閉グラフ定理はバナッハ空間上の線型作用素の有界性を判定する強力な道具。作用素の連続性を直接示すのが難しい場合でも、グラフの閉性と...

バナッハ空間は関数解析において中心的な役割を果たす空間である。直感的には「ノルムが定義されていて、コーシー列が必ず収束する」ベク...

距離空間では連続性を点列の収束で特徴づけられるが、一般の位相空間ではこの対応が崩れる。点列による特徴づけが可能な空間には第一可算...

位相空間の族から新しい位相空間を構成する基本的な方法として、直積と直和がある。両者は圏論的に双対の関係にあり、それぞれ積と余積に...

距離空間 $(X, d)$ が**完備**であるとは、$X$ 内の任意の Cauchy 列が $X$ の点に収束することをいう。...

距離空間においては点列コンパクトとコンパクトは同値だが、一般の位相空間では異なる概念である。 定義 位相空間 $X$ が**コン...

解析接続の具体的な実行手段として、べき級数展開は重要な方法である。正則関数は局所的にべき級数で表現でき、この性質を利用して定義域...

ガンマ関数は階乗の一般化として定義される特殊関数で、数学や物理学の多くの分野で登場する。階乗が非負整数にのみ定義されるのに対し、...

テンソルの直積（tensor product）は、2つのテンソルから新しいテンソルを構成する演算です。記号 $\otimes$ ...

アフィン空間は、ベクトル空間から「原点」の概念だけを取り除いた構造です。アフィン接続は、そのアフィン空間や一般の多様体上で、向き...

点列の極限が一意であることとハウスドルフであることは、一般には必要十分ではありません。ハウスドルフ空間では点列の極限は一意ですが...

ハウスドルフ空間では、収束する点列の極限が一意に定まります。つまり、ある点列が2つの異なる点に収束することはありません。この性質...

最も単純なハウスドルフでない空間の例は、密着位相（indiscrete topology）を持つ空間です。 集合 $X = \{...

固有値の重複度には、代数的重複度と幾何的重複度の 2 種類があります。この 2 つは固有値がどれだけ「重なっている」のかを異なる...

行列 $A$ に対して、ある固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル全体と零ベクトルを合わせた集合を固有空間（eige...

行列のランクとは、行列が持つ独立な行（または列）の最大個数です。ランクは行列の本質的な次元を表す重要な概念で、連立方程式の解の存...

$n$ 次正方行列 $A$ が対角化可能であるとは、ある正則行列 $P$ が存在して \[ P^{-1}AP = D \] とい...

直交補空間とは、あるベクトル空間の部分空間に対して、その部分空間のすべてのベクトルと直交するベクトルの集合です。分解定理は、ベク...

陰関数 $F(x,y) = 0$ について、点 $(a,b)$ で $F(a,b) = 0$ かつ $\frac{\partia...

代数幾何学における有理同値（rational equivalence）は、代数多様体上のサイクルを分類する同値関係の一つである。...

代数幾何学における**有理写像**（rational map）とは、概形（または代数多様体）$X$ から $Y$ への写像のうち...

代数曲面の分類理論は、複素代数曲面（複素射影多様体で次元2のもの）を、その双有理同値類に基づいて体系的に整理する理論である。19...

三角関数の半角の定理とは、角を半分にしたときの $\sin$, $\cos$, $\tan$ の値を、2倍角の式を使って表すもの...

可換環論では、局所環が「正則（regular）」であるとは、その極大イデアルを生成する元の最小数（生成元数）が、その環のクルル次...