を定数とする
和の公式はすべて から始まる。また二つの数列の和は分解できます。
、 を定数、、 を数列（ ）とする
和の公式を使う際の注意点は、和の公式がすべて から始まっているということ。例えばシグマが から始まっているときは、和の公式を使った後、 と の項を引くといった後処理が必要になります。
数列の和の公式を使った例題
\sum_{k=1}^{3} k &= 1 + 2 + 3 = 6 \
&= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1) \
&= 6
\sum_{k=1}^{5} k &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \
&= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (5+1) \
&= 15
\sum_{k=1}^{4} k^2 &= 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \
&= \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot (4+1) \cdot (2 \cdot 4+1) \
&= 30
\sum_{k=1}^{4} k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 = 100 \
&= \frac{1}{4} \cdot 4^2 \cdot (4+1)^2 \
&= 100
\sum_{k=1}^{4} 1 &= 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \
&= 4 \cdot 1 \
&= 4
\sum_{k=1}^{4} 5 \
&= 5 + 5 + 5 + 5 \
&= 20
シグマが中途半端な数から始まっている数列の和の求め方
先に述べたように公式はすべて から始まっているため、シグマが など中途半端な数から始まっているときは注意。
\sum_{k=4}^{7} k &= \left{\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (7+1)\right}-\left{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1)\right} \
&= 28-6 \
&= 22
シグマが から始まっているため、シグマが までの和を引きます。
\sum_{k=13}^{100} k &= \left{\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100+1)\right}-\left{\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (12+1)\right} \
&= 5050-78 \
&= 4972
同様にシグマが から始まっているため、シグマが までの和を引きます。
数列の和の分解公式を使った例題
二番目にあげたシグマの分解公式も使ってみます。
