高次ホモトピー群はなぜ可換になってしまうのか - 定義から球面の計算まで

基本群はループの張り合わせで作りました。ループとは円周からの写像なので、円周を $n$ 次元球面にとり替えれば、そのまま高い次元へ持ち上がります。

持ち上げた先で、ひとつだけ様子が変わります。 $n \geq 2$ ではいつでも可換になる。基本群が非可換になれたのは、 $1$ 次元だからでした^[1]。

以下では定義と積の作り方から始め、可換性がどこから出るのかを追い、球面のホモトピー群がなぜ計算しにくいのかまで扱います。

定義

基点付き空間 $(X, x_{0})$ に対し、 $n$ 次ホモトピー群を

$π_{n} (X, x_{0}) = [(S^{n}, *), (X, x_{0})]$

で定めます^[1]。基点を保つ写像の、基点を保つホモトピーによる類。

球面の代わりに立方体を使う定義もあります。 $I^{n}$ から $X$ への写像で、境界 $\partial I^{n}$ をすべて $x_{0}$ へ送るもの。

境界を 1 点に潰せば $I^{n} / \partial I^{n} ≅ S^{n}$ なので、2 つは同じものです。

積の作り方

立方体の定義を使うと、積が書きやすくなります。第 1 座標を半分ずつ使う。

$(f \cdot g) (s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}) = {f (2 s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}) g (2 s_{1} - 1, s_{2}, \dots, s_{n}) (s_{1} \leq 1/2) (s_{1} \geq 1/2)$

境界が $x_{0}$ へ行くので、継ぎ目でも値がそろいます。基本群のときの道の連結と同じ形。

単位元は定数写像、逆元は第 1 座標を裏返したものです。群になることは基本群と同じ議論。

$n \geq 2$ では可換になる

$n \geq 2$ なら、第 1 座標のほかに第 2 座標も空いています。積を 2 通りに定義できる。

2 つの積は交換法則

$(a \otimes b) \circ (c \otimes d) = (a \circ c) \otimes (b \circ d)$

を満たします。この状況ではエックマン・ヒルトンの議論が働き、2 つの積は一致して可換かつ結合的になります^[4]。

$n = 1$ では 2 本目の座標がありません。だから基本群だけが非可換になれる。

立方体を回して入れ替える様子

2 つの写像を、つぶれさせずに位置だけ入れ替える動きを描きます。

塊を上下にずらしてから左右を入れ替えれば、途中でぶつかりません。 $1$ 次元では逃げ道がなく、この動きが作れない。

可換性の証明の中身は、この「よけて通す」という一言です。

関手性

連続写像 $f : X \to Y$ は準同型 $f_{*} : π_{n} (X, x_{0}) \to π_{n} (Y, f (x_{0}))$ を誘導します^[1,3]。

合成と恒等写像を保ちます。したがって $π_{n}$ は基点付き空間の圏から群の圏への関手。

ホモトピー同値な空間では同型になります。だから $π_{n}$ はホモトピー不変量^[3]。

基点への依存

道連結な空間では、基点を変えても同型になります。道に沿って運ぶ対応がある。

ただし同型のとり方が一意ではありません。 $π_{1}$ が $π_{n}$ に作用し、その作用のぶんだけ曖昧さが残る。

単連結なら作用が自明になり、曖昧さが消えます。

例：可縮な空間

$X$ が可縮なら、すべての $n$ で $π_{n} (X) = 0$ です。恒等写像が定数にホモトピックなため。

$R^{n}$ 、円板、凸集合がこれにあたります。ホモトピー群では何も見えない。

逆は成り立ちません。すべて自明でも可縮でない空間があります。

例： $π_{i} (S^{n}) = 0$ が $i < n$ で成り立つ

低い次元の球面から高い次元の球面への写像は、すべて定数にホモトピックです^[2]。

滑らかな写像で近似すると、サードの定理から像に達しない点がとれます。1 点を抜いた球面は可縮なので、そこへ落として縮められる。

したがって $S^{n}$ は $(n - 1)$ 連結です。

例： $π_{n} (S^{n}) = Z$

同じ次元では、写像の次数が完全な不変量になります^[2]。

次数は「球面が何回巻きついたか」を数える整数。 $π_{n} (S^{n}) ≅ Z$ で、生成元は恒等写像。

$n = 1$ では、 $S^{1} \to S^{1}$ の巻き数がそのまま次数です。

例：次数を巻き数として見る

$S^{1} \to S^{1}$ の写像を、角度を角度へ送る形で書きます。 $e^{i θ} \mapsto e^{i d θ}$ とすれば次数 $d$ 。

左が 1 周するあいだに、右は $d$ 周します。 $d$ が負なら逆向きに回る。

$d$ を連続に変えることはできません。整数なので飛び飛び。だから次数がホモトピー不変量になります^[2]。

例：ホップ写像の作り方

$S^{3}$ を $C^{2}$ の単位球面と見て、 $(z_{1}, z_{2})$ に $[z_{1} : z_{2}] \in CP^{1} ≅ S^{2}$ を対応させます。

各点の逆像は、位相 $e^{i θ}$ を掛けた組の全体で、円になります。 $S^{3}$ が円で埋め尽くされる。

この写像が $π_{3} (S^{2})$ の生成元です^[2]。2 本のファイバーが必ず 1 回だけ絡む、というところに非自明さが出ています。

例： $π_{3} (S^{2}) = Z$

次元が上がったほうから下がったほうへ、自明でない写像があります。ホップ写像が生成元^[2]。

$π_{3} (S^{2}) ≅ Z$ です。ホモロジーでは $H_{3} (S^{2}) = 0$ なので、この情報は拾えません。

ホモトピー群がホモロジー群より細かい、という代表例になっています。

ホモロジー群

計算しやすく、 $S^{n}$ では $H_{n} = Z$ のほかは消えます。マイヤー・ヴィートリスなどの道具がそろっている。

ホモトピー群

$S^{2}$ でも高次に無限に非自明な群が並びます。細かいぶん、計算がきわめて難しい。

球面のホモトピー群の表

低い次元の一部を並べます。

群	S2	S3
π_2	Z	0
π_3	Z	Z
π_4	Z/2	Z/2
π_5	Z/2	Z/2

$S^{2}$ の高次が消えないところが要点です。 $π_{4} (S^{2}) = Z /2$ 、 $π_{5} (S^{2}) = Z /2$ と続く^[2]。

規則性が見えず、いまも完全な決定はできていません。

懸垂と安定域

懸垂は $π_{k} (S^{n}) \to π_{k + 1} (S^{n + 1})$ を誘導します。フロイデンタールの定理により、 $n \geq k + 2$ では同型^[2]。

したがって $π_{n + k} (S^{n})$ は $n$ が大きいところで $n$ に依らなくなります。この共通の値が安定ホモトピー群。

安定域では $k \leq 90$ 程度まで計算されています。不安定な部分は $k < 19$ ほどまで^[2]。

安定するところとしないところを、表の形で見ます。

$k$ を固定して $n$ を右へ動かすと、あるところから値が止まります。止まった先が安定ホモトピー群。

左下の赤い領域だけが個別に難しく、右上は 1 つの群にまとまる。計算の話がここで 2 つに分かれます。

なぜ計算しにくいのか

ホモロジーには切除公理があり、空間を分けて計算できます。ホモトピー群には対応する公理がありません。

マイヤー・ヴィートリスに当たる道具がないので、貼り合わせから直接は求まらない。ファイバー束の長完全列とスペクトル系列が主な武器になります。

計算しにくさと引き換えに、情報量は多くなっています。

相対ホモトピー群

対 $(X, A)$ に対し、 $π_{n} (X, A, x_{0})$ が定まります。 $D^{n}$ からの写像で、境界 $S^{n - 1}$ を $A$ へ送るもの^[1]。

$n \geq 3$ で可換、 $n = 2$ では一般に非可換です。絶対版より 1 つずれる。

包含と射影と境界写像から、長完全列が出ます。相対を挟むことで計算の道具になる。

$π_{n} (X)$ が $n \geq 2$ でつねに可換になる理由はどれか。

球面が単連結だから
積を 2 通りに定義でき、交換法則が成り立つから
ホモロジー群が可換だから
基点を自由に動かせるから

__RESULT__

第 2 座標が空いているので積が 2 つ作れます。エックマン・ヒルトンの議論から、2 つは一致して可換になります。

$n$ 連結

$π_{k} (X) = 0$ が $k \leq n$ で成り立つとき、 $X$ は $n$ 連結といいます^[1]。

$0$ 連結は道連結、 $1$ 連結は単連結です。数え方が 1 つずれるので混乱しやすいところ。

$S^{n}$ は $(n - 1)$ 連結で $n$ 連結ではありません。 $π_{n} (S^{n}) = Z \neq = 0$ だから。

アイレンベルグ・マクレーン空間

$π_{n} (X) = G$ で、ほかがすべて $0$ になる空間を $K (G, n)$ と書きます。

$K (Z, 1) = S^{1}$ 、 $K (Z, 2) = CP^{\infty}$ です^[3]。

ホモトピー群を 1 つだけ指定した空間、という位置づけになります。コホモロジーの表現空間としても使われる。

よくある誤り

π_{1}

の非可換性が高次でも起きると思う。

n \geq 2

ではつねに可換です

π_{n} (S^{m}) = 0

が

n > m

で成り立つと思う。

π_{3} (S^{2}) = Z

が反例です

ホモロジーとホモトピーで同じ結論が出ると思う。

S^{2}

の

3

次で食い違います

n

連結の

n

を 1 つずれて覚える。

S^{n}

は

(n - 1)

連結です

すべての

π_{n}

が自明なら可縮だと結論する。CW 複体でなければ言えません

基点を変えても同型のとり方が一意だと思う。

π_{1}

の作用ぶん曖昧さが残ります

相対ホモトピー群が

n = 2

で可換だと思う。可換になるのは

n \geq 3

です

参考文献

Homotopy group

Homotopy groups of spheres

Homotopiegruppe

Eckmann–Hilton argument

Homotopy

Contractible space

基本群の円周を $n$ 次元球面に置き換えれば、そのまま高次ホモトピー群になります。ところが $n \geq 2$ では積を 2 通りに定義でき、エックマン・ヒルトンの議論から必ず可換になる。非可換になれたのは $1$ 次元だからでした。$\pi_i(S^n)$ は $i < n$ で消え、$i = n$ では次数が完全な不変量になります。$\pi_3(S^2) = \mathbb{Z}$ はホップ写像が生成し、ホモロジーでは見えない情報。切除公理がないため計算はきわめて難しく、安定域と不安定域で事情が分かれます。