ベクトル束と接束

ベクトル束は各点にベクトル空間を付けた構造で、多様体上の幾何学の基礎となります。接束は最も重要なベクトル束の例です。

ベクトル束の定義

実 $n$ 次元ベクトル束は、ファイバーが ${\mathbb{R}}^n$ で、変換関数が $G{L}_n(\mathbb{R})$ に値を持つファイバー束です。

各ファイバー $E_b={\pi }^{-1}(b)$ はベクトル空間であり、局所自明化がベクトル空間の同型を与えます。

ベクトル束の例

接束の定義

$n$ 次元多様体 $M$ の接束 $TM$ は、各点 $p\in M$ の接空間 $T_{p}M$ を集めたものです。

$$TM=\underset{p\in M}{⨆}{T}_{p}M$$

自然な射影 $\pi :TM\to M$, $\pi (v)=p$（$v\in T_{p}M$）で $TM$ は $M$ 上の $n$ 次元ベクトル束となります。

接束の局所自明化

座標近傍 $(U,\phi )$ 上で、$TU\cong U\times {\mathbb{R}}^n$ です。

$\phi :U\to {\mathbb{R}}^n$ が座標を与え、$d\phi :TU\to T({\mathbb{R}}^n)\cong {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ が局所自明化を与えます。

接束の例

$T{S}^1\cong S^1\times \mathbb{R}$（自明束）です。円周の各点で接線方向は一貫して定められます。

$T{S}^2$ は自明束ではありません。$S^2$ 上に零でない連続なベクトル場が存在しないからです（毛玉定理）。

ベクトル場と切断

ベクトル場とは接束の切断、すなわち連続（または滑らかな）写像 $X:M\to TM$ で $\pi \circ X={\mathrm{id}}_M$ を満たすものです。

各点 $p$ に接ベクトル $X(p)\in T_{p}M$ を割り当てます。

零切断と零でない切断

零切断 $0:M\to TM$, $0(p)=0_p\in T_{p}M$ は常に存在します。

零でない切断（零でないベクトル場）の存在は位相的障害を持ちます。Euler類が零でなければ、零でない切断は存在しません。

毛玉定理

偶数次元球面 $S^{2n}$ には零でない連続ベクトル場が存在しません。

$\chi (S^{2n})=2\ne 0$ であり、Poincaré-Hopfの定理からベクトル場は零点を持ちます。

奇数次元球面 $S^{2n+1}$ には零でないベクトル場が存在します。$\chi (S^{2n+1})=0$ です。

余接束

余接束 $T^{\ast }M$ は、各点 $p$ での余接空間（接空間の双対）$T_p^{\ast }M$ を集めたものです。

$T^{\ast }M$ は $M$ 上の $n$ 次元ベクトル束で、微分形式の理論で使われます。1-形式は $T^{\ast }M$ の切断です。

ベクトル束の演算

ベクトル束に対して、直和 $E\oplus F$、テンソル積 $E\otimes F$、双対束 $E^{\ast }$ などの演算が定義できます。

$TM\oplus T^{\ast }M$ や $TM\otimes TM$（テンソル場の空間）は幾何学で重要です。

接続とホロノミー

ベクトル束に接続（connection）を入れると、ファイバーの間の「平行移動」が定義できます。

接続の曲率はベクトル束のねじれを測り、特性類と関係します。