de Rhamコホモロジーは微分形式を用いて定義されるコホモロジー理論です。滑らかな多様体に対して、微積分の道具でコホモロジーを計算できます。
微分形式の復習
滑らかな多様体 上の -形式は、各点で 個の接ベクトルを取って実数を返す交代多重線形写像です。 で -形式全体を表します。
外微分 は を満たす微分作用素です。
de Rhamコホモロジーの定義
次 de Rham コホモロジー群は
で定義されます。閉形式（）のうち、完全形式（）でないものがコホモロジー類を与えます。
de Rhamの定理
滑らかな多様体 に対して、
が成り立ちます。微分形式によるコホモロジーと特異コホモロジーが一致します。
同型は積分で与えられます。-形式 と -サイクル に対して を対応させます。
のde Rhamコホモロジー
は可縮なので、, （）です。
これはPoincaréの補題として知られます。 上の閉形式は完全形式です。
のde Rhamコホモロジー
（定数関数）、 です。
の生成元は （角度の微分）のコホモロジー類です。 は閉形式ですが、 上で大域的に定義された関数の微分としては書けません。
なので、 は完全形式ではありません。
のde Rhamコホモロジー
（）、（それ以外）です。
の生成元は体積形式（球面上の面積要素）のコホモロジー類です。
トーラスのde Rhamコホモロジー
に対して、, , です。
の生成元は と （2つの角度変数の微分）で、 の生成元は です。
Künnethの公式
積多様体に対して、
が成り立ちます。
Mayer-Vietoris列
に対して、de Rhamコホモロジーの Mayer-Vietoris 完全列
が存在します。
ホッジ理論との関係
コンパクトリーマン多様体ではホッジ理論により、各コホモロジー類に一意の調和形式が対応します。これにより de Rham コホモロジーは解析的に扱えます。
特異コホモロジー
任意の位相空間に定義可能。組み合わせ的。
de Rhamコホモロジー
滑らかな多様体のみ。微積分で計算可能。物理学（電磁気学、ゲージ理論）と直結。
