Poincaré双対性

Poincaré双対性は、コンパクト向き付け可能多様体のホモロジーとコホモロジーの間の対称性を表す定理です。多様体の位相幾何学における中心的な結果です。

定理の主張

$M$ を $n$ 次元コンパクト連結向き付け可能多様体とすると、

$$H^k(M;R)\cong H_{n-k}(M;R)$$

が成り立ちます。$R$ は係数環（通常 $\mathbb{Z}$ や体）です。

低次元のコホモロジーと高次元のホモロジーが対応し、「対角的な」対称性が現れます。

基本類

向き付け可能な $n$ 次元閉多様体 $M$ には基本類 $[M]\in H_n(M;\mathbb{Z})$ が存在します。これは $M$ 全体を表すホモロジー類です。

Poincaré双対同型は、キャップ積 $-⌢[M]:H^k(M)\to H_{n-k}(M)$ で与えられます。

球面の例

$S^n$ に対して、$H^0(S^n)\cong H_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$, $H^n(S^n)\cong H_0(S^n)\cong \mathbb{Z}$ です。

$k$ 次と $(n-k)$ 次が対応し、Betti数の対称性 $b_k=b_{n-k}$ が成り立ちます。

トーラスの例

$T^2$ に対して、$b_0=b_2=1$, $b_1=2$ です。$H^0\cong H_2$, $H^1\cong H_1$, $H^2\cong H_0$ が対応します。

Betti数列 $(1,2,1)$ は中央で対称です。

一般のBetti数の対称性

$n$ 次元コンパクト向き付け可能多様体では、$b_k=b_{n-k}$ が成り立ちます。

Euler標数は $\chi (M)=\sum (-1{)}^k{b}_k$ で、$n$ が奇数のとき対称性から $\chi (M)=0$ となります。

交叉形式

$\dim M=2m$ のとき、$H_m(M)\times H_m(M)\to \mathbb{Z}$ に交叉形式が定まります。

$[\alpha ]\cdot [\beta ]=⟨{\alpha }^{\ast }⌣{\beta }^{\ast },[M]⟩$

ここで ${\alpha }^{\ast },{\beta }^{\ast }\in H^m(M)$ は Poincaré 双対で対応するコホモロジー類です。

4次元多様体と交叉形式

4次元閉向き付け可能多様体の交叉形式は $H_2$ 上の対称双線形形式で、多様体の重要な不変量です。

交叉形式の符号数（正固有値の数 - 負固有値の数）は位相不変量であり、符号数定理によりPontryagin数と関係します。

非コンパクトの場合

非コンパクト多様体では、コンパクト台を持つコホモロジー $H_c^k(M)$ を用いて

$$H_c^k(M)\cong H_{n-k}(M)$$

が成り立ちます。

向き付け不可能な場合

向き付け不可能な多様体では、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 係数で Poincaré 双対性が成り立ちます。

$H^k(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong H_{n-k}(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$

整数係数では基本類が存在せず、標準的な双対性は成り立ちません。

Lefschetz双対性

境界付き多様体 $(M,\partial M)$ に対しては、Lefschetz双対性

$$H^k(M,\partial M)\cong H_{n-k}(M)$$

が成り立ちます。