イプシロンデルタ論法による関数の連続性

実数の関数 $f (x)$ がある点 $a$ で連続であるとは、次の条件が成り立つことをいいます。

$\forall ε > 0, \exists δ > 0 such that ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a) ∣ < ε$

任意の誤差 $ε$ に対して、十分小さな $δ$ がとれる。

イプシロン

$f (x)$ の値が $f (a)$ からどのくらい離れてよいかを表す。誤差の許容範囲。

デルタ

$x$ が $a$ からどのくらい離れてよいかを表す。入力の許容範囲。

この定義の直感的な意味は「 $x$ を $a$ に十分近づければ、 $f (x)$ も $f (a)$ に任意に近づく」ということ。このとき、もしある点 $a$ においてそのような $δ$ が存在しないなら、その点で $f$ は不連続だといいます。