カップ積とコホモロジー環 - 群では見えない差を「積」が拾う

コホモロジー群だけを並べても、区別できない空間の組があります。次数ごとの群がすべて一致してしまう。

積を入れると区別が付きます。カップ積が与えるこの積構造が、コホモロジーをホモロジーより強い道具にしている^[1]。

以下では余鎖のレベルでの定義から始め、環としての性質を確かめ、射影空間やトーラスの環を計算し、キャップ積とポアンカレ双対性までつなぎます。

余鎖のレベルでの定義

$p$ 余鎖 $α$ と $q$ 余鎖 $β$ から、 $p + q$ 余鎖を作ります。 $(p + q)$ 単体 $σ$ の頂点を順に $v_{0}, \dots, v_{p + q}$ とし

$(α ⌣ β) (σ) = α (σ ∣_{[v_{0}, \dots, v_{p}]}) \cdot β (σ ∣_{[v_{p}, \dots, v_{p + q}]})$

と定めます^[1]。前の面を $α$ に、後ろの面を $β$ に渡して掛ける。

$v_{p}$ が両方に入っているところが要点です。前半と後半が 1 点で継がれている。

余境界との関係

積の余境界は、ライプニッツ則の形になります。

$δ (α ⌣ β) = δ α ⌣ β + (- 1)^{p} α ⌣ δ β$

が成り立ちます^[1]。符号は前に来る余鎖の次数で決まる。

この式から、余輪体どうしの積は余輪体、片方が余境界なら積も余境界と分かります。だからコホモロジーに積が降りる。

前半と後半に切る

切る位置が次数で決まる様子を描きます。

黒い頂点が継ぎ目です。前半と後半が 1 点だけを共有する。

次数の組が変わると切る場所も動きます。同じ単体から、いろいろな次数の積が作れる。

環になる

すべての次数を集めると

$H^{*} (X; R) = n \geq 0 ⨁ H^{n} (X; R)$

が次数付き環になります^[5]。単位元は $H^{0}$ の $1$ 。

結合的で、分配法則が成り立ちます。余鎖のレベルで結合的なので、そのまま降りる。

次数付き可換

余鎖のレベルでは可換になりません。コホモロジーへ落ちたところで

$α ⌣ β = (- 1)^{pq} β ⌣ α$

が成り立ちます^[1]。奇数次どうしだけが反可換。

奇数次の元は 2 乗すると $α^{2} = - α^{2}$ となり、 $2 α^{2} = 0$ 。係数が $Z /2$ でなければ $α^{2} = 0$ に近いことが言えます。

自然性

連続写像 $f$ に対して $f^{*} (α ⌣ β) = f^{*} α ⌣ f^{*} β$ が成り立ちます^[1]。

したがって $f^{*}$ は環準同型です。空間の写像が、環の写像へそのまま翻訳される。

環として同型でない空間のあいだには、良い写像が作れないと分かります。障害を出す使い方。

例：球面のコホモロジー環

$S^{n}$ では $H^{0} = Z$ 、 $H^{n} = Z$ 、ほかは $0$ です。

生成元 $x \in H^{n}$ について $x ⌣ x \in H^{2 n} = 0$ なので $x^{2} = 0$ 。

環としては $Z [x] / (x^{2})$ です。積の情報がほとんどありません。

例：トーラスのコホモロジー環

$T^{2}$ では $H^{0} = Z$ 、 $H^{1} = Z^{2}$ 、 $H^{2} = Z$ です。

$1$ 次の生成元を $a$ 、 $b$ とすると、 $a ⌣ b$ が $H^{2}$ の生成元になります。 $a^{2} = b^{2} = 0$ 、 $ab = - ba$ 。

外積代数 $Λ (a, b)$ と同型です^[5]。微分形式の $d x$ 、 $d y$ に対応する構造。

例： $S^{1} \lor S^{1} \lor S^{2}$ と比べる

くさび和 $S^{1} \lor S^{1} \lor S^{2}$ のコホモロジー群は、 $T^{2}$ とまったく同じです。 $Z$ 、 $Z^{2}$ 、 $Z$ 。

環としては違います。くさび和では $a ⌣ b = 0$ になる。異なる成分から来た類の積が消えるため。

群では区別できず、環では区別できる。カップ積が持ち込んだ情報がここに出ています^[1]。

コホモロジー群だけ

$T^{2}$ と $S^{1} \lor S^{1} \lor S^{2}$ が同じに見えます。次数ごとの群がそろっている。

環として見る

$T^{2}$ では $ab \neq = 0$ 、くさび和では $ab = 0$ 。積が違うので別の空間だと分かります。

例：複素射影空間

$CP^{n}$ の環は、次数 $2$ の生成元 $t$ による切断多項式環です^[4]。

$H^{*} (CP^{n}; Z) ≅ Z [t] / (t^{n + 1})$

$t^{k}$ が $H^{2 k}$ の生成元になります。 $t^{n + 1} = 0$ で止まる。

奇数次はすべて $0$ です。 $2 k$ 次元の胞体が 1 つずつ並ぶ CW 構造から出る。

例：実射影空間

$Z /2$ 係数では、次数 $1$ の生成元による切断多項式環になります^[3]。

$H^{*} (RP^{n}; Z /2) ≅ Z /2 [w] / (w^{n + 1})$

各次元に胞体が 1 つずつあるので、各次数に $Z /2$ が 1 つ。

$Z$ 係数では捩れが入り、形がずっと複雑になります。 $Z /2$ 係数で見るときれいになる典型例。

空間	環の形	生成元の次数
S^n	Z[x]/(x^2)	n
CP^n	Z[t]/(t^{n+1})	2
RP^n	Z/2[w]/(w^{n+1})	1

左では $t$ ひとつから全部が出ます。右では $u$ と $v$ の 2 つが要る。

群の並びは同じでも、生成のされ方が違います。環として見て初めて差が出る。

例： $S^{2} \times S^{4}$ と $CP^{3}$

どちらもコホモロジー群は $0, 2, 4, 6$ 次に $Z$ が 1 つずつです。群としては同型。

$CP^{3}$ では $t^{2} \neq = 0$ 、 $t^{3} \neq = 0$ です。 $2$ 次の生成元を 3 乗まで持ち上げられる。

$S^{2} \times S^{4}$ では $2$ 次の生成元 $u$ について $u^{2} = 0$ 。 $S^{2}$ の生成元の 2 乗が $H^{4} (S^{2}) = 0$ に落ちるため。

したがって環としては同型でなく、2 つは異なる空間です。

交わりの有無を絵で見る

トーラスとくさび和で、生成元にあたる円がどう置かれているかを比べます。

左では 2 本の円が横切り合います。右では基点で触れているだけで、横切っていない。

この差が $a ⌣ b$ の値に出ます。交わる相手がなければ積が消える。

例：交叉数として読む

閉じた向き付け可能多様体では、双対な部分多様体の交叉数がカップ積の値になります。

トーラスの $a$ と $b$ は交叉数 $1$ です。だから $a ⌣ b$ が $H^{2}$ の生成元。

向きを入れ替えると符号が変わります。 $b ⌣ a = - a ⌣ b$ が、交叉の向きの反転に対応する^[1]。

積空間の環

キュネットの定理から、体係数では積のコホモロジーがテンソル積になります^[6]。

$H^{*} (X \times Y; F) ≅ H^{*} (X; F) \otimes H^{*} (Y; F)$

環としてもテンソル積の環構造が入ります。 $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$ の外積代数は、この形の帰結。

整数係数では $Tor$ の項が付きます。捩れがあるとずれる^[6]。

$H^{*} (X)$ の $1$ 次の元 $a$ について、整数係数のとき $a ⌣ a$ はどうなるか。

つねに $a$ に等しい
$2 a^{2} = 0$ となり、捩れがなければ $0$
つねに $H^{2}$ の生成元になる
定義できない

__RESULT__

次数付き可換性から $a^{2} = (- 1)^{1 \cdot 1} a^{2} = - a^{2}$ です。したがって $2 a^{2} = 0$ で、 $H^{2}$ が捩れを持たなければ $a^{2} = 0$ 。

キャップ積

コホモロジーとホモロジーのあいだにも積が定まります。

$⌢ : H_{p} (X; R) \times H^{q} (X; R) \to H_{p - q} (X; R)$

$σ ⌢ ψ = ψ (σ ∣_{[v_{0}, \dots, v_{q}]}) σ ∣_{[v_{q}, \dots, v_{p}]}$ と定めます^[2]。前半を評価して、後半を残す。

カップ積とは $ψ (σ ⌢ φ) = (φ ⌣ ψ) (σ)$ で結ばれます。ホモロジーがコホモロジー環上の加群になる。

ポアンカレ双対性との関係

$M$ を閉じた向き付け可能 $n$ 多様体とし、基本類 $[M] \in H_{n} (M)$ をとります。

$H^{k} (M; R) \to H_{n - k} (M; R), α \mapsto [M] ⌢ α$

が同型になります^[2]。これがポアンカレ双対性。

キャップ積が、この同型を具体的に書き下す道具になっています。

交叉形式

$4 n$ 次元の閉多様体で、中央次元のカップ積を考えます。

$H^{2 n} (M) \times H^{2 n} (M) \to H^{4 n} (M) ≅ Z$

が対称双線型形式を定めます^[5]。交叉形式。

$4$ 次元では、単連結な微分可能多様体がこの形式でほぼ分類されます。カップ積が分類の道具そのものになる場面。

幾何的な読み方

双対性を通すと、カップ積は部分多様体の交わりに対応します。

$α$ 、 $β$ の双対が部分多様体 $A$ 、 $B$ なら、 $α ⌣ β$ の双対が $A \cap B$ 。次数が足されることと、余次元が足されることが対応します^[1]。

トーラスで $a ⌣ b \neq = 0$ なのは、2 本の生成する円が 1 点で交わるためです。くさび和では交わる相手がない。

よくある誤り

余鎖のレベルで可換だと思う。可換になるのはコホモロジーへ落ちてからです

符号を落として

α ⌣ β = β ⌣ α

と書く。

(- 1)^{pq}

が付きます

群が同型なら環も同型だと思う。

T^{2}

とくさび和が反例です

RP^{n}

の環を

Z

係数で覚える。きれいになるのは

Z /2

係数です

キャップ積の次数を足し算だと思う。

p - q

に下がります

f^{*}

が環準同型でないと思う。自然性から準同型になります

キュネットの定理を整数係数でそのまま使う。

Tor

の項が付きます

参考文献

Cup product

Cap product

Real projective space

Complex projective space

Cup-Produkt

Künneth theorem

トーラスと $S^1 \vee S^1 \vee S^2$ は、コホモロジー群が次数ごとに完全に一致します。それでも別の空間だと分かるのはカップ積があるため。単体の前半と後半に切って評価する、という定義から次数付き可換性が出て、すべての次数を集めた環ができます。$\mathbb{CP}^n$ は次数 $2$ の生成元 1 つの切断多項式環、$\mathbb{RP}^n$ は $\mathbb{Z}/2$ 係数で次数 $1$ の 1 つ。双対を通せば、積は部分多様体の交わりに対応します。