基本群は位相空間にループの同値類から群を対応させる不変量で、代数的位相幾何学の出発点となります。
ホモトピーの直感
2つの連続写像が「連続的に変形」できるとき、ホモトピック（homotopic）であるといいます。
写像 がホモトピックであるとは、連続写像 で , を満たすものが存在することです。 をホモトピーといいます。
ループとその同値関係
位相空間 の点 を基点として固定します。基点 におけるループとは、連続写像 で を満たすものです。
2つのループ が基点を固定したままホモトピックであるとき、同じ同値類に属すると定めます。この同値関係を基点を保つホモトピーといいます。
基本群の定義
基点 を保つループのホモトピー類全体を と書きます。
ループの結合 を「まず を歩き、次に を歩く」で定めると、ホモトピー類の間に群演算が誘導されます。
単位元：定値ループ（ に留まる）のホモトピー類
逆元：ループを逆向きに歩いたもののホモトピー類
結合律：3つのループの結合順序によらない（ホモトピー類として）
この群 を の基本群（fundamental group）といいます。
基本群の例
や任意の凸集合の基本群は自明群 です。任意のループが定値ループにホモトピックだからです。このような空間を単連結といいます。
円周 の基本群は と同型です。ループが円周を何回巻くかで分類され、巻き数が群の元に対応します。
トーラス の基本群は と同型です。2つの独立なループ（経線と緯線）の巻き数の組で分類されます。
基本群の性質
基本群は位相不変量であり、同相な空間は同型な基本群を持ちます。より一般に、ホモトピー同値な空間の基本群は同型です。
弧状連結な空間では、基点の取り方によらず基本群は同型となります（同型は標準的ではありません）。
基本群は被覆空間の理論と密接に関係し、被覆空間の分類は基本群の部分群の分類に帰着されます。
