カップ積とコホモロジー環 - 群では見えない差を「積」が拾う

コホモロジー群だけを並べても、区別できない空間の組があります。次数ごとの群がすべて一致してしまう。

積を入れると区別が付きます。カップ積が与えるこの積構造が、コホモロジーをホモロジーより強い道具にしている^[1]。

以下では余鎖のレベルでの定義から始め、環としての性質を確かめ、射影空間やトーラスの環を計算し、キャップ積とポアンカレ双対性までつなぎます。

余鎖のレベルでの定義

$p$ 余鎖 $\alpha$ と $q$ 余鎖 $\beta$ から、$p+q$ 余鎖を作ります。$(p+q)$ 単体 $\sigma$ の頂点を順に $v_0,\dots ,v_{p+q}$ とし

$$(\alpha ⌣\beta )(\sigma )=\alpha \left(\sigma {|}_{[v_0,\dots ,v_p]}\right)\cdot \beta \left(\sigma {|}_{[v_p,\dots ,v_{p+q}]}\right)$$

と定めます^[1]。前の面を $\alpha$ に、後ろの面を $\beta$ に渡して掛ける。

$v_p$ が両方に入っているところが要点です。前半と後半が 1 点で継がれている。

余境界との関係

積の余境界は、ライプニッツ則の形になります。

$$\delta (\alpha ⌣\beta )=\delta \alpha ⌣\beta +(-1{)}^p\alpha ⌣\delta \beta$$

が成り立ちます^[1]。符号は前に来る余鎖の次数で決まる。

この式から、余輪体どうしの積は余輪体、片方が余境界なら積も余境界と分かります。だからコホモロジーに積が降りる。

前半と後半に切る

切る位置が次数で決まる様子を描きます。

黒い頂点が継ぎ目です。前半と後半が 1 点だけを共有する。

次数の組が変わると切る場所も動きます。同じ単体から、いろいろな次数の積が作れる。

環になる

すべての次数を集めると

$$H^{\ast }(X;R)=\underset{n\ge 0}{⨁}{H}^n(X;R)$$

が次数付き環になります^[5]。単位元は $H^0$ の $1$。

結合的で、分配法則が成り立ちます。余鎖のレベルで結合的なので、そのまま降りる。

次数付き可換

余鎖のレベルでは可換になりません。コホモロジーへ落ちたところで

$$\alpha ⌣\beta =(-1{)}^{pq}\beta ⌣\alpha$$

が成り立ちます^[1]。奇数次どうしだけが反可換。

奇数次の元は 2 乗すると ${\alpha }^2=-{\alpha }^2$ となり、$2{\alpha }^2=0$。係数が $\mathbb{Z}/2$ でなければ ${\alpha }^2=0$ に近いことが言えます。

自然性

連続写像 $f$ に対して $f^{\ast }(\alpha ⌣\beta )=f^{\ast }\alpha ⌣f^{\ast }\beta$ が成り立ちます^[1]。

したがって $f^{\ast }$ は環準同型です。空間の写像が、環の写像へそのまま翻訳される。

環として同型でない空間のあいだには、良い写像が作れないと分かります。障害を出す使い方。

例：球面のコホモロジー環

$S^n$ では $H^0=\mathbb{Z}$、$H^n=\mathbb{Z}$、ほかは $0$ です。

生成元 $x\in H^n$ について $x⌣x\in H^{2n}=0$ なので $x^2=0$。

環としては $\mathbb{Z}[x]/(x^2)$ です。積の情報がほとんどありません。

例：トーラスのコホモロジー環

$T^2$ では $H^0=\mathbb{Z}$、$H^1={\mathbb{Z}}^2$、$H^2=\mathbb{Z}$ です。

$1$ 次の生成元を $a$、$b$ とすると、$a⌣b$ が $H^2$ の生成元になります。$a^2=b^2=0$、$ab=-ba$。

外積代数 $\Lambda (a,b)$ と同型です^[5]。微分形式の $dx$、$dy$ に対応する構造。

例：$S^1\vee S^1\vee S^2$ と比べる

くさび和 $S^1\vee S^1\vee S^2$ のコホモロジー群は、$T^2$ とまったく同じです。$\mathbb{Z}$、${\mathbb{Z}}^2$、$\mathbb{Z}$。

環としては違います。くさび和では $a⌣b=0$ になる。異なる成分から来た類の積が消えるため。

群では区別できず、環では区別できる。カップ積が持ち込んだ情報がここに出ています^[1]。

例：複素射影空間

${\mathbb{CP}}^n$ の環は、次数 $2$ の生成元 $t$ による切断多項式環です^[4]。

$$H^{\ast }({\mathbb{CP}}^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[t]/(t^{n+1})$$

$t^k$ が $H^{2k}$ の生成元になります。$t^{n+1}=0$ で止まる。

奇数次はすべて $0$ です。$2k$ 次元の胞体が 1 つずつ並ぶ CW 構造から出る。

例：実射影空間

$\mathbb{Z}/2$ 係数では、次数 $1$ の生成元による切断多項式環になります^[3]。

$$H^{\ast }({\mathbb{RP}}^n;\mathbb{Z}/2)\cong \mathbb{Z}/2[w]/(w^{n+1})$$

各次元に胞体が 1 つずつあるので、各次数に $\mathbb{Z}/2$ が 1 つ。

$\mathbb{Z}$ 係数では捩れが入り、形がずっと複雑になります。$\mathbb{Z}/2$ 係数で見るときれいになる典型例。

左では $t$ ひとつから全部が出ます。右では $u$ と $v$ の 2 つが要る。

群の並びは同じでも、生成のされ方が違います。環として見て初めて差が出る。

例：$S^2\times S^4$ と ${\mathbb{CP}}^3$

どちらもコホモロジー群は $0,2,4,6$ 次に $\mathbb{Z}$ が 1 つずつです。群としては同型。

${\mathbb{CP}}^3$ では $t^2\ne 0$、$t^3\ne 0$ です。$2$ 次の生成元を 3 乗まで持ち上げられる。

$S^2\times S^4$ では $2$ 次の生成元 $u$ について $u^2=0$。$S^2$ の生成元の 2 乗が $H^4(S^2)=0$ に落ちるため。

したがって環としては同型でなく、2 つは異なる空間です。

交わりの有無を絵で見る

トーラスとくさび和で、生成元にあたる円がどう置かれているかを比べます。

左では 2 本の円が横切り合います。右では基点で触れているだけで、横切っていない。

この差が $a⌣b$ の値に出ます。交わる相手がなければ積が消える。

例：交叉数として読む

閉じた向き付け可能多様体では、双対な部分多様体の交叉数がカップ積の値になります。

トーラスの $a$ と $b$ は交叉数 $1$ です。だから $a⌣b$ が $H^2$ の生成元。

向きを入れ替えると符号が変わります。$b⌣a=-a⌣b$ が、交叉の向きの反転に対応する^[1]。

積空間の環

キュネットの定理から、体係数では積のコホモロジーがテンソル積になります^[6]。

$$H^{\ast }(X\times Y;F)\cong H^{\ast }(X;F)\otimes H^{\ast }(Y;F)$$

環としてもテンソル積の環構造が入ります。$T^2=S^1\times S^1$ の外積代数は、この形の帰結。

整数係数では $\mathrm{Tor}$ の項が付きます。捩れがあるとずれる^[6]。

キャップ積

コホモロジーとホモロジーのあいだにも積が定まります。

$$⌢:H_p(X;R)\times H^q(X;R)\to H_{p-q}(X;R)$$

$\sigma ⌢\psi =\psi \left(\sigma {|}_{[v_0,\dots ,v_q]}\right)\sigma {|}_{[v_q,\dots ,v_p]}$ と定めます^[2]。前半を評価して、後半を残す。

カップ積とは $\psi (\sigma ⌢\phi )=(\phi ⌣\psi )(\sigma )$ で結ばれます。ホモロジーがコホモロジー環上の加群になる。

ポアンカレ双対性との関係

$M$ を閉じた向き付け可能 $n$ 多様体とし、基本類 $[M]\in H_n(M)$ をとります。

$$H^k(M;R)\to H_{n-k}(M;R),\alpha \mapsto [M]⌢\alpha$$

が同型になります^[2]。これがポアンカレ双対性。

キャップ積が、この同型を具体的に書き下す道具になっています。

交叉形式

$4n$ 次元の閉多様体で、中央次元のカップ積を考えます。

$$H^{2n}(M)\times H^{2n}(M)\to H^{4n}(M)\cong \mathbb{Z}$$

が対称双線型形式を定めます^[5]。交叉形式。

$4$ 次元では、単連結な微分可能多様体がこの形式でほぼ分類されます。カップ積が分類の道具そのものになる場面。

幾何的な読み方

双対性を通すと、カップ積は部分多様体の交わりに対応します。

$\alpha$、$\beta$ の双対が部分多様体 $A$、$B$ なら、$\alpha ⌣\beta$ の双対が $A\cap B$。次数が足されることと、余次元が足されることが対応します^[1]。

トーラスで $a⌣b\ne 0$ なのは、2 本の生成する円が 1 点で交わるためです。くさび和では交わる相手がない。

よくある誤り

参考文献