de Rhamコホモロジー

de Rhamコホモロジーは微分形式を用いて定義されるコホモロジー理論です。滑らかな多様体に対して、微積分の道具でコホモロジーを計算できます。

微分形式の復習

滑らかな多様体 $M$ 上の $k$-形式は、各点で $k$ 個の接ベクトルを取って実数を返す交代多重線形写像です。${\Omega }^k(M)$ で $k$-形式全体を表します。

外微分 $d:{\Omega }^k(M)\to {\Omega }^{k+1}(M)$ は $d\circ d=0$ を満たす微分作用素です。

de Rhamコホモロジーの定義

$k$ 次 de Rham コホモロジー群は

$$H_{\mathrm{dR}}^k(M)=\ker (d:{\Omega }^k\to {\Omega }^{k+1})/\mathrm{im}(d:{\Omega }^{k-1}\to {\Omega }^k)$$

で定義されます。閉形式（$d\omega =0$）のうち、完全形式（$\omega =d\eta$）でないものがコホモロジー類を与えます。

de Rhamの定理

滑らかな多様体 $M$ に対して、

$$H_{\mathrm{dR}}^k(M)\cong H^k(M;\mathbb{R})$$

が成り立ちます。微分形式によるコホモロジーと特異コホモロジーが一致します。

同型は積分で与えられます。$k$-形式 $\omega$ と $k$-サイクル $\sigma$ に対して ${\int }_{\sigma }\omega$ を対応させます。

${\mathbb{R}}^n$ のde Rhamコホモロジー

${\mathbb{R}}^n$ は可縮なので、$H_{\mathrm{dR}}^0({\mathbb{R}}^n)\cong \mathbb{R}$, $H_{\mathrm{dR}}^k({\mathbb{R}}^n)=0$（$k\ge 1$）です。

これはPoincaréの補題として知られます。${\mathbb{R}}^n$ 上の閉形式は完全形式です。

$S^1$ のde Rhamコホモロジー

$H_{\mathrm{dR}}^0(S^1)\cong \mathbb{R}$（定数関数）、$H_{\mathrm{dR}}^1(S^1)\cong \mathbb{R}$ です。

$H^1$ の生成元は $d\theta$（角度の微分）のコホモロジー類です。$d\theta$ は閉形式ですが、$S^1$ 上で大域的に定義された関数の微分としては書けません。

${\oint }_{S^1}d\theta =2\pi \ne 0$ なので、$d\theta$ は完全形式ではありません。

$S^n$ のde Rhamコホモロジー

$H_{\mathrm{dR}}^k(S^n)\cong \mathbb{R}$（$k=0,n$）、$0$（それ以外）です。

$H^n$ の生成元は体積形式（球面上の面積要素）のコホモロジー類です。

トーラスのde Rhamコホモロジー

$T^2=S^1\times S^1$ に対して、$H^0\cong \mathbb{R}$, $H^1\cong {\mathbb{R}}^2$, $H^2\cong \mathbb{R}$ です。

$H^1$ の生成元は $d{\theta }_1$ と $d{\theta }_2$（2つの角度変数の微分）で、$H^2$ の生成元は $d{\theta }_1\wedge d{\theta }_2$ です。

Künnethの公式

積多様体に対して、

$$H_{\mathrm{dR}}^n(M\times N)\cong \underset{p+q=n}{⨁}{H}_{\mathrm{dR}}^p(M)\otimes H_{\mathrm{dR}}^q(N)$$

が成り立ちます。

Mayer-Vietoris列

$M=U\cup V$ に対して、de Rhamコホモロジーの Mayer-Vietoris 完全列

$$\cdots \to H_{\mathrm{dR}}^k(M)\to H_{\mathrm{dR}}^k(U)\oplus H_{\mathrm{dR}}^k(V)\to H_{\mathrm{dR}}^k(U\cap V)\to H_{\mathrm{dR}}^{k+1}(M)\to \cdots$$

が存在します。

ホッジ理論との関係

コンパクトリーマン多様体ではホッジ理論により、各コホモロジー類に一意の調和形式が対応します。これにより de Rham コホモロジーは解析的に扱えます。