稠密集合の具体例とザリスキー位相

稠密集合の具体例を様々な位相空間で見ていきます。特にザリスキー位相における稠密性は代数幾何学で重要な役割を果たします。

稠密集合の復習

部分集合 $A\subseteq X$ が稠密であるとは、$\overline{A}=X$ が成り立つこと、すなわち $A$ の閉包が $X$ 全体となることです。同値な条件として、$X$ の任意の空でない開集合 $U$ に対して $A\cap U\ne \varnothing$ が成り立ちます。

ユークリッド空間での例

$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密です。任意の実数 $x$ と任意の $\epsilon >0$ に対して、開区間 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ には有理数が含まれます。これはアルキメデスの原理から従います。

$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$（無理数全体）も $\mathbb{R}$ で稠密です。任意の開区間には無理数が含まれます。$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ はともに稠密で、互いに素であり、和集合が $\mathbb{R}$ となります。

${\mathbb{Q}}^n$ は ${\mathbb{R}}^n$ で稠密です。各成分が有理数である点全体は、任意の開球と交わります。

代数的数と超越数

代数的数全体 $\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{R}$ で稠密です。$\mathbb{Q}\subseteq \overline{\mathbb{Q}}$ であり、$\mathbb{Q}$ が稠密なので $\overline{\mathbb{Q}}$ も稠密です。

超越数全体 $\mathbb{R}\setminus \overline{\mathbb{Q}}$ も $\mathbb{R}$ で稠密です。超越数は非可算個あり、任意の開区間に超越数が含まれます。

多項式の稠密性

$C[0,1]$（$[0,1]$ 上の連続関数全体）にsup ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\sup }_{x\in [0,1]}|f(x)|$ を入れた空間で、多項式全体は稠密です（Weierstrassの近似定理）。

任意の連続関数は多項式で一様近似できます。これは関数解析における稠密性の古典的な例です。

滑らかな関数の稠密性

$L^p({\mathbb{R}}^n)$ において、コンパクトな台を持つ滑らかな関数 $C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ は稠密です。

これは偏微分方程式論や分布論の基礎となる事実です。任意の $L^p$ 関数は滑らかな関数で近似できます。

離散位相と密着位相

離散位相では、稠密な真部分集合は存在しません。一点集合 $\{x\}$ が開集合なので、$A$ が稠密ならば任意の $x$ で $A\cap \{x\}\ne \varnothing$、すなわち $x\in A$ となり、$A=X$ です。

密着位相（開集合が $\varnothing$ と $X$ のみ）では、空でない任意の部分集合が稠密です。空でない開集合は $X$ のみなので、$A\ne \varnothing$ ならば $A\cap X=A\ne \varnothing$ です。

ザリスキー位相の定義

${\mathbb{A}}_k^n=k^n$（$k$ は代数的閉体、例えば $\mathbb{C}$）にザリスキー位相を入れます。多項式 $f_1,\dots ,f_m\in k[x_1,\dots ,x_n]$ に対して

$$V(f_1,\dots ,f_m)=\{p\in k^n:f_1(p)=\cdots =f_m(p)=0\}$$

を代数的集合といい、これを閉集合と定めます。開集合はこの補集合です。

ザリスキー位相の特徴

ザリスキー位相は非常に粗い位相です。ハウスドルフではなく、開集合は「巨大」で閉集合は「薄い」傾向があります。

${\mathbb{A}}_k^1$ では、閉集合は有限集合と ${\mathbb{A}}_k^1$ 全体のみです。これは $k[x]$ がPIDであり、任意のイデアルが有限個の点で生成されるからです。

ザリスキー位相における稠密性

ザリスキー位相では、補集合が真の代数的集合である部分集合は稠密です。

$A$ の補集合 $X\setminus A$ が真の閉集合（$X$ より真に小さい代数的集合）ならば、$A$ は稠密です。なぜなら、ザリスキー位相では任意の空でない開集合は稠密だからです。

ザリスキー稠密の例：${\mathbb{A}}^1$ の場合

${\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1$ で、$\mathbb{Z}$ はザリスキー稠密です。$\mathbb{Z}$ の補集合は $\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ であり、これは閉集合ではありません（無限集合なので）。

任意の無限部分集合は ${\mathbb{A}}_k^1$ でザリスキー稠密です。閉集合は有限集合のみなので、無限集合の閉包は ${\mathbb{A}}_k^1$ 全体となります。

$\mathbb{Q}$ も ${\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1$ でザリスキー稠密です。ユークリッド位相とザリスキー位相の両方で稠密ですが、理由は異なります。

ザリスキー稠密の例：${\mathbb{A}}^2$ の場合

${\mathbb{A}}_k^2$ で、直線 $L=\{(x,y):y=0\}$ を除いた補集合 ${\mathbb{A}}_k^2\setminus L$ はザリスキー稠密です。$L$ は真の閉集合なので、その補集合の閉包は ${\mathbb{A}}_k^2$ 全体です。

曲線 $C=\{(x,y):y=x^2\}$ を除いた ${\mathbb{A}}_k^2\setminus C$ もザリスキー稠密です。

ザリスキー稠密の例：一般線型群

$G{L}_n(k)$（$n$ 次正則行列全体）は $M_n(k)\cong {\mathbb{A}}_k^{n^2}$ でザリスキー稠密です。

$G{L}_n(k)=\{A\in M_n(k):\det (A)\ne 0\}$ であり、補集合は $\det (A)=0$ という1つの多項式で定義される超曲面です。これは真の閉集合なので、$G{L}_n(k)$ は稠密です。

ザリスキー稠密の例：対角化可能行列

$\mathbb{C}$ 上で、対角化可能な行列全体は $M_n(\mathbb{C})$ でザリスキー稠密です。

重根を持つ特性多項式を持つ行列は判別式が $0$ となる閉集合に含まれ、これは真の閉集合です。一般の行列は相異なる固有値を持ち、対角化可能です。

ザリスキー稠密と代数幾何

代数幾何学では、ザリスキー稠密な開集合上で成り立つ性質は「一般的」な性質とみなされます。

「一般の行列は対角化可能」「一般の多項式は重根を持たない」「一般の曲線は特異点を持たない」といった主張は、ザリスキー稠密性を用いて定式化されます。

可算稠密部分集合と可分性

可算な稠密部分集合を持つ位相空間を可分（separable）といいます。

${\mathbb{R}}^n$ は可分です（${\mathbb{Q}}^n$ が可算稠密）。ヒルベルト空間 ${\ell }^2$ は可分です。$C[0,1]$ も可分です（有理係数多項式が可算稠密）。

一方、非可算離散空間や ${\ell }^{\infty }$ は可分ではありません。