位相空間の次元はホモロジーを用いて特徴づけられます。ホモロジーは次元を検出し、異なる次元の空間が同相でないことを示す道具となります。
位相的次元の問題
と （）が同相でないことは直感的には明らかですが、厳密な証明は19世紀末まで知られていませんでした。
連続全単射 が存在しても、 が連続とは限りません。Peano曲線（ から への連続全射）の存在が示すように、次元は連続写像だけでは制御できません。
Brouwerの次元不変性定理
の空でない開集合と の空でない開集合が同相ならば、 である。
これはホモロジーを用いて証明されます。
ホモロジーによる証明
を空でない開集合、 とします。 のホモロジーを計算します。
は の周りの小さな球面 に変形レトラクトするので、
（）です。
次元の検出
（ は開集合）ならば、 です。
ホモロジーの同型から となり、、すなわち が従います。
局所ホモロジー
点 における局所ホモロジーは
で定義されます。 の点 では、
位相多様体の次元
次元位相多様体 のすべての点 で、
が成り立ちます。これにより多様体の次元は位相不変量として定まります。
被約ホモロジーと懸垂
懸垂 は次元を1つ上げる操作で、 です。
なので、 です。
ホモロジー次元
空間 のホモロジー次元は、 となる最大の として定義されることがあります。
次元CW複体のホモロジー次元は高々 であり、 次元閉多様体のホモロジー次元はちょうど です。
Čech次元と被覆次元
ホモロジー次元とは別に、開被覆の重複度を用いた被覆次元（Lebesgue被覆次元）があります。
の被覆次元は であり、これもまた次元の位相的定義を与えます。
局所ホモロジー
点を除いた空間の相対ホモロジー。多様体の次元を検出。Brouwerの定理の証明に使用。
被覆次元
開被覆の細分の重複度。一般の位相空間に定義可能。次元論の基礎。
