基本群の計算：円周からトーラス、射影空間まで持ち上げと貼り合わせで決める

円周の上のループは、何回巻いたかという整数 1 つで決まります。トーラスなら整数が 2 つ、8 の字なら 2 つの文字を並べた語になる。

空間ごとに、その整数や語がなす群が基本群です^[3]。

基本群をどう決めるか

位相空間 $X$ の基点 $x_0$ における基本群 ${\pi }_1(X,x_0)$ は、$x_0$ を始点と終点に持つループのホモトピー類全体です。積はループの結合で入れる^[3]。

$X$ が弧状連結なら、基点のとり方によらず基本群は同型になります。このとき単に ${\pi }_1(X)$ と書く。

計算の道具は 3 つです。被覆空間からの持ち上げ、積空間への分解、そして貼り合わせを扱う van Kampen の定理。

道を持ち上げる

$p:\tilde{X}\to X$ を被覆とします。$X$ の各点が、$p$ で貼り合わさりなく写る開集合の和に持ち上がる近傍を持つ、という状況です^[1]。

必要になる性質は 2 つ^[1][2]。

どちらも、$X$ を貼り合わさりなく写る開集合で覆い、区間をこまかく分けて 1 枚ずつ持ち上げていくことで示せる^[1]。区間がコンパクトなので有限回で終わる。

この 2 つがあれば、円周の基本群が決まる。

円周の基本群

$p:\mathbb{R}\to S^1$、$p(s)=(\cos 2\pi s,\sin 2\pi s)$ をとる。これは被覆で、$p^{-1}(1,0)=\mathbb{Z}$ です^[1]。

基点 $(1,0)$ のループ $f$ に、$0$ から始まる持ち上げ $\tilde{f}$ をとります。$p\tilde{f}(1)=f(1)=(1,0)$ だから、終点 $\tilde{f}(1)$ は整数 $n$ になる。

$${\omega }_n(s)=(\cos 2\pi ns,\sin 2\pi ns)$$

この ${\omega }_n$ の持ち上げは ${\tilde{\omega }}_n(s)=ns$ です。$\tilde{f}$ と ${\tilde{\omega }}_n$ はどちらも $0$ から $n$ への $\mathbb{R}$ の道であり、$(1-t)\tilde{f}+t{\tilde{\omega }}_n$ でまっすぐ結べます^[1]。

$p$ を合成すると $f\simeq {\omega }_n$ が示せる。よって $[f]=[{\omega }_n]$ で、$\omega$ の類が全体を生成します。

$n$ が $[f]$ から一意に決まることも見ましょう。${\omega }_m\simeq {\omega }_n$ とし、そのホモトピーを $f_t$ とします。

$f_t$ を $0$ を始点として持ち上げると ${\tilde{f}}_t$ が得られ、持ち上げの一意性から ${\tilde{f}}_0={\tilde{\omega }}_m$、${\tilde{f}}_1={\tilde{\omega }}_n$ です。道のホモトピーだから終点 ${\tilde{f}}_t(1)$ は $t$ によらず、$m=n$ になる^[1]。

$${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$$

全射性が前半、単射性が後半にあたる。巻き数だけがループのホモトピー不変量である、という主張です^[1]。

積の基本群とトーラス

積空間は分解できる。証明は積位相の定義から直に導けます^[1]。

$Z\to X\times Y$ が連続であることと、2 つの成分 $Z\to X$、$Z\to Y$ がどちらも連続であることは同値になる。だから $X\times Y$ のループは、$X$ のループと $Y$ のループの組と同じもの。

ホモトピーについても同じことが言えます。$X\times Y$ のホモトピーは、成分ごとのホモトピーの組にほかなりません。

$${\pi }_1(X\times Y)\cong {\pi }_1(X)\times {\pi }_1(Y)$$

この対応が群の準同型であることは、結合を成分ごとに見れば分かる^[1]。

トーラスに当てます。$T^2=S^1\times S^1$ より、次のようになります^[2]。

$${\pi }_1(T^2)\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}^2$$

生成元は 2 本のループです。$\alpha$ は第 1 成分の $S^1$ を一周して第 2 成分は動かさず、$\beta$ は逆をやる。

${\mathbb{Z}}^2$ は可換だから $\alpha \beta =\beta \alpha$ で、一般のループは ${\alpha }^m{\beta }^n$ の形に書けます。

同じ議論を繰り返すと $n$ 次元トーラスも決まる。

$${\pi }_1(T^n)\cong {\mathbb{Z}}^n$$

楔和と自由群

次は 8 の字型の空間 $S^1\vee S^1$。積ではないため、別の道具が必要です。

van Kampen の定理を使います。楔和では、各 $S^1$ をわずかに太らせた開集合 $A_1$、$A_2$ をとると、$A_i$ はそれぞれ $S^1$ に変形レトラクトし、$A_1\cap A_2$ は 1 点に縮む^[1]。

交わりが単連結なため、定理は自由積を与える^[1]。

$${\pi }_1(S^1\vee S^1)\cong \mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}\cong F_2=⟨a,b⟩$$

関係式が 1 つも入らないところが要点です。$A_1\cap A_2$ の基本群が自明なため、貼り合わせで課される関係が空になる。

だから $ab\ne ba$ です。8 の字の 2 つのループを違う順でたどると、ホモトピー類が変わる。

円周を $k$ 個つないだ楔和なら、$k$ 元生成の自由群 $F_k$ になります^[1]。

実射影空間

${\mathbb{RP}}^n=S^n/(x\sim -x)$ とし、商写像 $p:S^n\to {\mathbb{RP}}^n$ を見ます。これは 2 重被覆です^[2]。

$n\ge 2$ なら $S^n$ は単連結だから、$p$ は普遍被覆になる。普遍被覆では、基本群がデッキ変換群と同型です^[2]。

デッキ変換は $p$ と両立する $S^n$ の同相写像で、ここでは恒等写像と $x\mapsto -x$ の 2 つだけ。よって位数 2 の巡回群になります。

$${\pi }_1({\mathbb{RP}}^n)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}(n\ge 2)$$

$n=1$ は別で、${\mathbb{RP}}^1\cong S^1$ なので ${\pi }_1({\mathbb{RP}}^1)\cong \mathbb{Z}$ になります。

自明でないループも書ける。$S^n$ の北極から南極への半大円をとり、$p$ で落とすと、両端が同一視されて閉じたループになる。

このループは自明ではありません。持ち上げが閉じないためです。ところが 2 回たどると $S^n$ の中で閉じたループに持ち上がり、$S^n$ が単連結なため縮められる。

球面が単連結であること

$n\ge 2$ で ${\pi }_1(S^n)=0$ になります^[1]。ループを直接縮めるのではなく、覆いに分けて示すのが早い。

$S^n$ を 2 つの開集合の和に書きます。対蹠点を 1 つずつ抜いた $A_1$、$A_2$ をとると、どちらも ${\mathbb{R}}^n$ と同相です^[1]。

交わり $A_1\cap A_2$ は $S^{n-1}\times \mathbb{R}$ と同相で、$n\ge 2$ なら弧状連結になる。

ここで次の補題が効きます。$X$ が弧状連結な開集合 $A_{\alpha }$ の和で、どの $A_{\alpha }$ も基点を含み、交わりも弧状連結なら、基点でのループはどれも「各 $A_{\alpha }$ に収まるループの積」にホモトピックです^[1]。

証明は区間を細かく分けることでできる。ループの各点に、行き先が 1 つの $A_{\alpha }$ に収まる近傍をとり、区間のコンパクト性から有限個で覆う。分点を基点まで戻す道を挟むと、$A_{\alpha }$ ごとのループの積になります^[1]。

いまの場合、${\pi }_1(A_1)$ も ${\pi }_1(A_2)$ も ${\mathbb{R}}^n$ の基本群で自明になる。だから $S^n$ のループはすべて縮まります。

$n=1$ で崩れるのは、$A_1\cap A_2$ が 2 つに分かれるためです。弧状連結という仮定がここで落ちる。

複素射影空間

${\mathbb{CP}}^n$ は胞体分割で片づく。${\mathbb{CP}}^{n-1}$ に $2n$ 次元の胞体を貼る操作を繰り返すと、次の形になる^[1]。

$${\mathbb{CP}}^n=e^0\cup e^2\cup e^4\cup \cdots \cup e^{2n}$$

胞体の次元がすべて偶数だから、$1$ 骨格は $0$ 胞体 1 つ、つまり 1 点です。

弧状連結な CW 複体では、$1$ 骨格の包含が ${\pi }_1$ の全射を導きます^[1]。1 点の基本群は自明であり、全射の行き先も自明になる。

$${\pi }_1({\mathbb{CP}}^n)=0$$

実射影空間と対照的です。${\mathbb{RP}}^n$ は各次元に胞体を持つため $1$ 骨格が $S^1$ になり、そこから $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が残ります。

閉曲面

種数 $g$ の向きづけ可能な閉曲面 $M_g$ は、$4g$ 角形の辺を貼って作れる。胞体は $0$ 胞体が 1 つ、$1$ 胞体が $2g$ 個、$2$ 胞体が 1 つ^[1]。

$1$ 骨格は $2g$ 個の円周の楔和で、基本群は $2g$ 元生成の自由群です。$2$ 胞体を貼る境界の語が、そのまま関係式になります^[1]。

$${\pi }_1(M_g)\cong ⟨a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g\mid [a_1,b_1]\cdots [a_g,b_g]⟩$$

$g=1$ なら関係式は $[a_1,b_1]$、つまり $a_1{b}_1=b_1{a}_1$ です。トーラスで得た ${\mathbb{Z}}^2$ と合っている。

$g\ge 2$ では非可換になる。可換化すると ${\mathbb{Z}}^{2g}$ になるため、$g$ が違えば基本群も違う。だから種数の違う閉曲面は、同相どころかホモトピー同値にもなりません^[1]。

クラインの壺は向きづけ不可能な例です。正方形の辺を $ab{a}^{-1}b$ の語で貼るため、次の表示を持ちます^[1]。

$${\pi }_1(K)\cong ⟨a,b\mid ab{a}^{-1}b⟩$$

どんな群も基本群になる

計算例を並べると、現れる群の種類が気になる。答えは「全部」です^[1]。

群 $G$ の表示 $G=⟨g_{\alpha }\mid r_{\beta }⟩$ をとります。どの群も自由群の商だから、表示はかならず存在する。

生成元ごとに円周を 1 本用意して楔和を作り、関係式 $r_{\beta }$ の語に沿って $2$ 胞体を貼ります。できた 2 次元 CW 複体を $X_G$ とすると、基本群は $G$ になります^[1]。

楔和の部分が生成元を、貼った胞体が関係式を出す。8 の字と閉曲面で見た手順を、そのまま一般の表示に当てた形です。

だから基本群だけを見て空間の種類を絞ることはできません。逆に、群を空間の言葉に翻訳する道が開ける。

一覧

ここまでの結果を並べます。

道具は 3 つだけでした。持ち上げ、成分への分解、貼り合わせ。空間の作り方が分かれば、基本群はその作り方をなぞって決まります。

参考