共役転置の性質と積の公式の証明

共役転置（随伴行列）は $A^{*}$ や $A^{†}$ で表され、行列 $A$ の転置をとってから各成分の複素共役をとった行列です。実数行列では転置と一致します。

基本的な性質

共役転置には以下の性質があります。

(A^{*})^{*} = A

(A + B)^{*} = A^{*} + B^{*}

(c A)^{*} = \overline{c} A^{*}

(A B)^{*} = B^{*} A^{*}

3 つ目の性質で $c$ は複素数、 $\overline{c}$ はその複素共役を意味します。4 つ目の性質では積の順序が逆転することに注意が必要です。

$A$ を $m \times n$ 行列、 $B$ を $n \times p$ 行列とします。 $(A B)^{*}$ の $(j, i)$ 成分は $(A B)$ の $(i, j)$ 成分の複素共役なので

$((A B)^{*})_{ji} = \overline{(A B)_{ij}}$

です。積の定義より

$(A B)_{ij} = k = 1 \sum n A_{ik} B_{kj}$

なので

$\overline{(A B)_{ij}} = \overline{k = 1 \sum n A_{ik} B_{kj}} = k = 1 \sum n \overline{A_{ik}} \cdot \overline{B_{kj}}$

となります。一方、 $B^{*} A^{*}$ の $(j, i)$ 成分は

$(B^{*} A^{*})_{ji} = k = 1 \sum n (B^{*})_{jk} (A^{*})_{ki} = k = 1 \sum n \overline{B_{kj}} \cdot \overline{A_{ik}}$

です。これは先ほどの式と一致するため

$(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$

が成り立ちます。

共役転置を使って定義される重要な行列として、ユニタリ行列とエルミート行列があります。

ユニタリ行列

$U^{*} U = U U^{*} = I$ を満たす行列。実数の場合は直交行列に対応し、内積を保つ線形変換を表します。固有値の絶対値はすべて 1 です。

エルミート行列

$A^{*} = A$ を満たす行列。実数の場合は対称行列に対応します。固有値はすべて実数で、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交します。

エルミート行列は量子力学で物理量を表す演算子（観測可能量）として登場し、ユニタリ行列は時間発展演算子として現れます。

複素ベクトル空間での内積は共役転置を使って表現されます。ベクトル $x, y$ の内積は

$⟨ x, y ⟩ = x^{*} y$

と書けます。この表記により、線形変換 $A$ に対して

$⟨ A x, y ⟩ = ⟨ x, A^{*} y ⟩$

が成り立ちます。この性質から $A^{*}$ は $A$ の随伴作用素とも呼ばれます。

ベクトル $x$ のノルムは $∥ x ∥^{2} = x^{*} x$ で定義されます。行列 $A$ についても

$∥ A x ∥^{2} = (A x)^{*} (A x) = x^{*} A^{*} A x$

が成り立ち、 $A^{*} A$ が正定値行列であることがわかります。これは最小二乗法の正規方程式 $A^{*} A x = A^{*} b$ の導出にも使われます。