ベクトル束は各点にベクトル空間を付けた構造で、多様体上の幾何学の基礎となります。接束は最も重要なベクトル束の例です。
ベクトル束の定義
実 次元ベクトル束は、ファイバーが で、変換関数が に値を持つファイバー束です。
各ファイバー はベクトル空間であり、局所自明化がベクトル空間の同型を与えます。
ベクトル束の例
接束の定義
次元多様体 の接束 は、各点 の接空間 を集めたものです。
自然な射影 , （）で は 上の 次元ベクトル束となります。
接束の局所自明化
座標近傍 上で、 です。
が座標を与え、 が局所自明化を与えます。
接束の例
（自明束）です。円周の各点で接線方向は一貫して定められます。
は自明束ではありません。 上に零でない連続なベクトル場が存在しないからです（毛玉定理）。
ベクトル場と切断
ベクトル場とは接束の切断、すなわち連続（または滑らかな）写像 で を満たすものです。
各点 に接ベクトル を割り当てます。
零切断と零でない切断
零切断 , は常に存在します。
零でない切断（零でないベクトル場）の存在は位相的障害を持ちます。Euler類が零でなければ、零でない切断は存在しません。
毛玉定理
偶数次元球面 には零でない連続ベクトル場が存在しません。
であり、Poincaré-Hopfの定理からベクトル場は零点を持ちます。
奇数次元球面 には零でないベクトル場が存在します。 です。
余接束
余接束 は、各点 での余接空間（接空間の双対） を集めたものです。
は 上の 次元ベクトル束で、微分形式の理論で使われます。1-形式は の切断です。
ベクトル束の演算
ベクトル束に対して、直和 、テンソル積 、双対束 などの演算が定義できます。
や （テンソル場の空間）は幾何学で重要です。
接続とホロノミー
ベクトル束に接続（connection）を入れると、ファイバーの間の「平行移動」が定義できます。
接続の曲率はベクトル束のねじれを測り、特性類と関係します。
各点の接空間を集めたベクトル束。ベクトル場は接束の切断。次元は 。
各点の余接空間を集めたベクトル束。微分形式は余接束の（外積の）切断。シンプレクティック幾何の舞台。
