一様連続と一様空間のくわしい例

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。

連続と一様連続の違い

まず距離空間で連続と一様連続の違いを確認します。

関数 $f:X\to Y$ が点 $a$ で連続であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ が存在し、$d_X(x,a)<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(a))<\epsilon$ となることです。ここで $\delta$ は点 $a$ と $\epsilon$ に依存します。

$f$ が一様連続であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ が存在し、任意の $x,y$ で $d_X(x,y)<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$ となることです。$\delta$ が点の選び方に依存しない点が本質的な違いです。

一様連続の例

$f(x)=3x+2$ は $\mathbb{R}$ 上で一様連続です。$|x-y|<\delta$ ならば $|f(x)-f(y)|=3|x-y|<3\delta$ なので、$\delta =\epsilon /3$ と取れば任意の $x,y$ で成り立ちます。

$f(x)=\sin x$ も $\mathbb{R}$ 上で一様連続です。平均値の定理から $|\sin x-\sin y|\le |x-y|$ が成り立つので、$\delta =\epsilon$ で十分です。

閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数は一様連続です（Heineの定理）。コンパクト集合上では連続と一様連続が一致します。

一様連続でない例

$f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ 上で連続ですが一様連続ではありません。

$\epsilon =1$ を固定します。任意の $\delta >0$ に対して、$x=1/\delta$, $y=1/\delta +\delta /2$ と取ると $|x-y|=\delta /2<\delta$ ですが

$$|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|=|x+y|\cdot |x-y|>\frac{2}{\delta }\cdot \frac{\delta }{2}=1=\epsilon$$

となり、一様連続の条件を満たしません。$x$ が大きいところでは傾きが急になるため、一様な $\delta$ が取れないのです。

$f(x)=1/x$ は $(0,1]$ 上で連続ですが一様連続ではありません。$x\to 0$ で傾きが無限大に発散するためです。

一様空間の動機

一様連続の定義は距離を用いていますが、「任意の2点が十分近ければ像も近い」という構造は距離なしでも定式化できます。

距離空間では $U_{\epsilon }=\{(x,y):d(x,y)<\epsilon \}$ という $X\times X$ の部分集合が「$\epsilon$-近い点の対」を表します。一様空間ではこのような集合を抽象化して近縁（entourage）と呼びます。

一様空間の定義

集合 $X$ 上の一様構造（uniform structure）は、対角集合 $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ を含む $X\times X$ の部分集合族 $\mathcal{U}$（近縁系）で、次の条件を満たすものです。

4番目の条件で $V\circ V=\{(x,z):\exists y,(x,y)\in V\wedge (y,z)\in V\}$ は関係の合成です。

距離空間の一様構造

距離空間 $(X,d)$ には自然な一様構造が定まります。

$$U_{\epsilon }=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)<\epsilon \}$$

を基本近縁とし、これらを含む集合全体を近縁系とします。

条件の確認をすると、1と2は明らかです。3は $d(x,y)=d(y,x)$ から従います。4は $U_{\epsilon /2}\circ U_{\epsilon /2}\subseteq U_{\epsilon }$（三角不等式）から従います。

一様構造の例：離散一様構造

任意の集合 $X$ に離散一様構造を入れられます。対角集合 $\Delta$ を含むすべての集合を近縁とします。

$\Delta$ 自身が近縁なので、$(x,y)\in \Delta$ すなわち $x=y$ のときのみ「近い」とみなす最も細かい一様構造です。

一様構造の例：有界距離

距離空間 $(X,d)$ に対して $d^{\prime }(x,y)=\min (d(x,y),1)$ も距離となります。$d$ と $d^{\prime }$ は同じ位相を定めますが、一様構造は異なる場合があります。

ただし、$d$ が有界のとき（または $d^{\prime }$ を用いるとき）は一様構造も一致します。

一様空間から位相空間へ

一様空間 $(X,\mathcal{U})$ には自然に位相が定まります。近縁 $U\in \mathcal{U}$ と点 $x\in X$ に対して

$$U[x]=\{y\in X:(x,y)\in U\}$$

を $x$ の $U$-近傍と呼びます。$\{U[x]:U\in \mathcal{U}\}$ を $x$ の近傍基として位相を定義します。

距離空間の場合、$U_{\epsilon }[x]=B(x,\epsilon )$（開球）となり、通常の距離位相が得られます。

一様連続写像の一般化

一様空間 $(X,\mathcal{U})$ から $(Y,\mathcal{V})$ への写像 $f$ が一様連続であるとは、任意の $V\in \mathcal{V}$ に対して

$$(f\times f{)}^{-1}(V)=\{(x,y)\in X\times X:(f(x),f(y))\in V\}\in \mathcal{U}$$

が成り立つことをいいます。

距離空間の場合に戻って確認すると、これは「任意の $\epsilon >0$ に対してある $\delta >0$ が存在し、$d_X(x,y)<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$」と同値です。

コンパクト空間上の一様連続性

コンパクト空間から一様空間への連続写像は一様連続です。

これは Heine の定理（コンパクト集合上の連続関数は一様連続）の一般化であり、一様空間の枠組みで自然に証明できます。

一様空間の完備化

距離空間の完備化と同様に、一様空間にも完備化の概念があります。

Cauchy フィルター（任意の近縁を元として含むフィルター）を用いて定式化します。すべての Cauchy フィルターが収束する一様空間を完備といい、任意の一様空間は完備な一様空間に稠密に埋め込めます。

一様空間が有用な場面

一様空間は次のような状況で距離空間より柔軟です。

特に位相群論では、左一様構造と右一様構造という2つの自然な一様構造があり、これらが一致するかどうかが理論上重要になります。