基本群は位相空間の「穴」の構造を代数的に捉える不変量です。ここでは基本的な空間の基本群を具体的に計算します。
基本群の復習
位相空間 の基点 における基本群 は、 を始点・終点とするループのホモトピー類全体に、ループの結合で群構造を入れたものです。
が弧状連結ならば、基点の取り方によらず基本群は同型となります。このとき単に と書くこともあります。
円周 の基本群
の基本群は無限巡回群 と同型です。
直感的には、ループが円周を「何回巻くか」（巻き数、winding number）で分類されます。正の向きに 回巻くループと 回巻くループを結合すると、 回巻くループになります。
円周の基本群の証明概略
厳密な証明には被覆空間を用います。, は普遍被覆です。
基点 でのループ に対して、 でのリフト を から始めると、 となります（ のファイバーが なので）。
この終点 がループの巻き数であり、 が群同型 を与えます。
トーラス の基本群
トーラス の基本群は と同型です。
これは積空間の基本群に関する一般的な結果から従います。
トーラスの2つの生成元
の基本群の2つの生成元は、経線方向のループ と緯線方向のループ です。
は第1成分の を一周し第2成分は固定、 は第2成分の を一周し第1成分は固定します。
はアーベル群なので です。一般のループは （）の形に書けます。
高次元トーラス
次元トーラス の基本群は
です。各 成分を一周するループが 個の生成元を与えます。
実射影空間 の基本群
のとき、実射影空間の基本群は位数2の巡回群です。
なので です。
実射影空間の計算
であり、商写像 は2重被覆です。
のとき は単連結（）なので、 は普遍被覆です。被覆空間の理論から
となります。デッキ変換群は で生成される位数2の群です。
の非自明ループ
の非自明なループは次のように構成できます。
上で北極から南極への半大円を取り、 で に射影します。端点は対蹠点なので同一視され、閉じたループになります。
このループは自明でないが、2回繰り返すと自明になります（ で一周するループに持ち上がり、 が単連結なので縮めて戻せる）。
複素射影空間
複素射影空間は単連結です。
であり、ファイブレーション のホモトピー完全列から従います。 は で単連結、 なので です。
球面 の基本群
を除き、球面は単連結です。
の単連結性は、任意のループが点に縮められることから従います。北極と南極を除く部分は と同相であり、ループを少しずらして極を避ければ縮小できます。
楔和 の基本群
8の字型空間 の基本群は、2元で生成される自由群 です。
これは van Kampen の定理から計算できます。 は単連結空間を2つの円周で貼り合わせた形で、アーベル化の関係式がないため自由群となります。
自由群は非アーベルであり、 です。これは8の字の2つのループを異なる順序で回ると、ホモトピー類が異なることを意味します。
、。積空間や可換な貼り合わせから生じる。
。自由積や非可換な貼り合わせから生じる。種数 の曲面も非アーベル。
