極限がふらつかない理由、ハウスドルフ空間と点列の収束

点列が 2 つの点に同時に収束したら困ります。極限という言葉が意味を失うからです。

ハウスドルフ空間ではそれが起きません。異なる 2 点を交わらない開集合で引き離せるので、点列がどちらにも入りきることができない^[1]。

収束の定義

点列 $(x_n)$ が $x$ に収束するとは、$x$ のどの開近傍 $U$ に対しても、ある番号 $N$ から先の項がすべて $U$ に入ることをいいます。

$\epsilon$ が近傍に置きかわっただけの形です。距離のない空間でもそのまま書けます。

近傍が少ない空間ほど、この条件はゆるくなります。ゆるすぎると、点列があちこちに収束してしまう。

ハウスドルフ空間

$X$ がハウスドルフであるとは、異なる 2 点 $x,y$ に対して、$x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\varnothing$ となる開集合がとれることをいいます^[2]。

分離公理の階段では $T_2$ にあたります。$T_1$ より強く、点を閉じるだけでなく、近傍まで引き離すことを要求する^[3]。

極限が 1 つに決まる

$(x_n)$ が $x$ に収束するとし、$y\ne x$ をとります^[1]。

ハウスドルフ性から $x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\varnothing$ となる開集合があります。収束の定義から、有限個を除くすべての項が $U$ に入る。

$U$ と $V$ は交わらないので、$V$ に入れる項は有限個しか残りません。だから $(x_n)$ は $y$ に収束しない^[1]。

証明に使ったのは「交わらない」という一点だけです。近傍の大きさも、点列の作り方も見ていません。

例：密着位相では全部の点に収束する

$X=\{a,b\}$ に密着位相を入れます。開集合は $\varnothing$ と $X$ の 2 つだけ。

定数列 $x_n=a$ をとります。$a$ の開近傍は $X$ しかなく、すべての項が $X$ に入るので $a$ に収束する。

$b$ の開近傍も $X$ だけなので、同じ点列が $b$ にも収束します。極限が 2 つある^[2]。

近傍が足りないと、収束の条件が誰にでも当てはまってしまいます。

例：余有限位相でふらつく

無限集合に余有限位相を入れます。開集合は $\varnothing$ と、補集合が有限な集合だけ^[1]。

$\mathbb{R}$ でこの位相をとり、$x_n=\frac{1}{n}$ を見ます。どの点 $p$ をとっても、$p$ の開近傍から外れる項は有限個しかありません。

だから $(x_n)$ はどの点にも収束します^[1]。この空間は $T_1$ ですが、ハウスドルフではない。

対角線が閉であること

積空間 $X\times X$ の中で、対角線を次のようにとります^[1]。

$$\Delta =\{(x,x):x\in X\}$$

$X$ がハウスドルフであることと、$\Delta$ が $X\times X$ で閉集合であることは同値です^[1]。

$(x,y)\notin \Delta$ なら $x\ne y$ なので、交わらない $U,V$ がとれる。$U\times V$ が $(x,y)$ の近傍で $\Delta$ と交わらないので、補集合が開になります。

保たれるところと崩れるところ

部分空間はハウスドルフのままです。開集合を切りとれば、分離に使った近傍もそのまま切りとれます。

積についても保たれます。$X$ と $Y$ がハウスドルフなら $X\times Y$ もそう^[1]。射影で引き戻した近傍を使えばよい。

商では崩れます。点を潰す操作が分離を壊すためです。

有限集合が閉になる

ハウスドルフ空間では有限集合が閉集合です^[1]。

$x_0$ を固定し、$x\ne x_0$ をとると、$x_0$ を含まない $x$ の近傍があります。だから $x\notin \overline{\{x_0\}}$ となり、一点集合が閉。有限和をとれば有限集合も閉です。

この証明ではハウスドルフ性の全部を使っていません。実際、点が閉でもハウスドルフでない空間があります^[1]。

逆向きには足りない

点列の極限がいつでも一意な空間が、ハウスドルフとは限りません。可算性が足りないと、点列が空間の細部を汲みつくせないためです。

点列の添字を有向集合へ広げたネットにすると、事情が変わります。ネットの極限がいつでも一意であることと、ハウスドルフであることが同値になる。

$X$ が第一可算なら、点列だけで同値性が戻ります。距離空間で極限の一意性からハウスドルフ性を言えるのは、この条件が効いているからです。

例：稠密な部分で決まる

$Y$ をハウスドルフ空間、$M\subseteq X$ を稠密な部分集合とします。連続写像 $f_1,f_2:X\to Y$ が $M$ の上で一致するなら、$X$ 全体で一致します^[1]。

極限の一意性がここで効いています。$M$ の点で寄せていったとき、行き先が 2 つに割れないので値が決まる。

$Y$ がハウスドルフでないと崩れます。行き先が定まらないぶん、稠密な部分での一致が全体へ伝わりません。

連続関数を有理点での値から決める議論は、この形をとっています。$\mathbb{R}$ がハウスドルフだからこそ成り立つ。

近傍を引き離せることと、極限が 1 つに決まること。この 2 つが結びつくおかげで、極限という言葉が安心して使えるようになります。

出典