コホモロジーはホモロジーの双対理論です。ホモロジーが「穴を検出する」のに対し、コホモロジーは「穴を測定する関数」を扱います。
コホモロジーの定義
特異鎖群 の双対を取って、コチェイン群 を定義します。 は係数群（通常 や体）です。
余境界作用素 を で定義します。 が成り立ちます。
コホモロジー群
次コホモロジー群は
で定義されます。コサイクル（）のうち、コバウンダリー（ の形）でないものがコホモロジー類です。
ホモロジーとの関係
普遍係数定理により、ホモロジーとコホモロジーは密接に関係します。 が体 のとき、
であり、 です。
整数係数では、ねじれ部分の扱いがやや複雑になります。
コホモロジーの函手性
連続写像 に対して、 が誘導されます。
ホモロジーの とは向きが逆であることに注意してください。 は反変函手です。
コホモロジーの例
係数を体 とすると、Betti数と一致します。
（）、（それ以外）
（）、（）
de Rhamコホモロジーとの関係
滑らかな多様体 に対して、de Rhamコホモロジー は微分形式を用いて定義されます。
de Rhamの定理により、 が成り立ちます。
相対コホモロジー
対 に対して相対コホモロジー が定義され、長完全列
が存在します。
Mayer-Vietoris列（コホモロジー版）
に対して、
が成り立ちます。矢印の向きがホモロジー版と逆であることに注意してください。
コホモロジーの利点
コホモロジーには積構造（カップ積）が自然に入ります。これによりコホモロジー環が定義され、ホモロジーにはない豊かな代数構造が得られます。
また、反変性により、写像の引き戻しとして幾何学的に解釈しやすい場面があります。
ホモロジー
共変函手。鎖の同値類。穴を「検出」する。
コホモロジー
反変函手。コチェインの同値類。穴を「測定する関数」。カップ積により環構造を持つ。
