被覆空間と基本群〜ループを持ち上げて閉じるかどうかを見る

$p(t)=e^{2\pi it}$ で、実数直線 $\mathbb{R}$ を円周 $S^1$ に巻きつけます。円周のループに対し、$p$ で写すとそのループになる $\mathbb{R}$ の道をとる操作が持ち上げです。

点 $1$ から 1 周するループは、$\mathbb{R}$ の $0$ から持ち上げると $1$ で終わり、閉じない。2 周なら $0$ から $2$ へ、逆向きに 1 周なら $0$ から $-1$ へ持ち上がり、終点を見れば何周したかが分かります。

基点を動かさずにループを連続に変形しても、この終点は動きません^[1]。被覆空間の点を見れば、基本群の元が見分けられる。

被覆写像の定義

連続写像 $p:\tilde{X}\to X$ が被覆写像であるとは、$X$ のどの点も次のような開近傍 $U$ を持つことをいいます^[1]。$p^{-1}(U)$ は互いに交わらない開集合の和に分かれ、どの開集合も $p$ によって $U$ へ同相に写る。

$\tilde{X}$ を被覆空間、$X$ を底空間、$p^{-1}(x)$ を $x$ の上のファイバーと呼びます。

冒頭の $p$ では、円周の短い弧 $U$ の逆像は、$U$ と同じ長さの区間を $1$ ずつずらして並べたものです。$\mathbb{R}$ をらせんに描くと、それらの区間が $U$ の真上に積み重なる。

ファイバーは離散的な点の集まりで、$X$ が連結なら点の個数はどこでも同じになります^[2]。個数が $n$ なら $n$ 重被覆という。

よく使う被覆写像とファイバーは次のとおり^[2,3]。

例：被覆にならない写像

$\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}$ への $z\mapsto z^2$ は被覆写像ではありません。$0$ の上のファイバーは $0$ だけで、ほかの点の上は 2 点になり、個数がそろわないため^[3]。$\mathbb{C}\setminus \{0\}$ に制限すれば 2 重被覆になる。

$p(t)=e^{2\pi it}$ を区間 $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ に制限した $p^{\prime }$ は全射で、各点の近くでは同相に写りますが、被覆写像にはなりません。

点 $1$ のまわりの短い弧 $U$ をとると、逆像は $t=1$ を含む区間と、$0$ のすぐ右の短い区間 $(0,\epsilon )$ に分かれる。後ろの区間は、$U$ の片側半分にしか写りません。

道の持ち上げも途中で止まる。$e^{2\pi is}$ の $s$ を $\frac{2}{5}$ から $\frac{3}{5}$ まで動かす道を $t=\frac{7}{5}$ から持ち上げると、$t=s+1$ になる。$s$ が $\frac{1}{2}$ に近づくと $t$ は区間の端 $\frac{3}{2}$ に近づき、その先へは続きません。

道の持ち上げ

被覆写像 $p:\tilde{X}\to X$ と、$X$ の道 $\gamma :[0,1]\to X$ をとります。$\gamma (0)$ の上の点 ${\tilde{x}}_0$ を 1 つ選ぶと、次の 2 つを満たす道 $\tilde{\gamma }$ がちょうど 1 つある^[1]。

$$p\circ \tilde{\gamma }=\gamma ,\tilde{\gamma }(0)={\tilde{x}}_0$$

この $\tilde{\gamma }$ を ${\tilde{x}}_0$ から始まる $\gamma$ の持ち上げといいます。

証明では $[0,1]$ を細かく分ける。定義の条件を満たす開集合 $U$ で $X$ を覆うと、${\gamma }^{-1}(U)$ の全体がコンパクトな $[0,1]$ を覆い、ルベーグ数より短い小区間はどれも 1 つの $U$ の中へ写る^[2]。

持ち上げた小区間は連結だから、交わらない開集合のうち始点を含む 1 つに収まり、各段の持ち上げ方は 1 通りに決まる。

例：円周の 3 重被覆

$q:S^1\to S^1$、$q(z)=z^3$ とします。$1$ の上のファイバーは、$\zeta =e^{2\pi i/3}$ として $1$、$\zeta$、${\zeta }^2$ の 3 点です。

1 周のループ $\omega (s)=e^{2\pi is}$ を $1$ から持ち上げると $\tilde{\omega }(s)=e^{2\pi is/3}$ になる。$q(\tilde{\omega }(s))=e^{2\pi is}$ で、終点は $\tilde{\omega }(1)=\zeta$ です。

$\zeta$ から持ち上げれば ${\zeta }^2$ で、${\zeta }^2$ から持ち上げれば $1$ で終わる。同じループの持ち上げを 3 回つなげたところで、はじめて出発点に戻ります。

ホモトピーの持ち上げ

$x_0$ から $x_1$ へ向かう $X$ の道 $\gamma$、$\delta$ をとります。両端を止めたホモトピー $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ で $\gamma$ から $\delta$ へ変形できるとき、$x_0$ の上の点 ${\tilde{x}}_0$ を選べば、$F$ も ${\tilde{x}}_0$ を始点としてただ 1 つの $\tilde{F}$ に持ち上がる^[1]。

示し方は道のときと同じで、正方形を小さな正方形に分け、左下から順に持ち上げていきます^[2]。

持ち上げた正方形の左の辺は、$x_0$ にとどまる定値の道の持ち上げなので ${\tilde{x}}_0$ から動かない。右の辺も定値の道の持ち上げで、1 点にとどまります^[3]。

下の辺と上の辺は、${\tilde{x}}_0$ から始まる $\gamma$ と $\delta$ の持ち上げ $\tilde{\gamma }$、$\tilde{\delta }$ そのものです。右の辺が 1 点だから、2 つの終点は一致する。

$$\tilde{\gamma }(1)=\tilde{\delta }(1)$$

基本群がファイバーに作用する

$x_0$ の上にある点 $\tilde{x}$ と、${\pi }_1(X,x_0)$ の元 $[\gamma ]$ をとります。$\gamma$ を $\tilde{x}$ から持ち上げた道の終点を $\tilde{x}\cdot [\gamma ]$ と書く^[2]。前の節から、終点は類 $[\gamma ]$ だけで決まる。

$\gamma$ を持ち上げた終点から続けて $\delta$ を持ち上げると、つないだループ $\gamma \delta$ の持ち上げになります。だから次の式が成り立つ^[2]。

$$\tilde{x}\cdot ([\gamma ][\delta ])=(\tilde{x}\cdot [\gamma ])\cdot [\delta ]$$

これは、基本群がファイバーの点を動かす作用になっています。3 重被覆の例では、$[\omega ]$ が $1\to \zeta \to {\zeta }^2\to 1$ の順に 3 点を送っていた。

$\tilde{X}$ が弧状連結なら、この作用は推移的です。ファイバーの点 $\tilde{x}$ へ ${\tilde{x}}_0$ から $\tilde{X}$ の中で道を引いて $p$ で落とすと、${\tilde{x}}_0\cdot [\gamma ]=\tilde{x}$ となるループ $\gamma$ が得られる^[1]。

例：射影平面のループ

$p:S^2\to \mathbb{R}{P}^2$ は、$x$ と $-x$ を同じ点に写す 2 重被覆です。北極 $N$ から南極 $-N$ へ大円の半分を進む道 $\tilde{\gamma }$ をとり、$\gamma =p\circ \tilde{\gamma }$ と置く。

$N$ と $-N$ は $\mathbb{R}{P}^2$ では同じ点で、$\gamma$ は閉じたループになります。$N$ から持ち上げると $\tilde{\gamma }$ そのもので、$-N$ で終わる。

$-N$ から持ち上げると $-\tilde{\gamma }$ になり、こちらは $N$ で終わります。$[\gamma ]$ はファイバーの 2 点をいれかえる^[1]。

$\gamma$ を 2 回つないだループは、$N$ から持ち上げると大円を 1 周して $N$ に戻る。$S^2$ は単連結だからこの大円は $S^2$ の中で縮み、$p$ で落とせば ${\gamma }^2$ も縮みます。

$\gamma$ 自身は、持ち上げが閉じないため縮まない。$[\gamma ]$ は位数 2 の元です^[1]。

$p_{\ast }$ は単射になる

$p({\tilde{x}}_0)=x_0$ のとき、$p$ から誘導される準同型 $p_{\ast }:{\pi }_1(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)\to {\pi }_1(X,x_0)$ は単射です^[1]。

$\tilde{X}$ のループ $\tilde{\gamma }$ を $p$ で落としたループが、ホモトピー $F$ で定値のループへ縮むとする。$F$ を ${\tilde{x}}_0$ から持ち上げると、一意性から始まりは $\tilde{\gamma }$、終わりは定値のループになり、$\tilde{\gamma }$ も $\tilde{X}$ の中で縮む^[1]。

像を $H=p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)$ と置く。$H$ に入るのは ${\tilde{x}}_0$ から持ち上げたときに閉じるループの類で、作用でいえば ${\tilde{x}}_0$ を動かさない元の全体です^[1]。

例：$z\mapsto z^n$ の像

$q(z)=z^n$ で、被覆空間の側を 1 周するループ $s\mapsto e^{2\pi is}$ を落とすと $s\mapsto e^{2\pi ins}$ になり、底空間の円周を $n$ 周する。

${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ と見れば、$q_{\ast }$ は $n$ 倍する写像で、単射です。像は $n\mathbb{Z}$ で、$1$ から持ち上げて閉じるのは $n$ の倍数回まわるループに限られる^[2]。

ファイバーの点と剰余類

$\tilde{X}$ と $X$ が弧状連結なら、次の対応は全単射です^[1]。

$$H[\gamma ]⟼{\tilde{x}}_0\cdot [\gamma ]$$

左辺は $H[\gamma ]$ の形の剰余類、右辺は $x_0$ の上にあるファイバーの点。

$H$ の元は ${\tilde{x}}_0$ を動かさないため、剰余類の代表を替えても行き先は変わりません。全射なのは、作用が推移的だから。

${\tilde{x}}_0\cdot [{\gamma }_1]={\tilde{x}}_0\cdot [{\gamma }_2]$ なら、$[{\gamma }_1][{\gamma }_2{]}^{-1}$ は ${\tilde{x}}_0$ を動かさずに $H$ に入り、$H[{\gamma }_1]=H[{\gamma }_2]$ となるため、単射でもあります。

ファイバーの点の個数は、部分群 $H$ の指数に等しい^[1]。

ファイバーの別の点 ${\tilde{x}}_0\cdot [\gamma ]$ を基点に選び直すと、部分群は $H$ と共役な $[\gamma {]}^{-1}H[\gamma ]$ に替わる^[1]。

例：トーラスの 2 重被覆で閉じるループ

$T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ の基本群は ${\mathbb{Z}}^2$ です。次の 3 つのループの類は、それぞれ $(1,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ になる。

$${\alpha }_1(t)=(t,0),{\alpha }_2(t)=(0,t),{\alpha }_3(t)=(t,t)$$

縦の向きだけを 2 倍に広げた $q:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}/2\mathbb{Z}\to T^2$ をとります。$(x,y)$ の $y$ を $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の元として読み直す写像で、2 重被覆です。

$(0,0)$ を始点にとると、${\alpha }_1$ の持ち上げ $(t,0)$ は閉じる。${\alpha }_2$ の持ち上げ $(0,t)$ は $(0,1)$ で、${\alpha }_3$ の持ち上げ $(t,t)$ は $(0,1)$ と同じ点 $(1,1)$ で終わり、どちらも閉じません。

$q_{\ast }$ の像は第 2 成分が偶数の元の全体で、指数は 2。ファイバーの点も $(0,0)$ と $(0,1)$ の 2 個で、数が合います。

${\mathbb{Z}}^2$ の指数 2 の部分群 $L$ をとると、${\mathbb{R}}^2/L\to {\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ は 2 重被覆で、像は $L$ そのものです^[2]。そうした部分群は 3 つあり、閉じるループがそれぞれ違う。

写像が持ち上がる条件

$Y$ を弧状連結かつ局所弧状連結な空間、$f:(Y,y_0)\to (X,x_0)$ を連続写像とします。$p\circ \tilde{f}=f$、$\tilde{f}(y_0)={\tilde{x}}_0$ を満たす $\tilde{f}$ が存在するための必要十分条件は、次の包含です^[1]。

$$f_{\ast }{\pi }_1(Y,y_0)\subset p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)$$

条件が必要なのは、$f=p\circ \tilde{f}$ から $f_{\ast }=p_{\ast }\circ {\tilde{f}}_{\ast }$ となり、像が $p_{\ast }$ の像に収まるため。

逆向きは、$\tilde{f}$ を道の持ち上げで決めて示します。$y\in Y$ へ $y_0$ から道 $\eta$ を引き、$f\circ \eta$ を ${\tilde{x}}_0$ から持ち上げた終点を $\tilde{f}(y)$ とする^[1]。

別の道 ${\eta }^{\prime }$ を選んだとする。$f\circ {\eta }^{\prime }$ のあとに $f\circ \eta$ を逆にたどったループの類は $f_{\ast }{\pi }_1(Y,y_0)$ に入って $H$ にも入り、持ち上げると閉じます。だから $f\circ {\eta }^{\prime }$ と $f\circ \eta$ の持ち上げは同じ点で終わり、$\tilde{f}(y)$ は道の選び方によらない。

$Y$ が連結なら、1 点で一致する 2 つの持ち上げは $Y$ 全体で一致し、持ち上げは 1 通りに決まります^[1]。一致する点の集合が、開集合でも閉集合でもあるため。

例：球面から円周への写像

連続写像 $f:S^2\to S^1$ をとります。${\pi }_1(S^2)$ は自明で条件が成り立ち、$f$ は $\tilde{f}:S^2\to \mathbb{R}$ に持ち上がる。

$\mathbb{R}$ の中では、$u$ を $0$ から $1$ へ動かす $(1-u)\tilde{f}$ で $\tilde{f}$ を定値写像 $0$ へ縮められます。$p$ と合成すれば、$f$ から定値写像へのホモトピーになる。

$\mathbb{R}{P}^2$ から円周への写像も同じです。${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)\cong \mathbb{Z}/2$ の生成元の行き先 $m$ は $2m=0$ を満たし、$0$ に決まる。$f_{\ast }$ の像は自明で、やはり持ち上がって縮みます^[1]。

逆に、恒等写像 $S^1\to S^1$ は持ち上がらない。像の $\mathbb{Z}$ が $p_{\ast }{\pi }_1(\mathbb{R})=0$ に収まらないため。

例：局所弧状連結でない空間

仮定を外すと、包含の条件を満たしても持ち上がらない写像があります^[1]。

$y=\sin \frac{1}{x}$ のグラフの一部と $y$ 軸上の線分 $J=\{0\}\times [-1,1]$ を弧で下からつなぎ、できた空間を $Y$ とする。グラフは $x\to 0$ で激しく振動し、$J$ にいくらでも近づく。

道はグラフの振動する部分を通り抜けて $J$ までたどり着けません。$Y$ のループは 1 周できずにどれも縮み、${\pi }_1(Y)$ は自明になる。

$J$ を 1 点につぶすと $Y$ は円周になり、つぶす写像 $f:Y\to S^1$ が得られる。$f_{\ast }{\pi }_1(Y)$ は自明で条件を満たすのに、$f$ は $\mathbb{R}$ へ持ち上がりません^[1]。

持ち上がったとすると、$J$ は $f$ で 1 点に写る連結な集合だから、$\tilde{f}$ は $J$ の上で 1 つの整数 $k$ をとります。

弧からグラフへとたどると $f$ は円周を 1 周し、グラフの振動する部分で $\tilde{f}$ は $k+1$ か $k-1$ に近い値になる。そこは $J$ にいくらでも近く、$\tilde{f}$ は連続になれません。

普遍被覆とファイバー

$\tilde{X}$ が単連結な被覆空間を普遍被覆といいます。このとき $H$ は自明で、ファイバーの点と ${\pi }_1(X,x_0)$ の元が 1 対 1 に対応する^[1]。

$\mathbb{R}\to S^1$ ではファイバーの整数点が ${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ に、${\mathbb{R}}^2\to T^2$ では格子点が ${\mathbb{Z}}^2$ に対応します。$n\ge 2$ の $S^n\to \mathbb{R}{P}^n$ なら、$x$ と $-x$ の 2 点が ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^n)\cong \mathbb{Z}/2$ の 2 つの元にあたる^[1]。

ループを持ち上げて、終点がファイバーのどこにくるかを見る。$p_{\ast }$ が単射であることも、ファイバーの点の個数も、写像が持ち上がる条件も、この操作から導けます。

出典