写像柱（マッピングシリンダー）でどんな連続写像も包含写像に取り替える

$R^{2} ∖ {0}$ を単位円へ縮める。メビウスの帯を中心線へ縮める。太い文字を細い骨組みへ縮める。

どれも作りが同じです。連続写像 $f$ から空間を $1$ つ組み立てると、縮める先がその変形レトラクトとして手に入る。その空間を写像柱といいます^[1]。

写像柱の作り方

連続写像 $f : X \to Y$ をとり、 $X \times [0, 1]$ と $Y$ の直和で $(x, 1)$ と $f (x)$ を同一視します^[2]。

$M_{f} = ((X \times [0, 1]) ⨿ Y) / ((x, 1) \sim f (x))$

$X$ に厚み $[0, 1]$ をつけて筒にし、 $X \times {1}$ の側を $f$ の行き先へ貼りつけた空間です。反対の端 $X \times {0}$ はそのまま残り、 $Y$ は貼りつけた側に入ります。

$Y$ はいつでも変形レトラクト

筒の点 $(x, s)$ を線分 ${x} \times [0, 1]$ に沿って端の $f (x)$ まで滑らせます^[1]。

$H ((x, s), t) = (x, (1 - t) s + t), H (y, t) = y$

$t = 0$ が恒等写像で、 $t = 1$ で $M_{f}$ 全体が $Y$ に乗ります。 $Y$ の点は最初から最後まで動かないため、強変形レトラクトの条件も満たす。

$f$ がどんな写像でもこれは成り立ちます^[2]。連続性だけは商空間と直積の関係から確かめることになる^[1]。

どんな写像も包含写像に取り替えられる

$i : X \to M_{f}$ を $x \mapsto (x, 0)$ とし、 $r : M_{f} \to Y$ を上のレトラクションとします。この $2$ つについて次が成り立ちます^[2]。

$f = r \circ i$

ホモトピーを経由した等式ではなく、写像としての等号です。 $i$ は単射で、 $r$ はホモトピー同値。どんな連続写像も、包含写像とホモトピー同値の合成に分解できることになります^[2]。

写像を部分空間の包含として扱えると、対の完全列も貼り合わせの議論もそのまま使えます。写像柱はそこへ持ちこむための道具です。

見慣れた縮め方が全部これになる

定値写像

X \to {*}

の写像柱は錐

C X

で、筒の上端を

1

点に潰した形になる。

包含写像

S^{1} ↪ R^{2} ∖ {0}

から作ると、穴あき平面が円周へ縮む形が出る。

太い文字を細い文字へ縮める操作も写像柱で、

X

が太い文字の外周、

Y

が細い文字にあたる^[1]。

$3$ つ目は Hatcher が挙げている例です^[1]。太い文字の各線分について外側の端を内側の端へ送る写像を $f$ とすると、太い文字そのものが $M_{f}$ になります。

変形レトラクトが全部この形から出るわけではありません^[1]。太い $X$ を細い $X$ へ縮め、さらに交点の $1$ 点へ縮めると、途中で合流してから進む点の組が現れます。

もう一方の端が変形レトラクトになる条件

$Y$ の側はいつでも変形レトラクトですが、 $X$ の側は違います。 $X$ が $M_{f}$ の変形レトラクトになることと、 $f$ がホモトピー同値であることは同値です^[1]。

証明は $f = r \circ i$ と $i ≃ j \circ f$ の $2$ つから始まります。 $j$ と $r$ がホモトピー同値なので、 $f$ がホモトピー同値かどうかと $i$ がそうかどうかは一致する。あとは対 $(M_{f}, X)$ がホモトピー拡張性質を満たすことを使います^[1]。

ここから $X$ と $Y$ がホモトピー同値であることと、両方を変形レトラクトとして含む第 $3$ の空間があることが同値になります^[1]。その第 $3$ の空間として写像柱がとれる。

変形レトラクトは片側だけの関係

$A$ が $X$ の変形レトラクトなら $A ≃ X$ です。逆に $A ≃ X$ だからといって、 $A$ が $X$ の変形レトラクトになるとは限りません。

グラフを $3$ つ並べます。 $θ$ の形、 $2$ つの円を線分でつないだ形、 $8$ の字。どれも互いにホモトピー同値ですが、どの $1$ つも他の変形レトラクトではありません^[1]。

$3$ つとも同じ空間の変形レトラクトになっているため、ホモトピー同値どうしがつながります^[1]。向きのある関係から対称な関係を作り直すところが、写像柱の役目です。

端を潰すと写像錐になる

$M_{f}$ の $X$ 側の端を $1$ 点に潰すと写像錐 $C_{f}$ です。

$C_{f} = M_{f} / (X \times {0})$

$f : S^{1} \to S^{1}$ を $z \mapsto z^{2}$ にとると、写像錐は実射影平面 $RP^{2}$ になります。円板の境界を $2$ 周ぶん円周へ貼りつける、という $RP^{2}$ の作り方そのものです。

筒を $1$ 本はさむだけで、 $Y$ が変形レトラクトになり、 $f$ が包含写像に書き直せて、ホモトピー同値の対称性まで戻ってきます。

参考文献

Allen Hatcher, *Algebraic Topology*, Chapter 0, Cornell University

Mapping cylinder - Encyclopedia of Mathematics

$f \colon X \to Y$ から筒を $1$ 本はさんで作る空間が写像柱です。$Y$ はいつでもその変形レトラクトになり、$x \mapsto (x, 0)$ の包含と合わせて $f = r \circ i$ が写像として成り立つ。ホモトピーを経由しない等号なので、どんな連続写像も包含写像とホモトピー同値の合成に分けられます。反対の端 $X$ が変形レトラクトになるのは $f$ がホモトピー同値のときだけ。$\theta$ の形と $2$ つの円と $8$ の字は互いにホモトピー同値ですが、どれも他の変形レトラクトではありません。端を潰すと写像錐で、$z \mapsto z^2$ からは実射影平面が現れます。