基本群 はループを用いて定義されましたが、これを高次元に一般化したものが高次ホモトピー群です。 次元球面からの写像のホモトピー類を考えます。
高次ホモトピー群の定義
位相空間 と基点 に対して、 次ホモトピー群 は次のように定義されます。
これは基点を保つ連続写像 のホモトピー類（基点を保つホモトピーによる同値類）全体の集合です。
群構造
のとき、 には群構造が入ります。
2つの写像 の積は、 を赤道で2つの半球に分け、一方で を、他方で を実行する写像として定義されます。
では基本群 と一致します。
高次ホモトピー群はアーベル群
のとき、 はアーベル群です。
これは2次元以上の球面では、2つの写像を「並べる順序」を連続的に入れ替えられることから従います。 が非アーベルになりうるのとは対照的です。
球面のホモトピー群
です。生成元は恒等写像 のホモトピー類で、写像の次数（degree）がこの同型を与えます。
（）です。低次元球面は高次元球面に「巻きつけない」ためです。
球面の安定ホモトピー群
驚くべきことに、（）は一般に非自明です。
球面のホモトピー群の完全な決定は未解決問題であり、代数的位相幾何学の中心的課題です。
Hopf写像
の生成元は Hopf 写像 です。
を とみなし、 で定義します。
Hopf写像の各ファイバーは であり、 は ファイバー束として 上に乗っています。
ホモトピー群の函手性
連続写像 は準同型 を誘導します。
に対して です。
ホモトピー同値な空間は同型なホモトピー群を持ちます。
相対ホモトピー群
部分空間 を含む状況では、相対ホモトピー群 が定義されます。
これは から への写像のホモトピー類です。境界が に入り、基点が に行く写像を考えます。
ホモトピー群と弱ホモトピー同値
写像 が弱ホモトピー同値であるとは、すべての で が同型となることです。
CW複体の間では、弱ホモトピー同値はホモトピー同値と一致します（Whiteheadの定理）。
ループのホモトピー類。非アーベルになりうる。被覆空間と密接に関連。
次元球面からの写像。常にアーベル群。計算は一般に困難で、球面の場合も完全には解明されていない。
