基本群の導入（位相空間から代数的位相幾何へ）

基本群は位相空間にループの同値類から群を対応させる不変量で、代数的位相幾何学の出発点となります。

ホモトピーの直感

2つの連続写像が「連続的に変形」できるとき、ホモトピック（homotopic）であるといいます。

写像 $f,g:X\to Y$ がホモトピックであるとは、連続写像 $H:X\times [0,1]\to Y$ で $H(x,0)=f(x)$, $H(x,1)=g(x)$ を満たすものが存在することです。$H$ をホモトピーといいます。

ループとその同値関係

位相空間 $X$ の点 $x_0$ を基点として固定します。基点 $x_0$ におけるループとは、連続写像 $\gamma :[0,1]\to X$ で $\gamma (0)=\gamma (1)=x_0$ を満たすものです。

2つのループ ${\gamma }_0,{\gamma }_1$ が基点を固定したままホモトピックであるとき、同じ同値類に属すると定めます。この同値関係を基点を保つホモトピーといいます。

基本群の定義

基点 $x_0$ を保つループのホモトピー類全体を ${\pi }_1(X,x_0)$ と書きます。

ループの結合 ${\gamma }_1\cdot {\gamma }_2$ を「まず ${\gamma }_1$ を歩き、次に ${\gamma }_2$ を歩く」で定めると、ホモトピー類の間に群演算が誘導されます。

この群 ${\pi }_1(X,x_0)$ を $X$ の基本群（fundamental group）といいます。

基本群の例

${\mathbb{R}}^n$ や任意の凸集合の基本群は自明群 $\{e\}$ です。任意のループが定値ループにホモトピックだからです。このような空間を単連結といいます。

円周 $S^1$ の基本群は $\mathbb{Z}$ と同型です。ループが円周を何回巻くかで分類され、巻き数が群の元に対応します。

トーラス $T^2$ の基本群は $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ と同型です。2つの独立なループ（経線と緯線）の巻き数の組で分類されます。

基本群の性質

基本群は位相不変量であり、同相な空間は同型な基本群を持ちます。より一般に、ホモトピー同値な空間の基本群は同型です。

弧状連結な空間では、基点の取り方によらず基本群は同型となります（同型は標準的ではありません）。

基本群は被覆空間の理論と密接に関係し、被覆空間の分類は基本群の部分群の分類に帰着されます。