被覆空間と基本群の関係

被覆空間は基本群を計算し理解するための強力な道具です。被覆空間の分類は基本群の部分群の分類に帰着されます。

被覆空間の定義

連続写像 $p:\tilde{X}\to X$ が被覆写像（covering map）であるとは、各点 $x\in X$ に対して開近傍 $U$ が存在し、$p^{-1}(U)$ が互いに素な開集合の和 ${⨆}_{\alpha }{V}_{\alpha }$ として書け、各 $p{|}_{V_{\alpha }}:V_{\alpha }\to U$ が同相写像となることです。

このとき $\tilde{X}$ を被覆空間、$X$ を底空間と呼びます。$U$ を均等被覆近傍といいます。

被覆空間の例

$p:\mathbb{R}\to S^1$, $p(t)=e^{2\pi it}$ は被覆写像です。$\mathbb{R}$ が $S^1$ を無限回巻いていると視覚化できます。各点 $z\in S^1$ のファイバー $p^{-1}(z)$ は $\mathbb{Z}$ と同一視できます。

$p:S^n\to {\mathbb{RP}}^n$, $p(x)=[x]$ は2重被覆です。各点のファイバーは対蹠点の対 $\{x,-x\}$ で、2点からなります。

$p:{\mathbb{R}}^2\to T^2$, $p(x,y)=(e^{2\pi ix},e^{2\pi iy})$ は被覆写像です。平面がトーラスを無限に覆います。

リフトの存在と一意性

被覆空間の重要な性質として、道やホモトピーのリフト（持ち上げ）があります。

$p:\tilde{X}\to X$ を被覆写像、$\gamma :[0,1]\to X$ を道とします。${\tilde{x}}_0\in p^{-1}(\gamma (0))$ を固定すると、$\tilde{\gamma }(0)={\tilde{x}}_0$ かつ $p\circ \tilde{\gamma }=\gamma$ を満たす道 $\tilde{\gamma }:[0,1]\to \tilde{X}$ が一意に存在します。

道のリフトは始点を決めると一意に定まります。

ホモトピーのリフト

ホモトピー $H:[0,1]\times [0,1]\to X$ も同様にリフトできます。

${\tilde{x}}_0\in p^{-1}(H(0,0))$ を固定すると、$\tilde{H}(0,0)={\tilde{x}}_0$ かつ $p\circ \tilde{H}=H$ を満たすホモトピー $\tilde{H}:[0,1]\times [0,1]\to \tilde{X}$ が一意に存在します。

基本群への作用

被覆写像 $p:\tilde{X}\to X$ と基点 $x_0\in X$, ${\tilde{x}}_0\in p^{-1}(x_0)$ に対して、準同型

$$p_{\ast }:{\pi }_1(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)\to {\pi }_1(X,x_0)$$

が誘導されます。$p_{\ast }$ はループをそのまま $X$ に射影する操作です。

$p_{\ast }$ の単射性

$p_{\ast }$ は常に単射です。

$\tilde{\gamma }$ が $\tilde{X}$ でのループで $p\circ \tilde{\gamma }$ が $X$ で自明（定値ループにホモトピック）ならば、そのホモトピーを $\tilde{X}$ にリフトできます。リフトされたホモトピーは $\tilde{\gamma }$ が自明であることを示します。

ファイバーと基本群の関係

重要な定理として、ファイバー $p^{-1}(x_0)$ と基本群の剰余類の間に全単射があります。

$$p^{-1}(x_0)⟷{\pi }_1(X,x_0)/p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)$$

特に、$\tilde{X}$ が単連結（${\pi }_1(\tilde{X})=0$）ならば、$|p^{-1}(x_0)|=|{\pi }_1(X,x_0)|$ です。

普遍被覆

単連結な被覆空間を普遍被覆（universal cover）といいます。

普遍被覆 $\tilde{X}$ が存在するとき、$p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X})=0$ なので

$${\pi }_1(X,x_0)\cong p^{-1}(x_0)/\text{(デッキ変換)}$$

となります。より正確には、${\pi }_1(X)\cong \mathrm{Deck}(\tilde{X}/X)$（デッキ変換群）です。

デッキ変換

デッキ変換（被覆変換）とは、被覆空間の自己同相 $\phi :\tilde{X}\to \tilde{X}$ で $p\circ \phi =p$ を満たすものです。

$\mathbb{R}\to S^1$ の被覆では、$t\mapsto t+n$（$n\in \mathbb{Z}$）がデッキ変換です。デッキ変換群は $\mathbb{Z}$ と同型であり、${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ と一致します。

$S^n\to {\mathbb{RP}}^n$ の被覆では、$x\mapsto -x$ がデッキ変換です。デッキ変換群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、${\pi }_1({\mathbb{RP}}^n)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と一致します。

被覆空間の分類定理

連結で局所弧状連結で半局所単連結な空間 $X$ に対して、次の1対1対応があります。

被覆 $p:\tilde{X}\to X$ に対して部分群 $p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X},{\tilde{x}}_0)\le {\pi }_1(X,x_0)$ が対応します。

分類定理の例

$S^1$ の基本群は $\mathbb{Z}$ です。$\mathbb{Z}$ の部分群は $n\mathbb{Z}$（$n=0,1,2,\dots$）です。

$n$ 重被覆 $z\mapsto z^n$ では、円周が自分自身を $n$ 回巻きます。

Galois被覆

$p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X})$ が ${\pi }_1(X)$ の正規部分群であるとき、被覆を正規被覆またはGalois被覆といいます。

このとき $\mathrm{Deck}(\tilde{X}/X)\cong {\pi }_1(X)/p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X})$ となり、群論のGalois対応と類似した構造があります。普遍被覆は常に正規被覆です。

被覆空間と持ち上げ問題

被覆空間の理論は、写像の持ち上げ問題に応用されます。

写像 $f:Y\to X$ が $\tilde{X}$ にリフトできる（$\tilde{f}:Y\to \tilde{X}$ で $p\circ \tilde{f}=f$ となるものが存在する）ための必要十分条件は

$$f_{\ast }{\pi }_1(Y)\subseteq p_{\ast }{\pi }_1(\tilde{X})$$

です。基本群の包含関係がリフトの存在を決定します。