鎖を食べる関数の側から見る、特異コホモロジーの作り方

ホモロジーは鎖に境界作用素を当てて作りました。コホモロジーは、その鎖を実数や整数へ送る関数の側で同じことをします。

矢印の向きが逆になり、写像の誘導も逆向きになる。そのぶんカップ積という積が入り、環になります^[1]。

以下では余鎖複体の作り方から始め、ホモロジーとの関係を普遍係数定理で押さえ、コホモロジーのほうがよく使われる理由まで扱います。

特異鎖の復習

標準 $n$ 単体 ${\Delta }^n$ から $X$ への連続写像を特異 $n$ 単体といいます^[3]。単射である必要はありません。

これらを基底とする自由アーベル群が $C_n(X)$ で、元を $n$ 鎖という。

境界作用素 ${\partial }_n:C_n\to C_{n-1}$ は、面を符号付きで足したものです。$\partial \circ \partial =0$ が成り立つ。

双対をとる

係数群 $G$ をとり、$C^n(X;G)=\mathrm{Hom}(C_n(X),G)$ とおきます^[1]。

鎖に値を返す関数の全体です。元を $n$ 余鎖という。

余境界作用素は $\partial$ の双対で、$(\delta \phi )(\sigma )=\phi (\partial \sigma )$ と定めます。矢印の向きが逆になる。

$$\cdots ⟵C^{n+1}\stackrel{\delta }{⟵}{C}^n\stackrel{\delta }{⟵}{C}^{n-1}⟵\cdots$$

コホモロジー群

$\delta \circ \delta =0$ が $\partial \circ \partial =0$ から出ます。したがって商がとれる。

$$H^n(X;G)=\frac{\ker (\delta :C^n\to C^{n+1})}{\mathrm{im}(\delta :C^{n-1}\to C^n)}$$

核の元を余輪体、像の元を余境界といいます^[1,4]。

形はホモロジーとまったく同じで、矢印の向きだけが違います。

矢印の向きだけが違い、$\partial \circ \partial =0$ と $\delta \circ \delta =0$ という構造は共通です。

商をとる操作もまったく同じ。だから定義の形が鏡写しになります。

例：グラフの上で余鎖を書く

頂点 3 つ、辺 2 本のグラフをとります。$C_0$ は頂点の自由アーベル群、$C_1$ は辺の自由アーベル群。

$0$ 余鎖は頂点に数を割り当てる関数、$1$ 余鎖は辺に数を割り当てる関数です。

$\delta \phi$ は、辺の両端の値の差になります。$(\delta \phi )(e)=\phi (\partial e)=\phi (\text{終点})-\phi (\text{始点})$。

例：$H^0$ が定数関数を数える

$\delta \phi =0$ とは、どの辺でも両端の値が等しいこと。連結成分ごとに定数、という意味です。

$0$ 次では余境界がないので、$H^0(X;\mathbb{Z})$ は連結成分の個数ぶんの $\mathbb{Z}$ になります。

ホモロジーの $H_0$ と同じ答えですが、読み方が違います。$H_0$ は点を数え、$H^0$ は定数関数を数える。

向きが逆になる

連続写像 $f:X\to Y$ は、鎖では $f_{\ast }:C_n(X)\to C_n(Y)$ を誘導します。合成すると向きが順。

余鎖では合成の順が入れ替わり、$f^{\ast }:H^n(Y)\to H^n(X)$ が出ます^[1,5]。引き戻し。

$(g\circ f{)}^{\ast }=f^{\ast }\circ g^{\ast }$ です。反変関手になっている。

向きの違いを絵で見る

同じ写像に対して、鎖と余鎖が逆方向へ流れます。

写像は 1 本しかないのに、流れる向きが違います。余鎖が「鎖を食べる関数」なので、関数のほうは逆向きに運べる。

引き戻しが自然に定まることが、コホモロジーの扱いやすさの一つになっています。

普遍係数定理

コホモロジーはホモロジーからほぼ決まります。ただし捩れのぶんだけずれる。

$$0\to {\mathrm{Ext}}^1(H_{n-1}(X),G)\to H^n(X;G)\to \mathrm{Hom}(H_n(X),G)\to 0$$

が完全で、しかも分裂します^[2]。ただし分裂は自然ではありません。

$\mathrm{Hom}$ の項が主要部、$\mathrm{Ext}$ の項が 1 つ下の次元の捩れから来る補正です。

係数が体なら双対空間になる

$G$ が体なら $\mathrm{Ext}$ が消えます。したがって

$$H^n(X;F)\cong \mathrm{Hom}(H_n(X;F),F)$$

です^[1]。線型代数の双対空間そのもの。

有限次元なら次元が一致します。ベッチ数はホモロジーで数えてもコホモロジーで数えても同じ。

例：球面

$H_n(S^n)=\mathbb{Z}$、ほかは $0$（$n\ge 1$、$H_0=\mathbb{Z}$）です。捩れがありません。

$\mathrm{Ext}$ の項が消えるので、$H^n(S^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ となり、ホモロジーと同じ形になります。

捩れのない空間では、コホモロジーは見た目としてホモロジーと変わりません。

例：実射影平面

$H_0({\mathbb{RP}}^2)=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}/2$、$H_2=0$ です。$1$ 次に捩れがあります。

$\mathbb{Z}$ 係数のコホモロジーは $H^0=\mathbb{Z}$、$H^1=0$、$H^2=\mathbb{Z}/2$ になります^[2]。

捩れが 1 つ上の次元へずれて現れる、というところが要点です。$H_1$ の $\mathbb{Z}/2$ が $H^2$ に出る。

$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z})=0$ で ${\mathrm{Ext}}^1(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2$ です。この 2 つが表の食い違いを作っています。

カップ積

コホモロジーには積が入ります。

$$⌣:H^i(X;R)\times H^j(X;R)\to H^{i+j}(X;R)$$

余鎖のレベルでは、単体の前半と後半に分けて評価する形で定めます^[1,4]。

次数付き可換です。$u⌣v=(-1{)}^{ij}v⌣u$。

例：円周のコホモロジー

$S^1$ を頂点 1 つと辺 1 本の複体で書きます。$\partial$ は辺の両端が同じ点なので $0$。

したがって $\delta =0$ で、$H^0(S^1)=\mathbb{Z}$、$H^1(S^1)=\mathbb{Z}$ になります。

$H^1$ の生成元は、辺に $1$ を割り当てる余鎖です。ぐるっと回ったときの周回数を測る関数、と読めます。

カップ積が何をしているか

$i$ 余鎖 $\phi$ と $j$ 余鎖 $\psi$ から、$i+j$ 余鎖を作ります。$(i+j)$ 単体を前半と後半に切り、それぞれに食わせて掛ける。

切る位置は $\phi$ の次数で決まります。$i$ 番目の頂点で切り、前半を $\phi$、後半を $\psi$ に渡す。

余鎖のレベルでは可換になりません。コホモロジーに落としたところで、符号付きの可換性が現れます^[1]。

コホモロジー環

すべての次数を集めた ${⨁}_i{H}^i(X;R)$ が環になります^[4]。

ホモロジーには自然な積がありません。ここがコホモロジーを使う最大の理由。

環として区別できるが群としては区別できない、という空間の組が実際にあります。

例：積構造で差が出る組

$S^2\times S^4$ と ${\mathbb{CP}}^3$ を比べます。コホモロジー群はどちらも $0,2,4,6$ 次に $\mathbb{Z}$ が並び、群としては同型。

環としては違います。${\mathbb{CP}}^3$ では $2$ 次の生成元 $x$ について $x^2$ が $4$ 次の生成元になり、$x^3\ne 0$。

$S^2\times S^4$ では $2$ 次の生成元の 2 乗が $0$ です。群だけを見ると区別できず、積を見ると区別できる。

例：トーラスのコホモロジー環

$T^2$ では $H^0=\mathbb{Z}$、$H^1={\mathbb{Z}}^2$、$H^2=\mathbb{Z}$ です。

$1$ 次の生成元 $a$、$b$ について $a⌣b$ が $2$ 次の生成元になり、$a⌣a=0$。

外積代数と同じ形をしています。微分形式の $dx\wedge dy$ に対応する構造。

相対コホモロジー

対 $(X,A)$ に対し、$A$ の上で $0$ になる余鎖を集めて $C^n(X,A)$ とします。

長完全列

$$\cdots \to H^n(X,A)\to H^n(X)\to H^n(A)\to H^{n+1}(X,A)\to \cdots$$

が出ます。ホモロジーの長完全列と向きが逆。

切除定理も成り立ちます。ホモロジーで使える道具は、たいていコホモロジーでも使える。

マイヤー・ヴィートリス列

$X=U\cup V$ と開集合で分けると

$$\cdots \to H^n(X)\to H^n(U)\oplus H^n(V)\to H^n(U\cap V)\to H^{n+1}(X)\to \cdots$$

が完全になります。矢印の向きがホモロジー版と逆。

貼り合わせから計算できる点は同じです。実際の計算ではこの列がよく使われる。

ド・ラームコホモロジーとの一致

滑らかな多様体では、微分形式で作ったコホモロジーが実係数の特異コホモロジーと同型になります^[6]。

同型は積分で与えられます。$\omega$ に対して $\sigma \mapsto {\int }_{\sigma }\omega$ を対応させる形。

環としても同型で、カップ積がウェッジ積に対応します^[6]。実係数でだけ成り立ち、整数係数では捩れのぶん崩れる。

なぜコホモロジーを使うのか

理由は 3 つに整理できます。

ホモロジーのほうが直感的です。穴を数えている、という説明がそのまま通る。コホモロジーは 1 段抽象的なぶん、道具として強い^[1]。

よくある誤り

参考文献