高次ホモトピー群はなぜ可換になってしまうのか - 定義から球面の計算まで

基本群はループの張り合わせで作りました。ループとは円周からの写像なので、円周を $n$ 次元球面にとり替えれば、そのまま高い次元へ持ち上がります。

持ち上げた先で、ひとつだけ様子が変わります。$n\ge 2$ ではいつでも可換になる。基本群が非可換になれたのは、$1$ 次元だからでした^[1]。

以下では定義と積の作り方から始め、可換性がどこから出るのかを追い、球面のホモトピー群がなぜ計算しにくいのかまで扱います。

定義

基点付き空間 $(X,x_0)$ に対し、$n$ 次ホモトピー群を

$${\pi }_n(X,x_0)=[(S^n,\ast ),(X,x_0)]$$

で定めます^[1]。基点を保つ写像の、基点を保つホモトピーによる類。

球面の代わりに立方体を使う定義もあります。$I^n$ から $X$ への写像で、境界 $\partial I^n$ をすべて $x_0$ へ送るもの。

境界を 1 点に潰せば $I^n/\partial I^n\cong S^n$ なので、2 つは同じものです。

積の作り方

立方体の定義を使うと、積が書きやすくなります。第 1 座標を半分ずつ使う。

$$(f\cdot g)(s_1,s_2,\dots ,s_n)=\{\begin{array}{ll}f(2s_1,s_2,\dots ,s_n)& (s_1\le 1/2)\\ g(2s_1-1,s_2,\dots ,s_n)& (s_1\ge 1/2)\end{array}$$

境界が $x_0$ へ行くので、継ぎ目でも値がそろいます。基本群のときの道の連結と同じ形。

単位元は定数写像、逆元は第 1 座標を裏返したものです。群になることは基本群と同じ議論。

$n\ge 2$ では可換になる

$n\ge 2$ なら、第 1 座標のほかに第 2 座標も空いています。積を 2 通りに定義できる。

2 つの積は交換法則

$$(a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)$$

を満たします。この状況ではエックマン・ヒルトンの議論が働き、2 つの積は一致して可換かつ結合的になります^[4]。

$n=1$ では 2 本目の座標がありません。だから基本群だけが非可換になれる。

立方体を回して入れ替える様子

2 つの写像を、つぶれさせずに位置だけ入れ替える動きを描きます。

塊を上下にずらしてから左右を入れ替えれば、途中でぶつかりません。$1$ 次元では逃げ道がなく、この動きが作れない。

可換性の証明の中身は、この「よけて通す」という一言です。

関手性

連続写像 $f:X\to Y$ は準同型 $f_{\ast }:{\pi }_n(X,x_0)\to {\pi }_n(Y,f(x_0))$ を誘導します^[1,3]。

合成と恒等写像を保ちます。したがって ${\pi }_n$ は基点付き空間の圏から群の圏への関手。

ホモトピー同値な空間では同型になります。だから ${\pi }_n$ はホモトピー不変量^[3]。

基点への依存

道連結な空間では、基点を変えても同型になります。道に沿って運ぶ対応がある。

ただし同型のとり方が一意ではありません。${\pi }_1$ が ${\pi }_n$ に作用し、その作用のぶんだけ曖昧さが残る。

単連結なら作用が自明になり、曖昧さが消えます。

例：可縮な空間

$X$ が可縮なら、すべての $n$ で ${\pi }_n(X)=0$ です。恒等写像が定数にホモトピックなため。

${\mathbb{R}}^n$、円板、凸集合がこれにあたります。ホモトピー群では何も見えない。

逆は成り立ちません。すべて自明でも可縮でない空間があります。

例：${\pi }_i(S^n)=0$ が $i<n$ で成り立つ

低い次元の球面から高い次元の球面への写像は、すべて定数にホモトピックです^[2]。

滑らかな写像で近似すると、サードの定理から像に達しない点がとれます。1 点を抜いた球面は可縮なので、そこへ落として縮められる。

したがって $S^n$ は $(n-1)$ 連結です。

例：${\pi }_n(S^n)=\mathbb{Z}$

同じ次元では、写像の次数が完全な不変量になります^[2]。

次数は「球面が何回巻きついたか」を数える整数。${\pi }_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$ で、生成元は恒等写像。

$n=1$ では、$S^1\to S^1$ の巻き数がそのまま次数です。

例：次数を巻き数として見る

$S^1\to S^1$ の写像を、角度を角度へ送る形で書きます。$e^{i\theta }\mapsto e^{id\theta }$ とすれば次数 $d$。

左が 1 周するあいだに、右は $d$ 周します。$d$ が負なら逆向きに回る。

$d$ を連続に変えることはできません。整数なので飛び飛び。だから次数がホモトピー不変量になります^[2]。

例：ホップ写像の作り方

$S^3$ を ${\mathbb{C}}^2$ の単位球面と見て、$(z_1,z_2)$ に $[z_1:z_2]\in {\mathbb{CP}}^1\cong S^2$ を対応させます。

各点の逆像は、位相 $e^{i\theta }$ を掛けた組の全体で、円になります。$S^3$ が円で埋め尽くされる。

この写像が ${\pi }_3(S^2)$ の生成元です^[2]。2 本のファイバーが必ず 1 回だけ絡む、というところに非自明さが出ています。

例：${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$

次元が上がったほうから下がったほうへ、自明でない写像があります。ホップ写像が生成元^[2]。

${\pi }_3(S^2)\cong \mathbb{Z}$ です。ホモロジーでは $H_3(S^2)=0$ なので、この情報は拾えません。

ホモトピー群がホモロジー群より細かい、という代表例になっています。

球面のホモトピー群の表

低い次元の一部を並べます。

$S^2$ の高次が消えないところが要点です。${\pi }_4(S^2)=\mathbb{Z}/2$、${\pi }_5(S^2)=\mathbb{Z}/2$ と続く^[2]。

規則性が見えず、いまも完全な決定はできていません。

懸垂と安定域

懸垂は ${\pi }_k(S^n)\to {\pi }_{k+1}(S^{n+1})$ を誘導します。フロイデンタールの定理により、$n\ge k+2$ では同型^[2]。

したがって ${\pi }_{n+k}(S^n)$ は $n$ が大きいところで $n$ に依らなくなります。この共通の値が安定ホモトピー群。

安定域では $k\le 90$ 程度まで計算されています。不安定な部分は $k<19$ ほどまで^[2]。

安定するところとしないところを、表の形で見ます。

$k$ を固定して $n$ を右へ動かすと、あるところから値が止まります。止まった先が安定ホモトピー群。

左下の赤い領域だけが個別に難しく、右上は 1 つの群にまとまる。計算の話がここで 2 つに分かれます。

なぜ計算しにくいのか

ホモロジーには切除公理があり、空間を分けて計算できます。ホモトピー群には対応する公理がありません。

マイヤー・ヴィートリスに当たる道具がないので、貼り合わせから直接は求まらない。ファイバー束の長完全列とスペクトル系列が主な武器になります。

計算しにくさと引き換えに、情報量は多くなっています。

相対ホモトピー群

対 $(X,A)$ に対し、${\pi }_n(X,A,x_0)$ が定まります。$D^n$ からの写像で、境界 $S^{n-1}$ を $A$ へ送るもの^[1]。

$n\ge 3$ で可換、$n=2$ では一般に非可換です。絶対版より 1 つずれる。

包含と射影と境界写像から、長完全列が出ます。相対を挟むことで計算の道具になる。

$n$ 連結

${\pi }_k(X)=0$ が $k\le n$ で成り立つとき、$X$ は $n$ 連結といいます^[1]。

$0$ 連結は道連結、$1$ 連結は単連結です。数え方が 1 つずれるので混乱しやすいところ。

$S^n$ は $(n-1)$ 連結で $n$ 連結ではありません。${\pi }_n(S^n)=\mathbb{Z}\ne 0$ だから。

アイレンベルグ・マクレーン空間

${\pi }_n(X)=G$ で、ほかがすべて $0$ になる空間を $K(G,n)$ と書きます。

$K(\mathbb{Z},1)=S^1$、$K(\mathbb{Z},2)={\mathbb{CP}}^{\infty }$ です^[3]。

ホモトピー群を 1 つだけ指定した空間、という位置づけになります。コホモロジーの表現空間としても使われる。

よくある誤り

参考文献