ハウスドルフ空間と点列の極限

ハウスドルフ空間では、収束する点列の極限が一意に定まります。つまり、ある点列が2つの異なる点に収束することはありません。この性質はハウスドルフ空間の重要な特徴の一つです。

ハウスドルフ空間の定義

位相空間 $X$ がハウスドルフ空間であるとは、異なる任意の2点 $x, y \in X$ に対して、それぞれを含む開集合 $U, V$ で $U \cap V = \emptyset$ となるものが存在することをいいます。

分離公理

ハウスドルフ空間は分離公理の一つである T2 空間とも呼ばれます。より弱い分離性として T0 空間や T1 空間があり、より強い分離性として正則空間や正規空間があります。

具体例

ユークリッド空間 $R^{n}$ はハウスドルフ空間です。一方、密着位相を持つ空間（開集合が空集合と全体のみ）は2点以上あればハウスドルフ空間ではありません。

点列の極限の一意性

点列 $(x_{n})$ が点 $x$ に収束するとは、 $x$ の任意の開近傍 $U$ に対して、ある番号 $N$ 以降のすべての点 $x_{n}$ が $U$ に含まれることをいいます。

ハウスドルフ空間において、点列 $(x_{n})$ が $x$ と $y$ の両方に収束したと仮定します。 $x \neq = y$ ならば、ハウスドルフ性により交わらない開集合 $U, V$ で $x \in U, y \in V$ となるものが存在します。

収束の定義から、ある $N_{1}$ 以降はすべての $x_{n}$ が $U$ に含まれ、ある $N_{2}$ 以降はすべての $x_{n}$ が $V$ に含まれます。 $N = max (N_{1}, N_{2})$ とすると、 $x_{N}$ は $U$ と $V$ の両方に含まれることになり、 $U \cap V = \emptyset$ に矛盾します。

点列が $x$ と $y$ に収束すると仮定

ハウスドルフ性により $U \cap V = \emptyset$ となる開集合が存在

十分大きな $n$ で $x_{n}$ は $U$ にも $V$ にも含まれる

矛盾が生じるため $x = y$

したがって、ハウスドルフ空間では点列の極限は一意に定まります。

非ハウスドルフ空間の例

ハウスドルフでない空間では、点列が複数の点に収束することがあります。

集合 $X = {a, b}$ に密着位相 ${\emptyset, X}$ を入れた空間を考えます。この空間で定数列 $x_{n} = a$ を考えると、 $a$ の任意の開近傍は $X$ のみであり、すべての $x_{n} = a$ が $X$ に含まれるため、点列は $a$ に収束します。

同様に、 $b$ の任意の開近傍も $X$ のみなので、同じ点列が $b$ にも収束します。このように、非ハウスドルフ空間では極限の一意性が保証されません。