数列の和の公式（定数、一次、二次、三次のシグマの公式と例題）

$p$ を定数とする

$$\sum _{k=1}^{n}1=n$$

$$\sum _{k=1}^{n}p=pn$$

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2={\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}}^2$$

和の公式はすべて $1$ から始まる。また二つの数列の和は分解できます。

$p$、$q$ を定数、$a_k$、$b_k$ を数列（ $k=1,2,\cdots ,n$ ）とする

$$\sum _{k=1}^n(p{a}_k+q{b}_k)=p\sum _{k=1}^n{a}_k+q\sum _{k=1}^n{b}_k$$

和の公式を使う際の注意点は、和の公式がすべて $1$ から始まっているということ。例えばシグマが $3$ から始まっているときは、和の公式を使った後、$k=1$ と $k=2$ の項を引くといった後処理が必要になります。

数列の和の公式を使った例題

\sum_{k=1}^{3} k &= 1 + 2 + 3 = 6 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1) \\ &= 6

\sum_{k=1}^{5} k &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (5+1) \\ &= 15

\sum_{k=1}^{4} k^2 &= 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \\ &= \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot (4+1) \cdot (2 \cdot 4+1) \\ &= 30

\sum_{k=1}^{4} k^3 &= 1 + 8 + 27 + 64 = 100 \\ &= \frac{1}{4} \cdot 4^2 \cdot (4+1)^2 \\ &= 100

\sum_{k=1}^{4} 1 &= 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \\ &= 4 \cdot 1 \\ &= 4

\sum_{k=1}^{4} 5 \\ &= 5 + 5 + 5 + 5 \\ &= 20

シグマが中途半端な数から始まっている数列の和の求め方

先に述べたように公式はすべて $1$ から始まっているため、シグマが $3$ など中途半端な数から始まっているときは注意。

$$\sum _{k=4}^{7}k=4+5+6+7=22$$

\sum_{k=4}^{7} k &= \left\{\frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (7+1)\right\}-\left\{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3+1)\right\} \\ &= 28-6 \\ &= 22

シグマが $4$ から始まっているため、シグマが $3$ までの和を引きます。

\sum_{k=13}^{100} k &= \left\{\frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100+1)\right\}-\left\{\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot (12+1)\right\} \\ &= 5050-78 \\ &= 4972

同様にシグマが $13$ から始まっているため、シグマが $12$ までの和を引きます。

数列の和の分解公式を使った例題

二番目にあげたシグマの分解公式も使ってみます。

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{3}2k+5 \\ =7+9+11=27 \\ =2\sum _{k=1}^{3}k+\sum _{k=1}^{3}5 \\ =2\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot (3+1)+5\cdot 3 \\ =12+15=27 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{3}4k^2+7k+2 \\ =4\sum _{k=1}^3{k}^2+7\sum _{k=1}^{3}k+\sum _{k=1}^{3}2 \\ =4\cdot \frac{1}{6}\cdot 3\cdot (3+1)\cdot (2\cdot 3+1)+7\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot (3+1)+2\cdot 3 \\ =56+42+6=104 \end{gathered}$$