Mayer-Vietoris完全列

Mayer-Vietoris完全列は、空間を2つの部分空間に分解してホモロジーを計算するための強力な道具です。van Kampenの定理のホモロジー版といえます。

定理の主張

$X = U \cup V$ とし、 $U, V$ が $X$ の開集合（または $U, V, U \cap V$ がすべて変形レトラクトを持つ）とします。このとき長完全列

$\dots \to H_{n} (U \cap V) ϕ_{n} H_{n} (U) \oplus H_{n} (V) ψ_{n} H_{n} (X) \partial_{n} H_{n - 1} (U \cap V) \to \dots$

が存在します。

$ϕ_{n} : H_{n} (U \cap V) \to H_{n} (U) \oplus H_{n} (V)$ は $ϕ_{n} (α) = (i_{*} α, - j_{*} α)$ です。 $i : U \cap V ↪ U$ , $j : U \cap V ↪ V$ は包含写像。

$ψ_{n} : H_{n} (U) \oplus H_{n} (V) \to H_{n} (X)$ は $ψ_{n} (α, β) = k_{*} α + l_{*} β$ です。 $k : U ↪ X$ , $l : V ↪ X$ は包含写像。

完全列から、隣り合う3項の関係が得られます。

ker ϕ_{n} = 0

ならば

ϕ_{n}

は単射

im ϕ_{n} = ker ψ_{n}

より、

ψ_{n} (α, β) = 0 \Leftrightarrow (α, β) \in im ϕ_{n}

im ψ_{n} = ker \partial_{n}

より、境界写像の核が

H_{n} (X)

の像

$S^{n}$ を上半球 $U = S^{n} ∖ {S}$ （南極を除く）と下半球 $V = S^{n} ∖ {N}$ （北極を除く）に分けます。

$U ≃ D^{n} ≃ {*}$ , $V ≃ D^{n} ≃ {*}$ , $U \cap V ≃ S^{n - 1}$ です。

Mayer-Vietoris列の一部は

$H_{n} (U) \oplus H_{n} (V) \to H_{n} (S^{n}) \to H_{n - 1} (U \cap V) \to H_{n - 1} (U) \oplus H_{n - 1} (V)$

$H_{k} (U) = H_{k} (V) = 0$ （ $k \geq 1$ ）なので、 $H_{n} (S^{n}) ≅ H_{n - 1} (S^{n - 1})$ が得られます。

帰納法により $H_{n} (S^{n}) ≅ H_{0} (S^{0}) ≅ Z$ となります。

$T^{2}$ を円環 $U$ （縦に切った帯）と円環 $V$ （横に切った帯）で覆います。 $U ≃ V ≃ S^{1}$ , $U \cap V ≃ S^{1} ⊔ S^{1}$ です。

$H_{1}$ の部分の完全列

$H_{1} (U \cap V) \to H_{1} (U) \oplus H_{1} (V) \to H_{1} (T^{2}) \to H_{0} (U \cap V)$

を解析すると $H_{1} (T^{2}) ≅ Z^{2}$ が得られます。

被約ホモロジー $\tilde{H}_{n}$ を用いると、 $H_{0}$ の扱いが簡潔になります。

$\dots \to \tilde{H}_{n} (U \cap V) \to \tilde{H}_{n} (U) \oplus \tilde{H}_{n} (V) \to \tilde{H}_{n} (X) \to \tilde{H}_{n - 1} (U \cap V) \to \dots$

連結成分の数を気にせず計算できます。

懸垂 $SX$ は $X$ の次元を1つ上げる操作です。Mayer-Vietoris列から

$\tilde{H}_{n} (SX) ≅ \tilde{H}_{n - 1} (X)$

が示せます。 $S S^{n - 1} ≅ S^{n}$ なので、 $\tilde{H}_{n} (S^{n}) ≅ \tilde{H}_{n - 1} (S^{n - 1}) ≅ \dots ≅ \tilde{H}_{0} (S^{0}) ≅ Z$ です。

$X \lor Y$ に対して、 $U = X \cup (近傍)$ , $V = Y \cup (近傍)$ , $U \cap V ≃ {*}$ として Mayer-Vietoris を適用すると

$\tilde{H}_{n} (X \lor Y) ≅ \tilde{H}_{n} (X) \oplus \tilde{H}_{n} (Y)$

が得られます。

相対ホモロジーに対しても Mayer-Vietoris 列が存在し、より複雑な空間の計算に利用できます。

Mayer-Vietoris

空間を2つの開集合で覆う。ホモロジー計算の基本ツール。帰納的計算に有効。

相対ホモロジーの長完全列

部分空間 $A \subseteq X$ を考える。対 $(X, A)$ のホモロジーと $A$ , $X$ のホモロジーを結ぶ。