極限がふらつかない理由、ハウスドルフ空間と点列の収束

点列が 2 つの点に同時に収束したら困ります。極限という言葉が意味を失うからです。

ハウスドルフ空間ではそれが起きません。異なる 2 点を交わらない開集合で引き離せるので、点列がどちらにも入りきることができない^[1]。

収束の定義

点列 $(x_{n})$ が $x$ に収束するとは、 $x$ のどの開近傍 $U$ に対しても、ある番号 $N$ から先の項がすべて $U$ に入ることをいいます。

$ε$ が近傍に置きかわっただけの形です。距離のない空間でもそのまま書けます。

近傍が少ない空間ほど、この条件はゆるくなります。ゆるすぎると、点列があちこちに収束してしまう。

ハウスドルフ空間

$X$ がハウスドルフであるとは、異なる 2 点 $x, y$ に対して、 $x \in U$ 、 $y \in V$ 、 $U \cap V = \emptyset$ となる開集合がとれることをいいます^[2]。

分離公理の階段では $T_{2}$ にあたります。 $T_{1}$ より強く、点を閉じるだけでなく、近傍まで引き離すことを要求する^[3]。

極限が 1 つに決まる

$(x_{n})$ が $x$ に収束するとし、 $y \neq = x$ をとります^[1]。

ハウスドルフ性から $x \in U$ 、 $y \in V$ 、 $U \cap V = \emptyset$ となる開集合があります。収束の定義から、有限個を除くすべての項が $U$ に入る。

$U$ と $V$ は交わらないので、 $V$ に入れる項は有限個しか残りません。だから $(x_{n})$ は $y$ に収束しない^[1]。

証明に使ったのは「交わらない」という一点だけです。近傍の大きさも、点列の作り方も見ていません。

例：密着位相では全部の点に収束する

$X = {a, b}$ に密着位相を入れます。開集合は $\emptyset$ と $X$ の 2 つだけ。

定数列 $x_{n} = a$ をとります。 $a$ の開近傍は $X$ しかなく、すべての項が $X$ に入るので $a$ に収束する。

$b$ の開近傍も $X$ だけなので、同じ点列が $b$ にも収束します。極限が 2 つある^[2]。

近傍が足りないと、収束の条件が誰にでも当てはまってしまいます。

例：余有限位相でふらつく

無限集合に余有限位相を入れます。開集合は $\emptyset$ と、補集合が有限な集合だけ^[1]。

$R$ でこの位相をとり、 $x_{n} = \frac{1}{n}$ を見ます。どの点 $p$ をとっても、 $p$ の開近傍から外れる項は有限個しかありません。

だから $(x_{n})$ はどの点にも収束します^[1]。この空間は $T_{1}$ ですが、ハウスドルフではない。

対角線が閉であること

積空間 $X \times X$ の中で、対角線を次のようにとります^[1]。

$Δ = {(x, x) : x \in X}$

$X$ がハウスドルフであることと、 $Δ$ が $X \times X$ で閉集合であることは同値です^[1]。

$(x, y) \in / Δ$ なら $x \neq = y$ なので、交わらない $U, V$ がとれる。 $U \times V$ が $(x, y)$ の近傍で $Δ$ と交わらないので、補集合が開になります。

ハウスドルフ性は、対角線の閉性という 1 本の条件に翻訳できます。

点の組を見る言い方に変わるので、積空間の議論と相性がよい。

保たれるところと崩れるところ

部分空間はハウスドルフのままです。開集合を切りとれば、分離に使った近傍もそのまま切りとれます。

積についても保たれます。 $X$ と $Y$ がハウスドルフなら $X \times Y$ もそう^[1]。射影で引き戻した近傍を使えばよい。

商では崩れます。点を潰す操作が分離を壊すためです。

保たれる

部分空間、積空間、コンパクト空間からの像

崩れる

商空間。点を同一視すると近傍が引き離せなくなる

有限集合が閉になる

ハウスドルフ空間では有限集合が閉集合です^[1]。

$x_{0}$ を固定し、 $x \neq = x_{0}$ をとると、 $x_{0}$ を含まない $x$ の近傍があります。だから $x \in / \overline{{x_{0}}}$ となり、一点集合が閉。有限和をとれば有限集合も閉です。

この証明ではハウスドルフ性の全部を使っていません。実際、点が閉でもハウスドルフでない空間があります^[1]。

逆向きには足りない

点列の極限がいつでも一意な空間が、ハウスドルフとは限りません。可算性が足りないと、点列が空間の細部を汲みつくせないためです。

点列の添字を有向集合へ広げたネットにすると、事情が変わります。ネットの極限がいつでも一意であることと、ハウスドルフであることが同値になる。

$X$ が第一可算なら、点列だけで同値性が戻ります。距離空間で極限の一意性からハウスドルフ性を言えるのは、この条件が効いているからです。

ハウスドルフなら点列の極限は一意

逆は点列では言えない

ネットに広げると同値になる

例：稠密な部分で決まる

$Y$ をハウスドルフ空間、 $M \subseteq X$ を稠密な部分集合とします。連続写像 $f_{1}, f_{2} : X \to Y$ が $M$ の上で一致するなら、 $X$ 全体で一致します^[1]。

極限の一意性がここで効いています。 $M$ の点で寄せていったとき、行き先が 2 つに割れないので値が決まる。

$Y$ がハウスドルフでないと崩れます。行き先が定まらないぶん、稠密な部分での一致が全体へ伝わりません。

連続関数を有理点での値から決める議論は、この形をとっています。 $R$ がハウスドルフだからこそ成り立つ。

無限集合に余有限位相を入れた空間で、相異なる項からなる点列はどの点に収束しますか。

どの点にも収束しない
すべての点に収束する
1 点にだけ収束する

__RESULT__

どの点 $p$ をとっても、 $p$ の開近傍は有限個をくり抜いた残りです。項は相異なるので、くり抜かれた側に落ちるものは有限個しかありません。だから残りの項がすべて近傍に入り、 $p$ への収束が成り立ちます。これがどの $p$ でも起きるので、極限は 1 つに決まりません。

近傍を引き離せることと、極限が 1 つに決まること。この 2 つが結びつくおかげで、極限という言葉が安心して使えるようになります。

出典

Daniel Plaumann. *Topologie*. Skript zur Vorlesung, Universität Konstanz, Wintersemester 2014/15, §1.7.

Hausdorff space. Encyclopedia of Mathematics.

T1 space. nLab.

証明に使うのは「交わらない」の一点だけ。$x$ の近傍に有限個を除く全部の項が入るなら、それと交わらない近傍に残れる項は有限個しかありません。だから別の点へは収束しない。密着位相では定数列が両方の点に収束し、余有限位相では $1/n$ がどの点にも収束します。ハウスドルフ性は対角線が $X \times X$ で閉であることと同値で、部分空間と積では保たれ、商では崩れる。稠密な部分での一致が全体へ伝わる議論も、極限の一意性に支えられています。