ハム・サンドイッチ定理はBorsuk-Ulamの定理の応用として有名な結果です。 個の対象を1つの超平面で同時に二等分できることを主張します。
定理の主張
内の 個の有界可測集合 （それぞれ正の測度を持つ）に対して、すべてを同時に二等分する超平面が存在する。
二等分とは、超平面の両側に各集合の測度の半分ずつが含まれることです。
の場合（ハム・サンドイッチ）
で3つの対象（パン2枚とハム1枚）を1つの平面で同時に二等分できます。
サンドイッチを1回の直線的な切断で、パン・ハム・パンをすべて公平に分けられるという意味で、この定理は「ハム・サンドイッチ定理」と呼ばれます。
の場合
平面上の2つの有界可測集合を、1本の直線で同時に二等分できます。
ピザとフライドポテトを1本の直線で同時に半分ずつに分けられます。
Borsuk-Ulamからの証明
超平面は法線ベクトル と原点からの距離 で指定できます。
を、 で定義します。 は、法線 の超平面で を二等分するときの距離パラメータです。
各 は連続で、 です（法線を逆にすると距離の符号が変わる）。
したがって を考えると、Borsuk-Ulamの定理から となる が存在します。
この に対して となり、すべての集合を同時に二等分する超平面が存在します。
離散版
個の有限点集合に対しても、各集合を（ほぼ）二等分する超平面が存在します。点が超平面上にないとき、両側の点数の差は高々1です。
一般化：質量の等分割
より一般に、 上の 個の絶対連続測度を同時に二等分する超平面が存在します。
Stone-Tukey定理
個の測度を 等分するには、 個の平行な超平面が必要です。Stone-Tukey定理はこの一般化を与えます。
応用：公平分割
ハム・サンドイッチ定理は公平分割問題の数学的基礎となります。
計算複雑性
2次元の場合、2つの凸多角形を二等分する直線は 時間で計算できます。一般の次元では問題は複雑になります。
関連する結果
パンケーキ定理： の2つの有界集合を1本の直線で二等分できる（ の場合）。
個の集合を1つの超平面で同時に二等分。Borsuk-Ulamの応用。
複数人で複数の対象を公平に分ける。羨望のない分割、Pareto効率性などの概念。組み合わせ論とトポロジーの接点。
