ホモトピー同値と変形レトラクト

ホモトピー同値は位相空間の「本質的な形」が同じであることを表す概念です。同相より弱い同値関係ですが、多くの位相的不変量を保存します。

ホモトピー同値の定義

連続写像 $f : X \to Y$ と $g : Y \to X$ が存在して、 $g \circ f ≃ id_{X}$ かつ $f \circ g ≃ id_{Y}$ が成り立つとき、 $X$ と $Y$ はホモトピー同値（homotopy equivalent）であるといい、 $X ≃ Y$ と書きます。

ここで $≃$ はホモトピックであることを表します。 $f$ をホモトピー同値写像、 $g$ をそのホモトピー逆写像といいます。

同相とホモトピー同値の違い

同相 $X ≅ Y$ ならばホモトピー同値 $X ≃ Y$ ですが、逆は成り立ちません。

$R^{n}$ と一点 ${*}$ はホモトピー同値です。 $f : R^{n} \to {*}$ （定値写像）と $g : {*} \to R^{n}$ （原点への埋め込み）を取ると、 $g \circ f$ は $R^{n}$ を原点に潰す写像で、これは恒等写像にホモトピックです（直線的に縮小）。 $f \circ g = id_{{*}}$ は明らかです。

しかし $R^{n}$ と一点は同相ではありません。

可縮空間

一点とホモトピー同値な空間を可縮（contractible）といいます。可縮空間は位相的に「穴がない」空間です。

R^{n}

は可縮

凸集合は可縮

星型領域は可縮

円錐

CX

は任意の

X

に対して可縮

可縮空間の基本群とすべてのホモロジー群は自明です。

レトラクトの定義

$A \subseteq X$ に対して、連続写像 $r : X \to A$ で $r ∣_{A} = id_{A}$ （ $A$ 上で恒等写像）を満たすものをレトラクション、 $A$ を $X$ のレトラクト（retract）といいます。

レトラクションは $X$ を $A$ に「押し縮める」写像で、 $A$ の点は動かしません。

レトラクトの例

$D^{2}$ （円板）に対して、 $S^{1}$ （境界円周）はレトラクトではありません。もしレトラクション $r : D^{2} \to S^{1}$ が存在すれば、 $r_{*} : π_{1} (D^{2}) \to π_{1} (S^{1})$ は全射となりますが、 $π_{1} (D^{2}) = 0$ で $π_{1} (S^{1}) = Z$ なので矛盾します。

一方、 $R^{2} ∖ {0}$ から $S^{1}$ へのレトラクション $r (x) = x /∣ x ∣$ は存在します。

変形レトラクトの定義

$A$ が $X$ の変形レトラクト（deformation retract）であるとは、レトラクション $r : X \to A$ が存在し、包含写像 $i : A ↪ X$ との合成 $i \circ r : X \to X$ が $id_{X}$ にホモトピックであることです。

さらに、このホモトピーが $A$ 上で各時刻恒等写像であるとき、 $A$ を強変形レトラクト（strong deformation retract）といいます。

変形レトラクトとホモトピー同値

$A$ が $X$ の変形レトラクトならば、 $A ≃ X$ です。

包含 $i : A ↪ X$ とレトラクション $r : X \to A$ がホモトピー逆写像の関係にあります。 $r \circ i = id_{A}$ であり、 $i \circ r ≃ id_{X}$ が変形レトラクトの条件です。

変形レトラクトの例

$R^{2} ∖ {0}$ の強変形レトラクトは $S^{1}$ です。ホモトピー $H (x, t) = (1 - t) x + t \cdot x /∣ x ∣$ により、各点を $S^{1}$ 上の点に連続的に移動させます。

メビウスの帯の強変形レトラクトはその中心線（円周）です。帯を中心に向かって縮めます。

$S^{n} ∖ {p}$ （球面から一点を除いた空間）は $R^{n}$ と同相であり、可縮です。

ホモトピー不変量

ホモトピー同値な空間は同じホモトピー不変量を持ちます。

基本群

π_{1}

高次ホモトピー群

π_{n}

ホモロジー群

H_{n}

コホモロジー群

H^{n}

Euler標数（有限の場合）

これらの不変量を用いて、空間がホモトピー同値でないことを示せます。 $S^{1}$ と $S^{2}$ は $π_{1} (S^{1}) = Z \neq = 0 = π_{1} (S^{2})$ なのでホモトピー同値ではありません。

ホモトピー同値の例

$S^{n - 1}$ と $R^{n} ∖ {0}$ はホモトピー同値です。後者は前者を強変形レトラクトとして含みます。

8の字 $S^{1} \lor S^{1}$ とメガネフレーム（2つの円を線分でつないだ形）はホモトピー同値です。

同相

位相構造が完全に一致。位相的性質をすべて保存。可逆な連続写像が存在。

ホモトピー同値

「連続的に変形して一致」。ホモトピー不変量を保存。次元が異なってもホモトピー同値でありうる（ $R^{n} ≃ {*}$ ）。