自由群は生成元に関係式を課さない「最も自由な」群である。普遍性により特徴づけられ、群の表示の基礎となる。 自由群の直感的定義 集...

Galois 理論は群論と体論を結びつけ、代数方程式の可解性を群の可解性で特徴づける。5次以上の一般代数方程式がべき根で解けない...

導来列と下中心列は群の「可換からのずれ」を測る基本的な系列である。導来列は可解性を、下中心列は冪零性を特徴づける。 交換子 $a...

冪零群は可解群より強い条件を満たす群のクラスである。$p$-群はすべて冪零群であり、冪零群は可解群の重要な部分クラスをなす。 冪...

可解群は「可換な部分に分解できる」群であり、Galois 理論において代数方程式の可解性と直結する概念である。 可解群の定義 群...

対称群の共役類は置換の巡回型によって完全に決定される。これは対称群の表現論の出発点となり、分割数や Young 図形と深く関わる...

$A_n$（$n \geq 5$）は単純群であり、非可換単純群の最も基本的な例である。この事実は Galois 理論において5次...

置換の符号は置換を偶置換と奇置換に分類する。交代群は偶置換全体からなる群であり、対称群の重要な正規部分群である。 互換 2つの元...

Sylow の定理を用いると、小さい位数の群を分類できる。位数が小さい場合は、Sylow 部分群の個数に関する制約から群の構造が...

共役類は共役作用による軌道であり、群の元を分類する基本的な方法である。類等式は有限群の構造、特に $p$-群や単純群の解析に不可...

軌道・安定化群定理は軌道の大きさと安定化群の位数を結びつける基本定理である。数え上げや群の構造解析に広く応用される。 軌道・安定...

群の直積は2つの群から新しい群を構成する基本的な操作である。半直積はより一般的な構成であり、非可換な群を組み立てる方法を提供する...

剰余類は群を部分群で「割った」ときに現れる構造である。Lagrange の定理は有限群の部分群の位数に関する基本的な制約を与える...

群は代数学における最も基本的な構造の一つである。対称性を抽象化した概念であり、数学のあらゆる分野に現れる。 群の定義 集合 $G...

圏論は位相幾何学の構造を整理し、異なる理論間の関係を明確にする言語です。ここでは圏論の基本概念と位相幾何学への応用を解説します。...

層コホモロジーは位相空間上の「局所から大域への障害」を測る理論です。代数幾何学や複素解析で中心的な役割を果たし、de Rham ...

Stokesの定理は微分形式の積分と外微分を結びつける基本定理です。Green の定理、発散定理、古典的な Stokes の定理...

de Rhamの定理は、滑らかな多様体上のde Rhamコホモロジーと特異コホモロジーが同型であることを主張します。ここでは層コ...

懸垂（suspension）とループ空間は互いに随伴の関係にある基本的な構成です。これらはホモトピー群の次元をシフトさせ、安定ホ...

Whiteheadの定理は、CW複体の間の弱ホモトピー同値がホモトピー同値であることを主張します。ホモトピー論においてCW複体が...

ファイバー束のホモトピー群の間には長完全列が存在します。これを用いると、複雑な空間のホモトピー群を計算できます。 ファイバー束の...

CW複体は胞体（cell）を順次貼り付けて構成される空間で、代数的位相幾何学の基本的な対象です。多くの位相空間はCW複体とホモト...

特性類はベクトル束や主束の「ねじれ」を測るコホモロジー類です。Stiefel-Whitney類とChern類は最も基本的な特性類...

Hopfファイブレーションは $S^3$ から $S^2$ への自然なファイバー束で、代数的位相幾何学の最も美しい例の一つです。...