像の側を見る写像 - 開写像と閉写像は連続とどう違うのか

連続写像は逆像を見る条件です。開集合の逆像が開集合であればよい。開写像はその向きを裏返し、開集合の像が開集合であることを要求します^[1]。

似た文に見えて、成り立ち方は独立しています。連続でも開でない写像、開でも連続でない写像、どちらもある。

定義は像の側にある

位相空間のあいだの写像 $f:X\to Y$ について、次のように呼びます^[1]。

$X$ の任意の開集合 $U$ に対して $f(U)$ が $Y$ で開集合のとき、$f$ は開写像。$X$ の任意の閉集合 $F$ に対して $f(F)$ が $Y$ で閉集合のとき、$f$ は閉写像。

連続性の条件と並べると、見ている向きの違いがはっきりします。

連続写像は $Y$ の情報を $X$ 側へ持ち帰る道具です。いっぽう開写像は、$X$ の情報を $Y$ 側へ押し出す^[1]。

矢印の向きが逆なので、片方から他方は出てきません。両方を要求するのが同相写像の条件になります。

例：定値写像は閉だが開でない

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$、$f(x)=7$ をとります。連続なのはすぐ分かる。

空でない集合の像はどれも $\{7\}$ です。1 点集合は閉なので、$f$ は閉写像^[1]。

ところが開区間の像も $\{7\}$ で、これは開集合ではありません。連続かつ閉でありながら、開ではない写像になります。

例：射影は開だが閉でない

$\pi :{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$、$\pi (x,y)=x$ をとります。積位相の基底 $U\times V$ の像が $U$ なので、$\pi$ は開写像^[1]。

閉写像ではありません。反例が双曲線です^[3]。

$$C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:xy=1\}$$

$C$ は連続関数 $xy$ の $1$ における逆像なので閉集合です。ところが $\pi (C)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ で、これは開集合であって閉集合ではありません^[3]。

$x$ を $0$ に近づけると $y=1/x$ が発散します。双曲線は $y$ 軸へ近づきますが届かない。影のほうにだけ穴が残ります。

例：離散空間へ送ればどちらも成り立つ

$Y$ が離散空間なら、どんな写像 $f:X\to Y$ も開写像であり閉写像です^[1]。

$Y$ のすべての部分集合が開かつ閉なので、像がどんな形でも条件を満たします。連続性はここでは要りません。

逆に $X$ が離散空間でも、像の側が制限を受けないので開写像とは限らない。効くのは終域の位相のほうです。

例：ゾルゲンフライ直線の絶対値

$\mathbb{R}$ に半開区間 $[a,b)$ を基底とする位相を入れたものを、ゾルゲンフライ直線と呼びます。

この空間から自分自身への $f(x)=|x|$ は開写像ではありません^[1]。$f([-7,-1))=(1,7]$ となり、右端を含む区間は開でないためです。

同じ写像を通常の位相で見ると、$f((-7,-1))=(1,7)$ で開集合。土台の位相を変えると判定がひっくり返ります。

4 通りがすべて起こる

連続性と開写像性は互いを含みません。組み合わせは 4 通りあり、どれにも例があります。

開だが連続でない例は、離散空間 $\{0,1\}$ への写像でいくらでも作れます。像は必ず開なので開写像ですが、逆像は好きなだけ悪くできる。

床関数 $\lfloor x\rfloor$ を通常の位相で見ると、連続でも開でもありません。像が整数の集合になり、開集合になりません。

全単射なら開と閉は一致する

$f:X\to Y$ が全単射のとき、$f$ が開写像であることと閉写像であることは同値です^[1]。

全単射なら $f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)$ が成り立つためです。補集合が補集合へきちんと移るので、開の条件と閉の条件が裏返しになります。

全単射でないと崩れます。定値写像は閉ですが開ではなく、射影は開ですが閉ではありません。どちらも全単射でない^[1]。

そして、連続な全単射が開写像であることは、同相写像であることと同値になります^[2]。

コンパクトからハウスドルフへ

$X$ がコンパクト、$Y$ がハウスドルフで $f:X\to Y$ が連続なら、$f$ は閉写像です。

$X$ の閉集合はコンパクトで、その連続像もコンパクト。ハウスドルフ空間ではコンパクト集合が閉なので、像が閉集合になります。

閉写像であることの十分条件として、いちばんよく使う形です。

包含写像はいつ開になるか

部分空間 $A\subseteq X$ からの包含写像は、いつでも連続です^[2]。開写像になるかどうかは $A$ の側で決まります。

$A$ が $X$ で開集合なら、$A$ の開集合は $X$ でも開なので包含写像は開写像。$A$ が開でなければ、そうとは限りません。

$A=[0,1]\subseteq \mathbb{R}$ で考えます。$[0,1)$ は $A$ の中では開集合ですが、$\mathbb{R}$ の中では開ではありません。

商写像との関係

全射 $f:X\to Y$ が商写像であるとは、$U\subseteq Y$ が開であることと $f^{-1}(U)$ が $X$ で開であることが同値になることをいいます^[3]。

連続な全射が開写像なら商写像、閉写像でも商写像になります^[3]。商位相を扱うときの実用的な判定条件です。

逆は成り立ちません。商写像でありながら、開でも閉でもないものが作れます。

開写像定理

関数解析の開写像定理は、バナッハ空間のあいだの有界線形全射が開写像になると言います。

位相だけからは出ない主張です。完備性を使うベールのカテゴリー定理が証明の芯にあります。

開写像であることが分かると、逆写像の有界性がただちに従う。抽象的な条件が、逆作用素の存在という具体的な結論を運んできます。

整理

見る向きだけが違う 3 つの条件を並べます。連続は逆像、開写像と閉写像は像。土台になる集合が開か閉かで、さらに 2 つに分かれます。

全単射という条件が加わったときだけ、開と閉が同じ意味になる。そのとき連続性と合わせると同相写像になります。

判定に迷ったら、どちらの空間の部分集合を先に選んでいるかを確かめる。この一手で、混同のほとんどは消えます。

参考文献