距離空間の完備化の一意性

距離空間の完備化は「本質的に一意」です。ここでは一意性の正確な意味と、完備化の一意性の証明を解説します。

一意性とは何か

数学で「一意」という言葉は文脈によって異なる意味を持ちます。

最も素朴な一意性は「ただ一つ存在する」という意味です。例えば「方程式 $x^2=4$, $x>0$ の解は一意」とは、正の解が $x=2$ のただ一つであることを意味します。

しかし、構成によって定まる対象の一意性は、通常「同型を除いて一意」という意味になります。

同型を除いて一意

「同型を除いて一意」とは、条件を満たす対象が複数構成できても、それらがすべて同型であることを意味します。

例えば、実数の完備性を満たす順序体は $\mathbb{R}$ のみですが、$\mathbb{R}$ の具体的な構成法は複数あります。

これらはすべて同型な順序体を与えるので、「実数体は同型を除いて一意」といいます。

普遍性による一意性

より強い一意性の概念として、普遍性（universal property）による特徴づけがあります。

対象 $X$ が普遍性を満たすとき、同じ普遍性を満たす任意の対象 $X^{\prime }$ に対して、$X$ と $X^{\prime }$ の間に標準的な同型が存在します。この同型は構成に依存せず自然に定まります。

完備化の定義

距離空間 $(X,d)$ の完備化とは、完備距離空間 $(\tilde{X},\tilde{d})$ と等長埋め込み $\iota :X\to \tilde{X}$ の組で、$\iota (X)$ が $\tilde{X}$ で稠密となるものです。

等長埋め込みとは、任意の $x,y\in X$ に対して $\tilde{d}(\iota (x),\iota (y))=d(x,y)$ を満たす写像です。

完備化の存在

完備化の存在は Cauchy 列の同値類として構成できます。

$X$ 上の Cauchy 列全体を $\mathcal{C}$ とし、$(x_n)\sim (y_n)\iff {\lim }_{n\to \infty }d(x_n,y_n)=0$ で同値関係を定めます。$\tilde{X}=\mathcal{C}/\sim$ とし、

$$\tilde{d}([(x_n)],[(y_n)])=\underset{n\to \infty }{\lim }d(x_n,y_n)$$

で距離を定めます。$\iota (x)=[(x,x,x,\dots )]$（定値列）で埋め込みを定義します。

完備化の普遍性

完備化は次の普遍性を満たします。

$(\tilde{X},\iota )$ を $(X,d)$ の完備化とする。任意の完備距離空間 $(Y,d_Y)$ と任意の一様連続写像 $f:X\to Y$ に対して、一様連続写像 $\tilde{f}:\tilde{X}\to Y$ で $\tilde{f}\circ \iota =f$ を満たすものが一意に存在する。

図式で書くと、

となり、$f$ は $\tilde{X}$ を経由して一意に拡張されます。

一意性の証明

完備化が同型を除いて一意であることを示します。

$({\tilde{X}}_1,{\iota }_1)$ と $({\tilde{X}}_2,{\iota }_2)$ を $(X,d)$ の完備化とします。

${\iota }_1:X\to {\tilde{X}}_1$ は等長写像なので一様連続です。${\tilde{X}}_2$ は完備なので、普遍性により ${\tilde{\iota }}_1:{\tilde{X}}_2\to {\tilde{X}}_1$ で ${\tilde{\iota }}_1\circ {\iota }_2={\iota }_1$ を満たすものが存在します。

同様に ${\tilde{\iota }}_2:{\tilde{X}}_1\to {\tilde{X}}_2$ で ${\tilde{\iota }}_2\circ {\iota }_1={\iota }_2$ を満たすものが存在します。

合成 ${\tilde{\iota }}_1\circ {\tilde{\iota }}_2:{\tilde{X}}_1\to {\tilde{X}}_1$ を考えると、

$$({\tilde{\iota }}_1\circ {\tilde{\iota }}_2)\circ {\iota }_1={\tilde{\iota }}_1\circ {\iota }_2={\iota }_1={\mathrm{id}}_{{\tilde{X}}_1}\circ {\iota }_1$$

となります。${\iota }_1(X)$ は ${\tilde{X}}_1$ で稠密であり、一様連続写像の拡張の一意性から ${\tilde{\iota }}_1\circ {\tilde{\iota }}_2={\mathrm{id}}_{{\tilde{X}}_1}$ です。

同様に ${\tilde{\iota }}_2\circ {\tilde{\iota }}_1={\mathrm{id}}_{{\tilde{X}}_2}$ なので、${\tilde{\iota }}_1$ と ${\tilde{\iota }}_2$ は互いに逆写像であり、${\tilde{X}}_1\cong {\tilde{X}}_2$ です。

等長同型としての一意性

上の証明をより詳しく見ると、${\tilde{\iota }}_1$ と ${\tilde{\iota }}_2$ は等長写像です。

${\iota }_1,{\iota }_2$ が等長であることと、稠密部分集合上で距離が決まることから、${\tilde{\iota }}_1$ も等長となります。したがって、2つの完備化は等長同型です。

標準的同型の意味

一意性の証明で構成された同型 ${\tilde{\iota }}_1:{\tilde{X}}_2\to {\tilde{X}}_1$ は、埋め込みと整合的です。すなわち、$X$ の点は両方の完備化で「同じ場所」に対応します。

この同型は $X$ の稠密性と拡張の一意性から自動的に定まるので、「標準的」あるいは「自然」な同型と呼ばれます。構成の詳細に依存しない同型です。

他の完備化の例

有理数 $\mathbb{Q}$ の通常の距離による完備化は $\mathbb{R}$ です。

$\mathbb{Q}$ の $p$ 進距離 $d_p(x,y)=|x-y{|}_p$ による完備化は $p$ 進数体 ${\mathbb{Q}}_p$ です。異なる距離からは異なる完備化が得られます。

一意性が成り立たない場合

普遍性を満たさない構成では、一意性が成り立たないことがあります。

例えば、「$X$ を含む完備距離空間」という条件だけでは一意になりません。$\mathbb{Q}$ を含む完備距離空間として $\mathbb{R}$ も ${\mathbb{R}}^2$ もありえます。「稠密に埋め込む」という条件が一意性に本質的です。