathrm{Spec}$ をとると、やはり 1 点の空間になります。

$\epsilon$ は冪零なので、素イデアルは $(\epsilon )$ ただ 1 つです。位相空間としては $\mathrm{Spec}k$ と区別が付きません。

ところが射の集合は違います。$\mathrm{Spec}k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)\to X$ の射は、点 $x$ とそこでの接ベクトルの組に対応します。

環準同型 ${\mathcal{O}}_{X,x}\to k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ を $a\mapsto a(x)+\epsilon D(a)$ と書くと、$D$ が導分になるためです。

台が同じでも構造層が違えば射が違う。この例は、そのことを最も鮮やかに示します。

例: 二重被覆と分岐

環準同型 $k[s]\to k[t]$、$s\mapsto t^2$ を考えます。対応する射は ${\mathbb{A}}^1\to {\mathbb{A}}^1$ で、$t$ を $t^2$ へ送るものです。

$a\ne 0$ の上には $\sqrt{a}$ と $-\sqrt{a}$ の 2 点が乗ります。$a=0$ の上だけ 1 点です。

点の個数が落ちる場所を分岐点といいます。位相空間の絵では 2 点が重なるだけに見えますが、環の側には情報が残る。

$k[t]{\otimes }_{k[s]}k[s]/(s)=k[t]/(t^2)$ となり、冪零元 $t$ が現れます。ファイバーの長さは $2$ のままです。

「重なった」ことと「消えた」ことの区別を、構造層が覚えている。これも 2 段目の働きです。

環準同型の性質が射に移る

環の側の性質は、射の性質へ翻訳できます。代表的な 3 つを並べます。

3 つとも上の段の言葉に翻訳できていますが、どれも出発点は環準同型です。射を作るときは環から作るほうが早い。

位相だけでは同型も判定できない

もう 1 つ、極端な例を挙げます。$\mathrm{Spec}k$ と $\mathrm{Spec}k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ はどちらも 1 点空間です。

位相空間としては同相です。ところがスキームとしては同型ではありません。

大域切断が $k$ と $k[\epsilon ]/({\epsilon }^2)$ で、次元が違うからです。同型なら大域切断も同型になるはずでした。

台の位相空間は、スキームの影のようなものです。影が同じでも、もとの形は違いうる。

練習

向きをとり違えると全部が裏返ります。関数は逆向きに走る、と覚えておくと迷いません。

よくある誤り

最後に、まとめて並べます。

2 段構造を意識すると、どれも自然に区別が付きます。点の話か関数の話かを、いつも分けて考える。

参考文献