局所環とは、ただ一つの極大イデアルを持つ可換環のこと。可換環 $R$ が局所環であることは、次の条件と同値である。 $R$ はた...

可換環の次元とは、環の「階層的な複雑さ」を示す概念で、幾何学的には空間の「次元」と対応します。とくに代数幾何学では、可換環と対応...

有限生成アーベル群 G は、巡回群の直和として一意的に表される

群とは、集合 $G$ と二項演算 $\cdot$ があり、次の三つの条件を満たすものです。 任意の $a,b,c \in G$ ...

スキームの射とは、環準同型を通じて定義される「局所環の構造を保つ」写像のこと。位相空間の写像のうち、単なる連続写像とは異なり、ス...

チェックコホモロジー(Čech cohomology)は、位相空間のコホモロジー群を計算するための手法の一つ。エドゥアルト・チェ...

準連接層（quasi-coherent sheaf）は、代数幾何学における層の重要なクラスで、連接層よりも広い概念です。スキーム...

層コホモロジーは、トポロジー空間上の層に対して定義される「大域的情報の欠落」を測る道具です。位相空間 $X$ 上の層 $\mat...

層（sheaf）は、空間上の「局所的なデータ」を、整合的に「大域的なデータ」として扱うための道具です。代数幾何学では、開集合ごと...

層（sheaf）は、位相空間上の局所的なデータを体系的に扱う道具である。 層の写像 $X, Y$ を位相空間、$\mathcal...

可換環 $A$ に対して $\operatorname{Spec} A$ を $A$ の素イデアル全体の集合とする。$A$ のイ...

環 $A$ が与えられたとき、$\text{Spec}(A)$ という位相空間とその上の構造層 $\mathcal{O}_{\t...

スキーム（scheme）とは、局所的にアフィン環のスペクトルによって覆われるような空間のこと。つまり、各点の近くでは環のスペクト...

代数的閉体（algebraically closed field）とは、すべての非定数多項式が根を持つような体のこと。つまり、体...

付置環（valuation ring）は、体 $K$ の部分環 $R$ のうちで次の条件を満たすものです。 \[ \forall...

代数曲線は多項式方程式 $f(x, y) = 0$ で表される曲線です。点 $(a, b)$ が **特異点** であるとは、次...

ホモトピーは、2つの連続写像が「連続的に変形可能」であることを表す位相空間論の概念です。直感的には、ある写像を途切れさせることな...

一次不等式の解き方 1. 変数は変数、数は数でまとめる 1. 変数の係数が正になるように調整する 一次不等式の基本形 \begi...

自然対数の底（ネイピア数）を次のように定義する 自然対数の底 $e$ は $2.718\cdots$ という数で、指数関数と対数...

高校数学で習う三角関数（sin）の極限の公式

因数分解は基本的に分配法則やたすき掛けを使って解きますが、中にはもっと独特なテクニックを要する問題があります。ここでは高次の式や...

数千年後、私たちはコンピューター上に模擬宇宙をつくり、星と生命の進化を観測するかもしれない。この予測は、私たち自体が模擬宇宙にい...