ポアンカレ双対性〜ベッチ数が中央で折り返して一致する

閉じた向き付け可能な多様体では、ベッチ数の並びが前後で対称になります。$n$ 次元なら $b_k=b_{n-k}$。

対称になる理由は、$k$ 次のコホモロジーと $(n-k)$ 次のホモロジーが同型だから。これがポアンカレ双対性です^[1]。

以下では基本類の作り方から始め、キャップ積による同型を書き下し、向き付けが崩れたときにどうなるかと、$4$ 次元の交叉形式まで扱います。

局所的な向き

点 $p$ のまわりの向きは、局所ホモロジー $H_n(M,M\setminus \{p\};\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ の生成元として定めます^[6]。

生成元は 2 つあり、互いに符号が逆です。どちらを選ぶかが局所的な向きの選択。

$n$ 次元多様体なら、どの点でもこの群が $\mathbb{Z}$ になります。局所的にはいつでも向きが入る。

大域的に貼り合わせられるか

各点で選んだ向きが、近くの点どうしで整合するかを問います。整合するようにすべての点で選べれば向き付け可能。

$M$ が連結な閉多様体なら、判定は最高次のホモロジーでできます^[6]。

第 1 シュティーフェル・ホイットニー類 $w_1$ が消えることとも同値です^[6]。

向き付け二重被覆

どんな多様体にも、向きの選び方を組にした二重被覆 $\tilde{M}\to M$ が作れます。点 $x$ と局所的な向き $o$ の組。

$M$ が向き付け可能なら $\tilde{M}$ は 2 つの連結成分に分かれ、不可能なら連結になります^[6]。

メビウスの帯の二重被覆は円環です。一周すると向きが裏返るので、2 周してはじめて戻る。

一周すると裏返る

メビウスの帯で、局所的な向きを持ち歩く様子を描きます。

一周すると、黒い目印が反対側へ移ります。局所的な向きを整合させて選べない。

二重被覆をとれば、2 周してはじめて戻ります。被覆の側では向きが決まる^[6]。

基本類

向き付けを選ぶと、$H_n(M;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ の生成元が 1 つ定まります。これが基本類 $[M]$^[2]。

三角形分割で言えば、最高次元の単体を向きをそろえて全部足したもの。境界が打ち消し合って輪体になる。

滑らかな多様体では、$n$ 形式 $\omega$ との対が ${\int }_M\omega$ に一致します^[2]。積分の相手そのもの。

双対性の主張

$M$ を $n$ 次元の閉じた向き付け可能多様体とすると

$$H^k(M;R)⟶H_{n-k}(M;R),\alpha ⟼[M]⌢\alpha$$

が同型になります^[1,3]。キャップ積で書いた形。

コホモロジーとホモロジーを、次数を折り返して結びつけます。$k$ と $n-k$ が対応する。

ベッチ数が折り返して一致する

体係数で見ると、次元が一致します。したがって

$$b_k(M)=b_{n-k}(M)$$

が成り立ちます^[1,3]。ポアンカレが 1893 年に主張した形。

$b_0=1$（連結なら）なので $b_n=1$。最高次が $1$ 次元になることと、基本類の存在が対応しています。

折り返しを絵で見る

ベッチ数の並びが中央で折り返す様子を描きます。

どの例でも、中央の破線で折り返すと棒の高さが一致します。

対称性は仮定ではなく結論です。閉じていて向き付け可能であることから出てくる。

例：$2$ 次元トーラス

$b_0=1$、$b_1=2$、$b_2=1$ です。$b_0=b_2$ が双対性。

$1$ 次の 2 つの生成元は、それぞれ自分自身と双対な関係にあります。中央次元では自己双対。

例：$3$ 次元トーラス

$b_0=1$、$b_1=3$、$b_2=3$、$b_3=1$ です。$b_1=b_2$ が成り立つ。

$1$ 次の 3 本の円と、$2$ 次の 3 枚のトーラスが対応します。交わりが 1 点になる組み合わせ。

例：奇数次元では標数が消える

対称性から、オイラー標数は

$$\chi =\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{b}_k$$

で、$b_k=b_{n-k}$ を代入すると $n$ が奇数のとき項が打ち消し合います。

したがって閉じた奇数次元多様体のオイラー標数は $0$ です^[1]。

$3$ 次元多様体ではいつでも $\chi =0$。これは強い制約で、$3$ 次元ではオイラー標数が情報を持ちません。

例：向き付け不可能な場合

クラインの壺では $H_2(K;\mathbb{Z})=0$ です。基本類が作れず、$\mathbb{Z}$ 係数の双対性が崩れる。

$b_0=1$、$b_1=1$、$b_2=0$ で、折り返しても一致しません。

いっぽう $\mathbb{Z}/2$ 係数なら $H_2(K;\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ で、基本類が存在します。

$\mathbb{Z}/2$ 係数なら向き付けが要らない

$\mathbb{Z}/2$ では $+1$ と $-1$ が同じなので、向きの選択が問題になりません^[1]。

どの閉多様体にも $\mathbb{Z}/2$ 基本類があり、双対性が成り立ちます。

$$H^k(M;\mathbb{Z}/2)\cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z}/2)$$

シュティーフェル・ホイットニー類が $\mathbb{Z}/2$ 係数で定義されるのも、この事情から^[2]。

境界があるとき

境界付き多様体では、絶対ホモロジーと相対ホモロジーが対応します。

$$H^k(M,\partial M;R)\cong H_{n-k}(M;R),H^k(M;R)\cong H_{n-k}(M,\partial M;R)$$

これがレフシェッツ双対性です^[5]。片方だけを相対にする。

境界のない場合は $\partial M=\varnothing$ で、相対と絶対が一致します。もとの形に戻る。

例：実射影平面

${\mathbb{RP}}^2$ は向き付け不可能です。$H_2({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z})=0$ で基本類がありません。

$\mathbb{Z}/2$ 係数なら $H_0=H_1=H_2=\mathbb{Z}/2$ で、折り返して一致します^[6]。

$\mathbb{Z}$ 係数では $H_1=\mathbb{Z}/2$ が $2$ 次に出てこないため、対称が崩れる。係数の選び方で見え方が変わります。

証明の筋

証明はふつう、$M$ を小さな開集合で覆って帰納法で進めます。${\mathbb{R}}^n$ で成り立つことを出発点にする。

貼り合わせにマイヤー・ヴィートリス列と五項補題を使い、$U$、$V$ で成り立てば $U\cup V$ でも成り立つ、と押し上げる形。

コンパクトでない場合はコンパクト台コホモロジーを使います。閉多様体ならこの区別が要りません^[5]。

交わりを絵で見る

中央次元の 2 つの類が横断的に交わる様子を描きます。

青と赤が 1 点だけで交わります。この点の個数が交叉数。

向きを込めて符号を付けて数えるので、交わりが 2 点でも打ち消し合えば $0$ になります。横断的にとることが前提^[4]。

交叉形式

$n=2m$ の偶数次元で、中央次元どうしのカップ積を見ます。

$$H^m(M)\times H^m(M)\to H^{2m}(M)\cong \mathbb{Z}$$

が双線型形式を定めます。$m$ が偶数なら対称、奇数なら交代^[4]。

双対性から、この形式は捩れを除いてユニモジュラーになります。行列式が $\pm 1$。

$4$ 次元での交叉形式

$4$ 次元閉多様体では $m=2$ で、対称なユニモジュラー形式が出ます^[4]。

幾何的には、2 枚の曲面が横断的に交わる点を符号付きで数えたもの。代数的にはカップ積を基本類で評価した値。

不変量は階数、符号数、パリティです。

フリードマンとドナルドソン

単連結な位相 $4$ 次元多様体は、交叉形式でほぼ分類されます。どんなユニモジュラー対称形式も実現される^[4]。

微分構造を課すと事情が変わります。正定値なら対角形に限られる、というのがドナルドソンの結果^[4]。

位相的には作れるのに滑らかにはできない多様体があります。$E_8$ 多様体がその例。

交叉数として読む

双対を通すと、コホモロジー類が部分多様体に対応します。カップ積が交わりに対応する。

$T^2$ では、$1$ 次の 2 本の円が 1 点で交わり、交叉数が $1$。中央次元の自己双対性がこの形で見える。

${\mathbb{CP}}^2$ では、$2$ 次の生成元が直線に対応し、2 本の直線が 1 点で交わります。交叉形式は $(1)$ という $1\times 1$ 行列。

ホッジ理論との対応

滑らかな多様体では、ド・ラームコホモロジーでも双対性が見えます。

リーマン計量を入れると、ホッジ作用素が $H_{\mathrm{dR}}^k\to H_{\mathrm{dR}}^{n-k}$ の同型を与えます^[3]。

位相の主張と解析の主張が、同じ次数の折り返しを別々に実現している格好です。

よくある誤り

参考文献