鎖を食べる関数の側から見る、特異コホモロジーの作り方

ホモロジーは鎖に境界作用素を当てて作りました。コホモロジーは、その鎖を実数や整数へ送る関数の側で同じことをします。

矢印の向きが逆になり、写像の誘導も逆向きになる。そのぶんカップ積という積が入り、環になります^[1]。

以下では余鎖複体の作り方から始め、ホモロジーとの関係を普遍係数定理で押さえ、コホモロジーのほうがよく使われる理由まで扱います。

特異鎖の復習

標準 $n$ 単体 $Δ^{n}$ から $X$ への連続写像を特異 $n$ 単体といいます^[3]。単射である必要はありません。

これらを基底とする自由アーベル群が $C_{n} (X)$ で、元を $n$ 鎖という。

境界作用素 $\partial_{n} : C_{n} \to C_{n - 1}$ は、面を符号付きで足したものです。 $\partial \circ \partial = 0$ が成り立つ。

双対をとる

係数群 $G$ をとり、 $C^{n} (X; G) = Hom (C_{n} (X), G)$ とおきます^[1]。

鎖に値を返す関数の全体です。元を $n$ 余鎖という。

余境界作用素は $\partial$ の双対で、 $(δ φ) (σ) = φ (\partial σ)$ と定めます。矢印の向きが逆になる。

$\dots ⟵ C^{n + 1} ⟵ δ C^{n} ⟵ δ C^{n - 1} ⟵ \dots$

コホモロジー群

$δ \circ δ = 0$ が $\partial \circ \partial = 0$ から出ます。したがって商がとれる。

$H^{n} (X; G) = \frac{ker ( δ : C ^{n} \to C ^{n + 1} )}{im ( δ : C ^{n - 1} \to C ^{n} )}$

核の元を余輪体、像の元を余境界といいます^[1,4]。

形はホモロジーとまったく同じで、矢印の向きだけが違います。

矢印の向きだけが違い、 $\partial \circ \partial = 0$ と $δ \circ δ = 0$ という構造は共通です。

商をとる操作もまったく同じ。だから定義の形が鏡写しになります。

例：グラフの上で余鎖を書く

頂点 3 つ、辺 2 本のグラフをとります。 $C_{0}$ は頂点の自由アーベル群、 $C_{1}$ は辺の自由アーベル群。

$0$ 余鎖は頂点に数を割り当てる関数、 $1$ 余鎖は辺に数を割り当てる関数です。

$δ φ$ は、辺の両端の値の差になります。 $(δ φ) (e) = φ (\partial e) = φ (終点) - φ (始点)$ 。

例： $H^{0}$ が定数関数を数える

$δ φ = 0$ とは、どの辺でも両端の値が等しいこと。連結成分ごとに定数、という意味です。

$0$ 次では余境界がないので、 $H^{0} (X; Z)$ は連結成分の個数ぶんの $Z$ になります。

ホモロジーの $H_{0}$ と同じ答えですが、読み方が違います。 $H_{0}$ は点を数え、 $H^{0}$ は定数関数を数える。

向きが逆になる

連続写像 $f : X \to Y$ は、鎖では $f_{*} : C_{n} (X) \to C_{n} (Y)$ を誘導します。合成すると向きが順。

余鎖では合成の順が入れ替わり、 $f^{*} : H^{n} (Y) \to H^{n} (X)$ が出ます^[1,5]。引き戻し。

$(g \circ f)^{*} = f^{*} \circ g^{*}$ です。反変関手になっている。

ホモロジー

共変。 $f_{*} : H_{n} (X) \to H_{n} (Y)$ で、写像と同じ向きに動きます。

コホモロジー

反変。 $f^{*} : H^{n} (Y) \to H^{n} (X)$ で、写像と逆向きに動きます。

向きの違いを絵で見る

同じ写像に対して、鎖と余鎖が逆方向へ流れます。

写像は 1 本しかないのに、流れる向きが違います。余鎖が「鎖を食べる関数」なので、関数のほうは逆向きに運べる。

引き戻しが自然に定まることが、コホモロジーの扱いやすさの一つになっています。

普遍係数定理

コホモロジーはホモロジーからほぼ決まります。ただし捩れのぶんだけずれる。

$0 \to Ext^{1} (H_{n - 1} (X), G) \to H^{n} (X; G) \to Hom (H_{n} (X), G) \to 0$

が完全で、しかも分裂します^[2]。ただし分裂は自然ではありません。

$Hom$ の項が主要部、 $Ext$ の項が 1 つ下の次元の捩れから来る補正です。

係数が体なら双対空間になる

$G$ が体なら $Ext$ が消えます。したがって

$H^{n} (X; F) ≅ Hom (H_{n} (X; F), F)$

です^[1]。線型代数の双対空間そのもの。

有限次元なら次元が一致します。ベッチ数はホモロジーで数えてもコホモロジーで数えても同じ。

例：球面

$H_{n} (S^{n}) = Z$ 、ほかは $0$ （ $n \geq 1$ 、 $H_{0} = Z$ ）です。捩れがありません。

$Ext$ の項が消えるので、 $H^{n} (S^{n}; Z) = Z$ となり、ホモロジーと同じ形になります。

捩れのない空間では、コホモロジーは見た目としてホモロジーと変わりません。

例：実射影平面

$H_{0} (RP^{2}) = Z$ 、 $H_{1} = Z /2$ 、 $H_{2} = 0$ です。 $1$ 次に捩れがあります。

$Z$ 係数のコホモロジーは $H^{0} = Z$ 、 $H^{1} = 0$ 、 $H^{2} = Z /2$ になります^[2]。

捩れが 1 つ上の次元へずれて現れる、というところが要点です。 $H_{1}$ の $Z /2$ が $H^{2}$ に出る。

次数	H_n(RP^2)	H^n(RP^2)
0	Z	Z
1	Z/2	0
2	0	Z/2

$Hom (Z /2, Z) = 0$ で $Ext^{1} (Z /2, Z) = Z /2$ です。この 2 つが表の食い違いを作っています。

カップ積

コホモロジーには積が入ります。

$⌣ : H^{i} (X; R) \times H^{j} (X; R) \to H^{i + j} (X; R)$

余鎖のレベルでは、単体の前半と後半に分けて評価する形で定めます^[1,4]。

次数付き可換です。 $u ⌣ v = (- 1)^{ij} v ⌣ u$ 。

例：円周のコホモロジー

$S^{1}$ を頂点 1 つと辺 1 本の複体で書きます。 $\partial$ は辺の両端が同じ点なので $0$ 。

したがって $δ = 0$ で、 $H^{0} (S^{1}) = Z$ 、 $H^{1} (S^{1}) = Z$ になります。

$H^{1}$ の生成元は、辺に $1$ を割り当てる余鎖です。ぐるっと回ったときの周回数を測る関数、と読めます。

カップ積が何をしているか

$i$ 余鎖 $φ$ と $j$ 余鎖 $ψ$ から、 $i + j$ 余鎖を作ります。 $(i + j)$ 単体を前半と後半に切り、それぞれに食わせて掛ける。

切る位置は $φ$ の次数で決まります。 $i$ 番目の頂点で切り、前半を $φ$ 、後半を $ψ$ に渡す。

余鎖のレベルでは可換になりません。コホモロジーに落としたところで、符号付きの可換性が現れます^[1]。

コホモロジー環

すべての次数を集めた $⨁_{i} H^{i} (X; R)$ が環になります^[4]。

ホモロジーには自然な積がありません。ここがコホモロジーを使う最大の理由。

環として区別できるが群としては区別できない、という空間の組が実際にあります。

例：積構造で差が出る組

$S^{2} \times S^{4}$ と $CP^{3}$ を比べます。コホモロジー群はどちらも $0, 2, 4, 6$ 次に $Z$ が並び、群としては同型。

環としては違います。 $CP^{3}$ では $2$ 次の生成元 $x$ について $x^{2}$ が $4$ 次の生成元になり、 $x^{3} \neq = 0$ 。

$S^{2} \times S^{4}$ では $2$ 次の生成元の 2 乗が $0$ です。群だけを見ると区別できず、積を見ると区別できる。

例：トーラスのコホモロジー環

$T^{2}$ では $H^{0} = Z$ 、 $H^{1} = Z^{2}$ 、 $H^{2} = Z$ です。

$1$ 次の生成元 $a$ 、 $b$ について $a ⌣ b$ が $2$ 次の生成元になり、 $a ⌣ a = 0$ 。

外積代数と同じ形をしています。微分形式の $d x \land d y$ に対応する構造。

$H_{1} (X) = Z /3$ 、 $H_{0} (X) = Z$ で、ほかのホモロジーが $0$ の空間について、 $H^{2} (X; Z)$ はどれか。

$0$
$Z /3$
$Z$
$Z /9$

__RESULT__

$Hom (H_{2}, Z) = 0$ で、 $Ext^{1} (H_{1}, Z) = Ext^{1} (Z /3, Z) = Z /3$ です。捩れが 1 つ上へずれます。

相対コホモロジー

対 $(X, A)$ に対し、 $A$ の上で $0$ になる余鎖を集めて $C^{n} (X, A)$ とします。

長完全列

$\dots \to H^{n} (X, A) \to H^{n} (X) \to H^{n} (A) \to H^{n + 1} (X, A) \to \dots$

が出ます。ホモロジーの長完全列と向きが逆。

切除定理も成り立ちます。ホモロジーで使える道具は、たいていコホモロジーでも使える。

マイヤー・ヴィートリス列

$X = U \cup V$ と開集合で分けると

$\dots \to H^{n} (X) \to H^{n} (U) \oplus H^{n} (V) \to H^{n} (U \cap V) \to H^{n + 1} (X) \to \dots$

が完全になります。矢印の向きがホモロジー版と逆。

貼り合わせから計算できる点は同じです。実際の計算ではこの列がよく使われる。

ド・ラームコホモロジーとの一致

滑らかな多様体では、微分形式で作ったコホモロジーが実係数の特異コホモロジーと同型になります^[6]。

同型は積分で与えられます。 $ω$ に対して $σ \mapsto \int_{σ} ω$ を対応させる形。

環としても同型で、カップ積がウェッジ積に対応します^[6]。実係数でだけ成り立ち、整数係数では捩れのぶん崩れる。

なぜコホモロジーを使うのか

理由は 3 つに整理できます。

カップ積があり、環として空間を区別できる

引き戻しが自然に定まり、写像との相性がよい

微分形式や層と直接つながる

ホモロジーのほうが直感的です。穴を数えている、という説明がそのまま通る。コホモロジーは 1 段抽象的なぶん、道具として強い^[1]。

よくある誤り

コホモロジーを単なるホモロジーの双対だと思う。捩れがあるとずれます

捩れが同じ次数に出ると思う。

Ext

の項は 1 つ下の次元から来ます

普遍係数定理の分裂が自然だと思う。分裂しますが自然ではありません

f^{*}

の向きを

f

と同じにする。コホモロジーは反変です

ホモロジーにもカップ積があると思う。積が入るのはコホモロジーです

コホモロジー群が同型なら環も同型だと思う。

S^{2} \times S^{4}

と

CP^{3}

が反例です

ド・ラームの定理が整数係数で成り立つと思う。実係数までです

参考文献

Cohomology

Universal coefficient theorem

ホモロジーの鎖を整数や実数へ送る関数を集め、同じ手続きをやり直したものが特異コホモロジーです。矢印の向きが逆になり、連続写像は引き戻しを誘導する。ホモロジーからほぼ決まりますが、捩れは 1 つ上の次元にずれて現れます。$\mathbb{RP}^2$ では $H_1$ の $\mathbb{Z}/2$ が $H^2$ に出てくる。最大の違いはカップ積で、$S^2 \times S^4$ と $\mathbb{CP}^3$ のように群としては同型でも環としては違う空間を区別できます。