ボルスク・ウラムの定理（地球上には気温も気圧も同じ対蹠点がある）

地球のどの瞬間にも、気温と気圧が同じになる対蹠点の組が存在します。観測しなくても、連続でありさえすれば言えてしまう。

もとになっているのがボルスク・ウラムの定理です^[1]。$n$ 次元球面から $n$ 次元ユークリッド空間への連続写像は、必ずどこかで対蹠点を同じ値へ送る。

以下では主張と同値な言い換えを並べ、低次元での証明を書き下し、離散版と応用まで扱います。

主張

$f:S^n\to {\mathbb{R}}^n$ を連続写像とすると、$f(x)=f(-x)$ となる $x\in S^n$ が存在します^[1,2]。

行き先の次元が球面の次元と同じ、というところが条件です。${\mathbb{R}}^{n+1}$ へなら包含写像が反例になる。

ウラムが予想し、ボルスクが 1933 年に証明しました^[2]。

3 つの同値な形

書き方を変えると、見え方が変わります。

1 つ目から 2 つ目へは $g(x)=f(x)-f(-x)$ とおく。2 つ目から 3 つ目へは、零点がなければ $g/|g|$ が奇写像になることを使います^[1]。

3 つ目がいちばん扱いやすい形です。存在しないことを示せばよい。

$n=1$ の場合

$f:S^1\to \mathbb{R}$ をとり、$g(x)=f(x)-f(-x)$ とおきます。$g$ は奇関数。

$g(x_0)>0$ なる点があれば $g(-x_0)<0$ です。円周は連結なので、中間値の定理から $g$ は $0$ をとります^[4]。

赤道上に、気温の等しい対蹠点の組が必ずある。証明はこれだけで済みます。

$n=2$ の場合

奇写像 $h:S^2\to S^1$ があったとします。$S^2$ の赤道に制限すると $S^1\to S^1$ の奇写像。

奇写像の次数は奇数になるので、$0$ ではありません。ところが赤道は $S^2$ の中で $1$ 点に縮むので、制限は零ホモトピックのはず^[4]。

次数が $0$ と奇数の両方になり、矛盾します。したがって奇写像は存在しません。

対蹠点の値がそろう様子

球面上で $f(x)$ と $f(-x)$ を追いかけます。

2 本の目盛りが上下します。差が $0$ になる瞬間が必ずあり、それが対蹠点で値がそろう場所。

差の関数は奇関数なので、正の値と負の値の両方をとります。連結なら途中で $0$ を通る。

例：気温と気圧

$f:S^2\to {\mathbb{R}}^2$ を、地表の各点に気温と気圧の組を返す写像とします。

定理から、$f(x)=f(-x)$ となる $x$ が存在する^[1]。気温と気圧の両方が一致する対蹠点の組。

観測は一切していません。連続性だけから出る結論です。

例：赤道上の気温

$n=1$ の場合が、いちばん身近な形です。赤道に沿って気温を測ると、地球の裏側と同じ温度になる点がある。

$1$ 変数なら中間値の定理で済みます。$2$ 変数にすると位相の道具が要る。

次元が上がると難しさが変わる、という見本になっています。

一般次元の証明

$n\ge 3$ では、ホモロジーやホモトピー群を使います。奇写像 $S^n\to S^{n-1}$ が存在しないことを示す形。

奇写像は ${\mathbb{RP}}^n\to {\mathbb{RP}}^{n-1}$ を誘導し、基本群の準同型を見ると矛盾が出ます。

組み合わせ的な証明もあります。タッカーの補題を使う道筋^[3]。

例：奇写像の次数は奇数

$S^1\to S^1$ の奇写像を考えます。$g(-x)=-g(x)$ を満たすもの。

角度で書けば $\theta \mapsto \psi (\theta )$ で、$\psi (\theta +\pi )=\psi (\theta )+\pi (\mathrm{mod}2\pi )$。半周ぶんの増分が $\pi$ の奇数倍になります。

一周すると増分は 2 倍になり、$2\pi$ の奇数倍。つまり次数が奇数で、$0$ にはなりません^[1]。

例：タッカーの補題を平面で見る

正方形の三角形分割で、境界のラベルが対蹠対称になっているものを描きます。

境界を見ると、向かい合う位置のラベルが符号だけ逆になっています。この対称性が仮定。

すると内部のどこかに、同じ数の正と負を結ぶ辺が必ず現れます^[3]。避けようとしても避けられない。

タッカーの補題

$n$ 次元球体の三角形分割で、境界が対蹠対称になっているものをとります。

各頂点に $\{\pm 1,\dots ,\pm n\}$ のラベルを付け、境界では $L(-v)=-L(v)$ を満たすようにする^[3]。

すると、同じ数で符号だけ違う 2 頂点を結ぶ辺が必ず存在します。これが補完辺。

補題から定理へ

奇写像 $g$ が与えられたら、各頂点を「$g$ の成分のうち絶対値が最大のもの」の番号と符号でラベル付けします。

奇性からラベルも境界で奇になり、タッカーの補題が使えます。補完辺の両端では、同じ成分が正と負をとる^[3]。

三角形分割を細かくしていくと、その成分が $0$ に近づく点が出ます。極限で零点が現れる。

リュステルニク・シュニレルマンの被覆版

$S^n$ を $n+1$ 個の閉集合で覆うと、そのうち少なくとも 1 つが対蹠点の組を含みます^[1,4]。

ボルスク・ウラムと同値な言い換えです。被覆の言葉に翻訳した形。

$n=2$ なら、球面を 3 つの閉集合で覆ったとき、どれか 1 つに対蹠点の組が入る。

系：$S^n$ は ${\mathbb{R}}^n$ に埋め込めない

$S^n$ の部分集合として ${\mathbb{R}}^n$ に同相なものはありません^[1]。

埋め込みがあれば単射な連続写像 $S^n\to {\mathbb{R}}^n$ ができ、$f(x)=f(-x)$ が単射性に反する。

円周が直線に埋め込めない、球面が平面に埋め込めない、という素朴な事実の一般化です。

系：ハム・サンドイッチ定理

${\mathbb{R}}^n$ の $n$ 個の有界な可測集合は、1 枚の超平面で同時に二等分できます^[1,4]。

超平面を球面でパラメータ表示し、各集合の片側の量を並べて $S^n\to {\mathbb{R}}^n$ を作る。対蹠点は表裏を入れ替えた超平面に対応します。

定理から値のそろう点が出て、それが同時に二等分する超平面。

超平面が回って同時に二等分する

$2$ 次元で、1 本の直線が 2 つの図形を同時に二等分する様子を描きます。

直線の向きを回すと、2 つの片寄りが同時に $0$ になる角度があります。

向きを $S^1$ でパラメータ表示し、2 つの片寄りを組にすると $S^1\to \mathbb{R}$ の形になります。対蹠点は同じ直線を裏返したものに当たり、片寄りの符号が反転する。ボルスク・ウラムが $0$ を保証する^[4]。

同変位相幾何へ

対蹠写像は $S^n$ に自由な $\mathbb{Z}/2$ 作用を与えます。証明の中心は、この作用を保つ写像が次元を下げられないこと。

一般の群 $G$ が作用する空間へ広げたものが同変位相幾何です。ボルスク・ウラムはその出発点にあたる。

組み合わせ論への応用が多く出ています。ネックレス分割やクネーザーグラフの彩色数がその例^[4]。

系：ネックレス分割

$t$ 色のビーズを並べたネックレスを、$t$ 回の切断で 2 人に公平に分けられます^[4]。

ビーズの並び方によらず、切断回数が色の数だけで押さえられる。

離散的な主張ですが、証明は連続版のボルスク・ウラムを通ります。

何が効いているのか

証明の中心は「奇写像が次元を下げられない」という一点です。

対蹠写像は $S^n$ に自由な $\mathbb{Z}/2$ 作用を与えます。作用を保ったまま次元を落とせない、という形に読み替えられる。

同変位相幾何と呼ばれる分野の出発点になっています。

よくある誤り

参考文献