ホモロジー群の計算例（球面、トーラス、射影空間）

ホモロジー群は位相空間の「穴」を代数的に捉えます。ここでは基本的な空間のホモロジー群を具体的に計算します。

球面 $S^n$ のホモロジー

$n$ 次元球面のホモロジー群は次の通りです。

$$H_k(S^n)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=0,n)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

$H_0\cong \mathbb{Z}$ は連結性を、$H_n\cong \mathbb{Z}$ は $n$ 次元の「殻」を反映しています。

球面のホモロジーの証明

$S^n$ を上半球 $D_{+}^n$ と下半球 $D_{-}^n$ に分けると、共通部分は赤道 $S^{n-1}$ です。Mayer-Vietoris 完全列を用いて帰納的に計算できます。

$S^0=\{-1,1\}$ は $H_0(S^0)\cong {\mathbb{Z}}^2$ です（2つの連結成分）。被約ホモロジー ${\tilde{H}}_0(S^0)\cong \mathbb{Z}$ を用いると統一的に扱えます。

トーラス $T^2$ のホモロジー

2次元トーラスのホモロジー群は

$$H_0(T^2)\cong \mathbb{Z},H_1(T^2)\cong {\mathbb{Z}}^2,H_2(T^2)\cong \mathbb{Z}$$

です。$H_1$ の2つの生成元は経線と緯線に対応し、$H_2$ の生成元はトーラス全体を表します。

$n$ 次元トーラスのホモロジー

$T^n=(S^1{)}^n$ のホモロジーはKünnethの公式から計算できます。

$$H_k(T^n)\cong {\mathbb{Z}}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}$$

$T^3$ では $H_0\cong \mathbb{Z}$, $H_1\cong {\mathbb{Z}}^3$, $H_2\cong {\mathbb{Z}}^3$, $H_3\cong \mathbb{Z}$ です。

実射影空間 ${\mathbb{RP}}^n$ のホモロジー

整数係数ホモロジーは

$$H_k({\mathbb{RP}}^n)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=0)\\ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}& (0<k<n,k\text{ が奇数})\\ 0& (0<k<n,k\text{ が偶数})\\ \mathbb{Z}& (k=n,n\text{ が奇数})\\ 0& (k=n,n\text{ が偶数})\end{array}$$

ねじれ部分 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が現れるのが特徴的です。

${\mathbb{RP}}^2$ の例

$$H_0({\mathbb{RP}}^2)\cong \mathbb{Z},H_1({\mathbb{RP}}^2)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},H_2({\mathbb{RP}}^2)=0$$

$H_1$ のねじれは、${\mathbb{RP}}^2$ の非自明ループを2回繰り返すと自明になることに対応します。$H_2=0$ は ${\mathbb{RP}}^2$ が向き付け不可能であることを反映しています。

複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^n$ のホモロジー

$$H_k({\mathbb{CP}}^n)\cong \{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}& (k=0,2,4,\dots ,2n)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$

偶数次元にのみ $\mathbb{Z}$ が現れます。${\mathbb{CP}}^n$ はCW複体として偶数次元の胞体のみを持つことに対応します。

種数 $g$ の閉曲面

向き付け可能な種数 $g$ の閉曲面 ${\Sigma }_g$ のホモロジーは

$$H_0({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z},H_1({\Sigma }_g)\cong {\mathbb{Z}}^{2g},H_2({\Sigma }_g)\cong \mathbb{Z}$$

$g=0$ で球面、$g=1$ でトーラス、$g\ge 2$ で「$g$ 個の穴が開いたトーラス」です。

クラインの壺

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z},H_1(K)\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},H_2(K)=0$$

向き付け不可能な曲面なので $H_2=0$ であり、$H_1$ にねじれが現れます。

楔和

$X\vee Y$（一点で接合した空間）の被約ホモロジーは

$${\tilde{H}}_n(X\vee Y)\cong {\tilde{H}}_n(X)\oplus {\tilde{H}}_n(Y)$$

${\tilde{H}}_n(S^k\vee S^l)\cong {\tilde{H}}_n(S^k)\oplus {\tilde{H}}_n(S^l)$ となります。