確率変数と確率分布の基本　さいころの例と確率分布のいろいろな例

確率変数とは、確率が一意に定まっている事象のこと。確率変数の実際の数値はその事象に対応する数値となる。

さいころを例にとると、さいころの目が確率変数 $X$ となり、 $1$ 〜 $6$ が確率変数 $X$ のとりうる値になる。

さいころの目が出る確率はすべて $\frac{1}{6}$ であり、それぞれの目に対応する確率は一つに定まる。

確率分布とその合計値

確率分布とは、確率変数 $X$ のとりうる値 $x_{k}$ に対して確率 $p_{k}$ が定まっていること。 $p_{k} (k = 1 \dots n)$ をまとめて $P$ と書くことが多い。さいころの確率分布は

$X 123456 P \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}$

となる。すべての事象の確率を足すと $1$ になる。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1$

確率分布の確率の合計値は必ず $1$ になる。

$p_{1} + \dots + p_{n} = 1$

$2$ 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

コインの表と裏が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ とすると、 $2$ 枚のコインを投げたときの表が出る確率は次のようになる。

表の枚数が $0$ 枚

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

表の枚数が $1$ 枚

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

表の枚数が $2$ 枚

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

確率分布は次のとおり。

$X 012 P \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{1}{4}$

表も裏も確率が同じなので、表が 0 枚のときと 2 枚のときの確率は等しくなる。このように考えると、表の枚数が 1 枚のときの確率は、1 から「表が 0 枚のときと 2 枚のときの確率の和」を引いた確率となる。以下「表が 1 枚」といった言葉は「表1」などと省略する。

「枚数が少ないときの確率」から「枚数が中途半端なときの確率」を求める引き算的な考えはとても大切である。

$3$ 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

表の枚数が $0$ 枚

$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$

表の枚数が $1$ 枚

$_{3} C_{1} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}$

表の枚数が $2$ 枚

$_{3} C_{1} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}$

表の枚数が $3$ 枚

$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$

確率分布は次のとおり。

$X 0123 P \frac{1}{8} \frac{3}{8} \frac{3}{8} \frac{1}{8}$

コインが $2$ 枚のときの確率分布で引き算のやり方が出てきた。この考えはコインが $3$ 枚以上のときにより重要になってくる。「表1」と「表2」の確率は、 $0$ 枚のときと $3$ 枚のときの確率がわかっていれば求められることを次にしめす。

まず表が $1$ 枚のとき、裏は $2$ 枚である。表と裏の確率は同じだから、「表1裏2」は「表2裏1」に等しい。そして「表0裏3」と「表3裏1」はそれぞれ $\frac{1}{8}$ である。以上から

$表 1 裏 2 = (1 - \frac{1}{8} \times 2) \div 2 = \frac{3}{8}$

となる。コインの確率問題では、表と裏の確率が同じであるとき、確率分布が左右対称のような感じになる。

$2$ 個のさいころを投げたときの最大値の確率分布

$2$ 個のさいころを $A$ と $B$ に分けて、 $2$ 個のさいころの出方に対する最大値（Max）を考えてみよう。

$A 111111222222333333444444555555666666 B 123456123456123456123456123456123456 M a x 123456223456333456444456555556666666$

それぞれのパターンの確率は $\frac{1}{36}$ だから、確率分布は下のようになる。

$X 123456 P \frac{1}{36} \frac{3}{36} \frac{5}{36} \frac{7}{36} \frac{9}{36} \frac{11}{36}$

確率変数と確率分布の簡単な例（さいころ）...「さいころの目」が確率変数Xとなり、1～6が確率変数Xのとりうる値になる。さいころの目が出る確率はすべて1/6

確率変数と確率分布の基本 さいころの例と確率分布のいろいろな例

確率分布とその合計値

2 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

3 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

2 個のさいころを投げたときの最大値の確率分布

確率変数と確率分布の基本　さいころの例と確率分布のいろいろな例

$2$ 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

$3$ 枚のコインを投げたときの表の出る枚数の確率分布

$2$ 個のさいころを投げたときの最大値の確率分布