特異コホモロジーの定義

コホモロジーはホモロジーの双対理論です。ホモロジーが「穴を検出する」のに対し、コホモロジーは「穴を測定する関数」を扱います。

コホモロジーの定義

特異鎖群 $S_n(X)$ の双対を取って、コチェイン群 $S^n(X;G)=\mathrm{Hom}(S_n(X),G)$ を定義します。$G$ は係数群（通常 $\mathbb{Z}$ や体）です。

余境界作用素 ${\delta }^n:S^n(X;G)\to S^{n+1}(X;G)$ を $({\delta }^n\phi )(\sigma )=\phi ({\partial }_{n+1}\sigma )$ で定義します。${\delta }^{n+1}\circ {\delta }^n=0$ が成り立ちます。

コホモロジー群

$n$ 次コホモロジー群は

$$H^n(X;G)=\ker {\delta }^n/\mathrm{im}{\delta }^{n-1}$$

で定義されます。コサイクル（$\delta \phi =0$）のうち、コバウンダリー（$\phi =\delta \psi$ の形）でないものがコホモロジー類です。

ホモロジーとの関係

普遍係数定理により、ホモロジーとコホモロジーは密接に関係します。$G$ が体 $k$ のとき、

$$H^n(X;k)\cong {\mathrm{Hom}}_k(H_n(X;k),k)$$

であり、$\dim H^n(X;k)=\dim H_n(X;k)$ です。

整数係数では、ねじれ部分の扱いがやや複雑になります。

コホモロジーの函手性

連続写像 $f:X\to Y$ に対して、$f^{\ast }:H^n(Y;G)\to H^n(X;G)$ が誘導されます。

ホモロジーの $f_{\ast }$ とは向きが逆であることに注意してください。$f^{\ast }$ は反変函手です。

コホモロジーの例

係数を体 $k$ とすると、Betti数と一致します。

de Rhamコホモロジーとの関係

滑らかな多様体 $M$ に対して、de Rhamコホモロジー $H_{\mathrm{dR}}^n(M)$ は微分形式を用いて定義されます。

de Rhamの定理により、$H_{\mathrm{dR}}^n(M)\cong H^n(M;\mathbb{R})$ が成り立ちます。

相対コホモロジー

対 $(X,A)$ に対して相対コホモロジー $H^n(X,A;G)$ が定義され、長完全列

$$\cdots \to H^n(X,A)\to H^n(X)\to H^n(A)\to H^{n+1}(X,A)\to \cdots$$

が存在します。

Mayer-Vietoris列（コホモロジー版）

$X=U\cup V$ に対して、

$$\cdots \to H^n(X)\to H^n(U)\oplus H^n(V)\to H^n(U\cap V)\to H^{n+1}(X)\to \cdots$$

が成り立ちます。矢印の向きがホモロジー版と逆であることに注意してください。

コホモロジーの利点

コホモロジーには積構造（カップ積）が自然に入ります。これによりコホモロジー環が定義され、ホモロジーにはない豊かな代数構造が得られます。

また、反変性により、写像の引き戻しとして幾何学的に解釈しやすい場面があります。