ホモロジー群は位相空間の「穴」を代数的に捉えます。ここでは基本的な空間のホモロジー群を具体的に計算します。
球面 のホモロジー
次元球面のホモロジー群は次の通りです。
は連結性を、 は 次元の「殻」を反映しています。
球面のホモロジーの証明
を上半球 と下半球 に分けると、共通部分は赤道 です。Mayer-Vietoris 完全列を用いて帰納的に計算できます。
は です（2つの連結成分）。被約ホモロジー を用いると統一的に扱えます。
トーラス のホモロジー
2次元トーラスのホモロジー群は
です。 の2つの生成元は経線と緯線に対応し、 の生成元はトーラス全体を表します。
次元トーラスのホモロジー
のホモロジーはKünnethの公式から計算できます。
では , , , です。
実射影空間 のホモロジー
整数係数ホモロジーは
ねじれ部分 が現れるのが特徴的です。
の例
のねじれは、 の非自明ループを2回繰り返すと自明になることに対応します。 は が向き付け不可能であることを反映しています。
複素射影空間 のホモロジー
偶数次元にのみ が現れます。 はCW複体として偶数次元の胞体のみを持つことに対応します。
種数 の閉曲面
向き付け可能な種数 の閉曲面 のホモロジーは
で球面、 でトーラス、 で「 個の穴が開いたトーラス」です。
クラインの壺
向き付け不可能な曲面なので であり、 にねじれが現れます。
楔和
（一点で接合した空間）の被約ホモロジーは
となります。
向き付け可能閉曲面
（基本類が存在）。ねじれなし。Poincaré双対性が成立。
向き付け不可能閉曲面
。 にねじれ が現れる。整数係数では基本類がない。
