ホモトピー同値は位相空間の「本質的な形」が同じであることを表す概念です。同相より弱い同値関係ですが、多くの位相的不変量を保存します。
ホモトピー同値の定義
連続写像 と が存在して、 かつ が成り立つとき、 と はホモトピー同値（homotopy equivalent）であるといい、 と書きます。
ここで はホモトピックであることを表します。 をホモトピー同値写像、 をそのホモトピー逆写像といいます。
同相とホモトピー同値の違い
同相 ならばホモトピー同値 ですが、逆は成り立ちません。
と一点 はホモトピー同値です。（定値写像）と （原点への埋め込み）を取ると、 は を原点に潰す写像で、これは恒等写像にホモトピックです（直線的に縮小）。 は明らかです。
しかし と一点は同相ではありません。
可縮空間
一点とホモトピー同値な空間を可縮（contractible）といいます。可縮空間は位相的に「穴がない」空間です。
可縮空間の基本群とすべてのホモロジー群は自明です。
レトラクトの定義
に対して、連続写像 で （ 上で恒等写像）を満たすものをレトラクション、 を のレトラクト（retract）といいます。
レトラクションは を に「押し縮める」写像で、 の点は動かしません。
レトラクトの例
（円板）に対して、（境界円周）はレトラクトではありません。もしレトラクション が存在すれば、 は全射となりますが、 で なので矛盾します。
一方、 から へのレトラクション は存在します。
変形レトラクトの定義
が の変形レトラクト（deformation retract）であるとは、レトラクション が存在し、包含写像 との合成 が にホモトピックであることです。
さらに、このホモトピーが 上で各時刻恒等写像であるとき、 を強変形レトラクト（strong deformation retract）といいます。
変形レトラクトとホモトピー同値
が の変形レトラクトならば、 です。
包含 とレトラクション がホモトピー逆写像の関係にあります。 であり、 が変形レトラクトの条件です。
変形レトラクトの例
の強変形レトラクトは です。ホモトピー により、各点を 上の点に連続的に移動させます。
メビウスの帯の強変形レトラクトはその中心線（円周）です。帯を中心に向かって縮めます。
（球面から一点を除いた空間）は と同相であり、可縮です。
ホモトピー不変量
ホモトピー同値な空間は同じホモトピー不変量を持ちます。
これらの不変量を用いて、空間がホモトピー同値でないことを示せます。 と は なのでホモトピー同値ではありません。
ホモトピー同値の例
と はホモトピー同値です。後者は前者を強変形レトラクトとして含みます。
8の字 とメガネフレーム（2つの円を線分でつないだ形）はホモトピー同値です。
位相構造が完全に一致。位相的性質をすべて保存。可逆な連続写像が存在。
「連続的に変形して一致」。ホモトピー不変量を保存。次元が異なってもホモトピー同値でありうる（）。
