距離と角で点の場所を言う極座標｜高校数学の平面上の曲線

原点からの距離と角の 2 つで点の場所を言い表す書き方を、極座標といいます。

原点を極、そこから右へ伸ばした半直線を始線と呼びます。距離を $r$ 、始線から測った角を $θ$ として、点を $(r, θ)$ と書く。

$x$ と $y$ で「右へいくつ、上へいくつ」と言う代わりに、「どちらの向きへ、どれだけ離れているか」で言う書き方です。

極座標から直交座標へ

直角三角形の辺の比が、そのまま式になる。

$x = r cos θ, y = r sin θ$

$(r, θ) = (2, \frac{π}{3})$ なら、 $x = 2 cos \frac{π}{3} = 1$ 、 $y = 2 sin \frac{π}{3} = 3$ 。直交座標では $(1, 3)$ です。

直交座標から極座標へ

距離は三平方の定理、角は $cos$ と $sin$ の値から決める。

$r = x^{2} + y^{2}, cos θ = \frac{x}{r}, sin θ = \frac{y}{r}$

$tan θ = \frac{y}{x}$ だけでは向かい合う 2 つの象限が残るため、 $cos$ と $sin$ の符号を両方見る。

$(x, y) = (- 1, 3)$ なら $r = 1 + 3 = 2$ 。 $cos θ = - \frac{1}{2}$ 、 $sin θ = \frac{3}{2}$ で、 $θ = \frac{2}{3} π$ です。

$(1, 1)$	$(2, \frac{π}{4})$
$(0, - 3)$	$(3, \frac{3}{2} π)$
$(- 2, 0)$	$(2, π)$
$(3, - 33)$	$(6, \frac{5}{3} π)$

書き方は 1 つに決まらない

$θ$ に $2 π$ を足しても同じ点を指すので、 $(2, \frac{π}{3})$ と $(2, \frac{7}{3} π)$ は同じ場所。ふつうは $0 \leq θ < 2 π$ に区切ります。

極そのもの、つまり $r = 0$ の点では角が決まりません。どの向きにも $0$ だけ進めば原点に着くためです。

$r$ を負まで許す流儀もあり、そのときは $(- 2, θ)$ を $(2, θ + π)$ と同じ点とみなす。教科書では $r \geq 0$ をとることが多いです。

複素数の極形式と同じもの

$z = r (cos θ + i sin θ)$ の $r$ と $θ$ は、そのまま点 $z$ の極座標です。

$z = r cos θ + i \cdot r sin θ = x + y i$

実部が $x$ 、虚部が $y$ 。複素数の絶対値が $r$ 、偏角が $θ$ にあたる。

かけ算で角が足されるという話は、極座標でいえば「回す」操作。書き方が違うだけで、指しているものは同じです。

極座標が $(4, \frac{5}{6} π)$ である点の直交座標はどれですか。

$(- 23, 2)$
$(23, 2)$
$(- 2, 23)$

__RESULT__

$cos \frac{5}{6} π = - \frac{3}{2}$ 、 $sin \frac{5}{6} π = \frac{1}{2}$ です。 $4$ をかけて $x = - 23$ 、 $y = 2$ になります。 $cos$ と $sin$ をとり違えると 3 番目の形になる。

曲線を $r$ と $θ$ で書く

$r$ と $θ$ の関係式で曲線を表したものを極方程式といいます。

$r = 3$ は、原点からの距離が $3$ の点をすべて集めた形。角に条件がないため、中心が極で半径 $3$ の円になる。

$θ = \frac{π}{4}$ は、向きだけが決まっていて距離が自由。極から $4 5^{\circ}$ の向きへ伸びる半直線です。

例： $r = 2 cos θ$

このままでは形が読めないので、直交座標へ移します。両辺に $r$ をかける。

$r^{2} = 2 r cos θ$

$r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 、 $r cos θ = x$ を入れます。

$x^{2} + y^{2} = 2 x$

$x$ について平方完成する。

$(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$

中心が $(1, 0)$ 、半径 $1$ の円でした。極を通る円が、 $r = 2 cos θ$ という短い式に収まる。

$θ = 0$ のとき $r = 2$ で点 $(2, 0)$ 、 $θ = \frac{π}{2}$ のとき $r = 0$ で極。どちらも円の上にあります。

例：直線を極方程式にする

直交座標の $x = 3$ は、 $x = r cos θ$ を入れるだけ。

$r cos θ = 3$

$y = x$ なら $r sin θ = r cos θ$ で、 $r \neq = 0$ のとき $tan θ = 1$ 。角が $\frac{π}{4}$ か $\frac{5}{4} π$ に決まり、距離は自由という形になります。

円や直線のように原点との関わりが強い図形は、極方程式のほうが短く書ける。

極方程式 $r = 4 sin θ$ が表す図形はどれですか。

中心が原点で半径 $4$ の円
中心が $(0, 2)$ で半径 $2$ の円
傾き $4$ の直線

__RESULT__

両辺に $r$ をかけると $r^{2} = 4 r sin θ$ で、 $x^{2} + y^{2} = 4 y$ です。平方完成して $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ になります。 $cos$ のときは横向き、 $sin$ のときは縦向きに中心が寄る。

同じ 1 点を、右と上の進みで言うか、向きと距離で言うか。円のように原点を中心に据えた形では、極座標のほうが式が短くなります。

原点を極、右へ伸ばした半直線を始線として、点を $(r, \theta)$ と書くのが極座標です。直交座標へは $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ で移り、戻るときは $r = \sqrt{x^2+y^2}$ と $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$、$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$。$\theta$ に $2\pi$ を足せる自由があり、極では角が決まりません。複素数の極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ の $r$ と $\theta$ が、そのまま極座標にあたる。$r = 2\cos\theta$ を両辺 $r$ 倍して円に直すところまで。