カップ積とコホモロジー環

カップ積はコホモロジーに環構造を与える積演算です。コホモロジー環は位相空間の重要な不変量であり、ホモロジーにはない情報を持ちます。

カップ積の定義

$α \in H^{p} (X; R)$ , $β \in H^{q} (X; R)$ に対して、カップ積 $α ⌣ β \in H^{p + q} (X; R)$ が定義されます。

コチェインレベルでは、 $φ \in S^{p} (X; R)$ , $ψ \in S^{q} (X; R)$ に対して

$(φ ⌣ ψ) (σ) = φ (σ ∣_{[v_{0}, \dots, v_{p}]}) \cdot ψ (σ ∣_{[v_{p}, \dots, v_{p + q}]})$

です。 $(p + q)$ -単体を前半と後半に分けて評価します。

カップ積は次の性質を満たします。

結合律：

(α ⌣ β) ⌣ γ = α ⌣ (β ⌣ γ)

単位元：

H^{0} (X; R)

の元

1

が単位元となる

次数付き可換：

α ⌣ β = (- 1)^{pq} β ⌣ α

3番目の性質から、 $p, q$ がともに奇数のとき $α ⌣ β = - β ⌣ α$ となります。

$H^{*} (X; R) = ⨁_{n \geq 0} H^{n} (X; R)$ にカップ積を入れた環をコホモロジー環といいます。

次数付き可換環であり、体係数では次数付き可換代数となります。

$H^{*} (S^{n}; Z) ≅ Z [x] / (x^{2})$ （ $de g x = n$ ）です。

$α \in H^{n} (S^{n})$ の生成元に対して $α ⌣ α = 0$ （ $2 n > n$ なので $H^{2 n} (S^{n}) = 0$ ）です。

$H^{*} (T^{2}; Z) ≅ Λ_{Z} [a, b]$ （外積代数）、 $de g a = de g b = 1$ です。

$a ⌣ b = - b ⌣ a$ , $a ⌣ a = b ⌣ b = 0$ であり、 $H^{2}$ は $a ⌣ b$ で生成されます。

一般に $H^{*} (T^{n}; Z) ≅ Λ_{Z} [x_{1}, \dots, x_{n}]$ です。

実射影空間： $H^{*} (RP^{n}; Z /2 Z) ≅ Z /2 Z [x] / (x^{n + 1})$ 、 $de g x = 1$ 。

複素射影空間： $H^{*} (CP^{n}; Z) ≅ Z [y] / (y^{n + 1})$ 、 $de g y = 2$ 。

これらは切断多項式環と呼ばれます。

カップ積はホモロジーにない情報を持ちます。

$S^{2} \lor S^{4}$ と $CP^{2}$ は同じホモロジー群を持ちますが、コホモロジー環が異なります。 $CP^{2}$ では $x^{2} \neq = 0$ （ $x \in H^{2}$ ）ですが、 $S^{2} \lor S^{4}$ では対応する積が $0$ です。

カップ積の双対としてキャップ積 $⌢$ があります。 $α \in H^{p} (X)$ , $σ \in H_{n} (X)$ に対して $α ⌢ σ \in H_{n - p} (X)$ です。

キャップ積はPoincaré双対性の定式化に使われます。

$f : X \to Y$ に対して、 $f^{*} (α ⌣ β) = f^{*} α ⌣ f^{*} β$ が成り立ちます。環準同型として引き戻しが定まります。

ホモロジー

加法的構造のみ。直和 $H_{*} (X)$ は次数付きアーベル群。

コホモロジー

カップ積により環構造。 $H^{*} (X)$ は次数付き可換環。空間の区別に有効。