層コホモロジーとは｜定義・チェックコホモロジー・計算例

層コホモロジーは、局所的にできることが大域的にはできない、そのずれを測る道具です。

位相空間 $X$ 上の層 $\mathcal{F}$ に対して、大域切断 $\Gamma (X,\mathcal{F})$ は層の情報の一部しか拾いません。局所的な切断を貼り合わせようとして失敗する度合いが、$1$ 次以上に現れます。

以下では大域切断が足りない理由から始め、導来関手による定義、チェックコホモロジーによる計算、具体的な計算例までを扱います。要になる主張には証明を付けます。

大域切断だけでは足りない

層 $\mathcal{F}$ は、各開集合 $U$ に切断の集合 $\mathcal{F}(U)$ を与え、貼り合わせの条件を満たすものでした。

局所的な切断が重なりの上で一致していれば、それらは 1 つの大域切断に貼り合わさります。層の公理はそこまでを保証します。

ところが「重なりの上で一致する局所切断がとれるか」自体は、公理からは出てきません。とれないことがあるのです。

大域切断 $\Gamma (X,\mathcal{F})=\mathcal{F}(X)$ を見るだけでは、この失敗が見えません。失敗の量を測るのが層コホモロジーです。

直観: 貼り合わせの障害を測る

円周を 2 つの弧 $U$, $V$ で覆ってみましょう。重なりは 2 か所にできます。

$U$ の上と $V$ の上でそれぞれ切断を選び、重なりの上で一致させたいとします。片方の重なりでそろえても、もう片方でずれてしまうことがあります。

このずれの全体が $1$ 次のコホモロジーです。ずれをいつでも消せるなら $H^1=0$ になり、消せないなら $H^1\ne 0$ になります。

より高い次数は、3 つ以上の重なりで同じことを考えたときの障害にあたります。

$\Gamma$ は左完全である

層の短完全列を考えます。

$$0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\stackrel{\phi }{\to }\mathcal{F}\stackrel{\psi }{\to }{\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$$

層の列が完全だというのは、各点の茎で完全だという意味でした。ここで大域切断をとると、次のところまではいつでも完全になります。

$$0\to \Gamma (X,{\mathcal{F}}^{\prime })\to \Gamma (X,\mathcal{F})\to \Gamma (X,{\mathcal{F}}^{\prime \prime })$$

これを左完全といいます。ただし右端に $\to 0$ を付けることは、一般にはできません。

証明: $\Gamma$ が左完全であること

まず $\Gamma (\phi )$ が単射であることを示します。$s^{\prime }\in {\mathcal{F}}^{\prime }(X)$ が $\phi (s^{\prime })=0$ をみたすとしましょう。

各点 $x$ で茎を見ると ${\phi }_x(s_x^{\prime })=0$ です。${\phi }_x$ は単射なので $s_x^{\prime }=0$ となり、$s^{\prime }$ は $x$ のある近傍で $0$ になります。

こうして $X$ 全体が、$s^{\prime }$ が $0$ になる開集合で覆えました。層の一意性の公理から $s^{\prime }=0$ です。

次に $\ker \Gamma (\psi )=\mathrm{im}\Gamma (\phi )$ を示します。$\psi \circ \phi =0$ なので、片方の包含は明らかです。

逆向きを見ましょう。$s\in \mathcal{F}(X)$ が $\psi (s)=0$ をみたすとします。各点 $x$ で ${\psi }_x(s_x)=0$ なので、茎での完全性から $s_x={\phi }_x(t_x)$ となる茎の元がとれます。

芽は近傍上の切断から来るので、$x$ の近傍 $U_x$ と $t_x\in {\mathcal{F}}^{\prime }(U_x)$ を選んで $\phi (t_x)=s{|}_{U_x}$ とできます。

2 つの近傍が重なるところでは $\phi (t_x-t_y)=0$ です。$\phi$ は単射なので $t_x=t_y$ となり、これらは貼り合わさります。

貼り合わせの公理から $t\in {\mathcal{F}}^{\prime }(X)$ が得られ、$\phi (t)=s$ です。よって $s$ は像に入ります。

右端が全射にならない理由

$s^{\prime \prime }\in {\mathcal{F}}^{\prime \prime }(X)$ を持ち上げようとすると、局所的な持ち上げ $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$ まではとれます。茎で全射だからです。

重なりの上での差 $s_j-s_i$ は $\psi$ で $0$ に行くので、${\mathcal{F}}^{\prime }$ の切断から来ます。この差の族が貼り合わせの障害です。

さきほどの証明では $\phi$ の単射性で差を消せました。今度は差が $0$ とはかぎらず、消せる保証がありません。

この族はあとで見るチェックの $1$ 次コサイクルにあたります。障害が $H^1(X,{\mathcal{F}}^{\prime })$ の元として現れる、というのが長完全列の内容になります。

計算例: 完全列が大域切断で切れる

複素平面から原点を除いた $X={\mathbb{C}}^{\ast }$ を考えます。次の完全列があります。

$$0\to \underline{\mathbb{Z}}\to \mathcal{O}\stackrel{\exp }{\to }{\mathcal{O}}^{\ast }\to 0$$

真ん中は正則関数の層、右は $0$ をとらない正則関数の層です。$\exp$ は茎のレベルで全射になります。1 点のまわりでなら対数がとれるからです。

大域切断で見ると事情が変わります。$z\in {\mathcal{O}}^{\ast }(X)$ を持ち上げるには、$\exp f=z$ となる大域的な $f$、つまり $\log z$ が必要です。

証明: ${\mathbb{C}}^{\ast }$ の上に $\log z$ は存在しない

$X={\mathbb{C}}^{\ast }$ の上に正則関数 $f$ があって $\exp f(z)=z$ をみたすと仮定します。

両辺を微分すると $f^{\prime }(z)\exp f(z)=1$ です。$\exp f(z)=z$ を代入して次を得ます。

$$f^{\prime }(z)=\frac{1}{z}$$

単位円周に沿って積分しましょう。$f$ は $X$ 全体で定義された $f^{\prime }$ の原始関数なので、閉曲線に沿う積分は $0$ になります。

$${\oint }_{|z|=1}{f}^{\prime }(z)dz=0$$

一方、直接計算すると値は $0$ ではありません。

$${\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i$$

$0=2\pi i$ となって矛盾します。したがって $\Gamma (X,\mathcal{O})\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}^{\ast })$ は全射ではありません。

原点を 1 周したときに値が $2\pi i$ ずれる、この量を受けとるのが $H^1(X,\underline{\mathbb{Z}})$ です。

導来関手による定義

$\Gamma (X,-)$ は、$X$ 上のアーベル群の層の圏からアーベル群の圏への、左完全な共変関手でした。

層コホモロジーは、この関手の右導来関手として定義されます。

$$H^i(X,\mathcal{F})=R^i\Gamma (X,\mathcal{F})$$

$i=0$ のときは $H^0(X,\mathcal{F})=\Gamma (X,\mathcal{F})$ で、大域切断そのものです。新しい情報が出てくるのは $1$ 次からになります。

入射分解

具体的な作り方は次のとおりです。まず $\mathcal{F}$ の入射分解をとります。

$$0\to \mathcal{F}\to {\mathcal{I}}^0\to {\mathcal{I}}^1\to {\mathcal{I}}^2\to \cdots$$

各 ${\mathcal{I}}^j$ は入射的な層です。アーベル群の層の圏は十分多くの入射対象を持つので、このような分解はいつでもとれます。

次に大域切断をとって複体を作ります。このとき $\mathcal{F}$ は外しておきます。

$$0\to \Gamma (X,{\mathcal{I}}^0)\to \Gamma (X,{\mathcal{I}}^1)\to \Gamma (X,{\mathcal{I}}^2)\to \cdots$$

この複体の $i$ 次コホモロジーが $H^i(X,\mathcal{F})$ です。

分解のとり方によらないこと

入射分解は 1 通りではありません。それでも同じ群が出ることは、2 段の議論で保証されます。

第 1 に、$\mathcal{F}$ の 2 つの入射分解のあいだには、$\mathcal{F}$ 上の恒等写像を延長する複体の射が存在します。行き先が入射的なので、各段で写像を延ばしていけるからです。

第 2 に、そのような射は鎖ホモトピーを除いて一意です。ホモトピックな射はコホモロジーに同じ写像を誘導します。

射を両向きにとると、合成は恒等写像にホモトピックです。よってコホモロジーの上では互いに逆の同型になり、群は同型を除いて一意に定まります。

長完全列

導来関手として定義したことの見返りが、長完全列です。短完全列に対して次のように伸びます。

$$0\to H^0(X,{\mathcal{F}}^{\prime })\to H^0(X,\mathcal{F})\to H^0(X,{\mathcal{F}}^{\prime \prime })\to H^1(X,{\mathcal{F}}^{\prime })\to H^1(X,\mathcal{F})\to \cdots$$

$H^0$ の段で全射にならなかったぶんが、$H^1(X,{\mathcal{F}}^{\prime })$ へ送られていきます。この橋渡しをする写像を連結準同型といいます。

さきほど「差の族が障害になる」と述べたものが、この写像の行き先です。切れてしまった列が先へつながるので、障害を式の上で追えるようになります。

直観: 長完全列の読み方

${\mathbb{C}}^{\ast }$ の例に戻りましょう。長完全列の一部は次のようになります。

$$\Gamma (X,\mathcal{O})\to \Gamma (X,{\mathcal{O}}^{\ast })\to H^1(X,\underline{\mathbb{Z}})$$

$z$ は真ん中の元です。持ち上がるかどうかは、右へ送った像が $0$ かどうかで決まります。完全性から、像が $0$ であることと持ち上がることが同値だからです。

$H^1({\mathbb{C}}^{\ast },\underline{\mathbb{Z}})\cong \mathbb{Z}$ で、$z$ の行き先は原点のまわりの回転数 $1$ です。$0$ ではないので持ち上がりません。

「持ち上がらない」という漠然とした事実が、1 つの群の 1 つの元として書けました。これが長完全列の効き目です。

脆弱層と非輪状性

入射分解は存在するものの、手で作るのは大変です。実際の計算では、もっと扱いやすい層を使います。

層 $\mathcal{F}$ が脆弱であるとは、任意の開集合 $U$ に対して制限写像 $\mathcal{F}(X)\to \mathcal{F}(U)$ が全射になることをいいます。切断がいつでも $X$ 全体へ延びる層のことです。

脆弱層は非輪状です。つまり $i>0$ で $H^i(X,\mathcal{F})=0$ になります。

証明: 脆弱層は非輪状である

次の 3 つを認めて進めます。いずれも層コホモロジーの標準的な補題です。

$\mathcal{F}$ を脆弱とし、入射的な層 $\mathcal{I}$ に埋め込んで、商を $\mathcal{G}$ と置きます。

$$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{I}\to \mathcal{G}\to 0$$

$\mathcal{F}$ は仮定より脆弱、$\mathcal{I}$ は 1 つ目から脆弱です。したがって 3 つ目より $\mathcal{G}$ も脆弱になります。

2 つ目を使うと、大域切断をとった列が右端まで完全だとわかります。

$$0\to \Gamma (X,\mathcal{F})\to \Gamma (X,\mathcal{I})\to \Gamma (X,\mathcal{G})\to 0$$

ここで長完全列を書きます。$\mathcal{I}$ は入射的なので $i>0$ で $H^i(X,\mathcal{I})=0$ です。

$1$ 次のあたりをとり出すと、$\Gamma (X,\mathcal{I})\to \Gamma (X,\mathcal{G})$ が全射で、その次が $H^1(X,\mathcal{F})$、さらに次が $H^1(X,\mathcal{I})=0$ となります。完全性から $H^1(X,\mathcal{F})=0$ です。

$i\ge 2$ では、両隣が $0$ になるので同型が出ます。

$$H^{i-1}(X,\mathcal{G})\cong H^i(X,\mathcal{F})$$

$\mathcal{G}$ も脆弱なので、$i$ についての帰納法から右辺が $0$ だと結論できます。

計算例: 摩天楼層のコホモロジー

$X$ を位相空間、$p\in X$ を 1 点、$A$ をアーベル群とします。摩天楼層 $i_{p\ast }A$ を次のように定めます。

開集合 $U$ が $p$ を含むなら $\mathcal{F}(U)=A$、含まないなら $\mathcal{F}(U)=0$ とします。

制限写像 $\mathcal{F}(X)\to \mathcal{F}(U)$ を調べましょう。$U$ が $p$ を含むなら $A\to A$ の恒等写像、含まないなら $A\to 0$ です。どちらの場合も全射になります。

つまりこの層は脆弱です。前の節の結果から、次が直ちに従います。

$$H^0(X,i_{p\ast }A)=A,H^i(X,i_{p\ast }A)=0(i>0)$$

1 点に情報が集まっている層には、貼り合わせの障害がありません。

チェック複体

導来関手による定義は理論的には明快ですが、そのままでは計算できません。開被覆を使って書き下したものがチェックコホモロジーです。

開被覆 $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$ をとり、添字集合に順序を入れておきます。$p$ 次のコチェインを次で定めます。

$$C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=\prod _{i_0<\cdots <i_p}\mathcal{F}(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p})$$

$0$ 次は各 $U_i$ の上の切断、$1$ 次は 2 つの交わりの上の切断、$2$ 次は 3 つの交わりの上の切断です。

被覆が細かいほど交わりの層が深くなり、複体も長くなります。

差分写像

コチェインを次数の高いほうへ送る写像 $\delta$ を、交代和で定めます。

$$(\delta s{)}_{i_0\cdots i_{p+1}}=\sum _{k=0}^{p+1}(-1{)}^k{s}_{i_0\cdots \widehat{i_k}\cdots i_{p+1}}$$

右辺の各項は、添字を 1 つ落とした成分を、より小さい交わりへ制限したものです。$\widehat{i_k}$ はその添字を除くという意味になります。

証明: $\delta \circ \delta =0$

$s$ を $p$ 次のコチェインとし、$\delta$ を 2 回かけた成分を書き下します。

$$(\delta \delta s{)}_{i_0\cdots i_{p+2}}=\sum _{k=0}^{p+2}(-1{)}^k(\delta s{)}_{i_0\cdots \widehat{i_k}\cdots i_{p+2}}$$

内側の $\delta$ をほどくと、添字を 2 つ落とした項の和になります。落とす添字の組 $\{i_l,i_k\}$（ただし $l<k$）ごとに項を集めましょう。

同じ組は 2 回現れます。$i_k$ を先に落とす順と、$i_l$ を先に落とす順です。

$i_k$ を先に落とす場合、外側の符号が $(-1{)}^k$、内側で $i_l$ を落とす符号が $(-1{)}^l$ です。$l<k$ なので $i_l$ の位置はずれません。

$i_l$ を先に落とす場合、外側の符号が $(-1{)}^l$ です。$i_l$ が抜けたぶん $i_k$ の位置が 1 つ手前へずれるので、内側の符号は $(-1{)}^{k-1}$ になります。

2 つの符号 $(-1{)}^{k+l}$ と $(-1{)}^{k+l-1}$ は逆です。項どうしが打ち消し合い、すべての組で同じことが起きるので $\delta \delta s=0$ となります。

複体になったので、コホモロジー $H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$ が定義できます。

証明: チェックの $0$ 次は大域切断に一致する

$0$ 次のコチェインは、各 $U_i$ の上の切断の組 $(s_i)$ です。差分写像は次の形になります。

$$(\delta s{)}_{i_0{i}_1}=s_{i_1}{|}_{U_{i_0}\cap U_{i_1}}-s_{i_0}{|}_{U_{i_0}\cap U_{i_1}}$$

核に入るのは、どの 2 つの重なりの上でも値が一致する組です。これは層の貼り合わせの公理が扱う状況そのものになります。

貼り合わせの公理から、そのような組はある $s\in \mathcal{F}(X)$ に貼り合わさります。一意性の公理から、その $s$ はただ 1 つです。

逆に大域切断を各 $U_i$ へ制限すれば、重なりで一致する組が得られます。2 つの対応は互いに逆です。

$$H^0(\mathcal{U},\mathcal{F})=\ker \delta \cong \Gamma (X,\mathcal{F})$$

$0$ 次では被覆をどうとっても答えが変わりません。層の公理を書き直しただけだからです。

計算例: 2 枚の被覆で書き下す

被覆が $\mathcal{U}=\{U_0,U_1\}$ の 2 枚だけなら、複体はとても短くなります。

$$C^0=\mathcal{F}(U_0)\times \mathcal{F}(U_1),C^1=\mathcal{F}(U_0\cap U_1)$$

3 つ以上の交わりがないので、$p\ge 2$ では $C^p=0$ です。差分写像も 1 本だけになります。

$$\delta (s_0,s_1)=s_1{|}_{U_0\cap U_1}-s_0{|}_{U_0\cap U_1}$$

$H^0=\ker \delta$ は、前の節のとおり大域切断です。$H^1=C^1/\mathrm{im}\delta$ は、重なりの上のずれのうち、$s_0$ と $s_1$ をとり替えても消せないものになります。

以下の計算例は、どれもこの 2 枚の形で済みます。

層コホモロジーと一致する条件

チェックコホモロジーと層コホモロジーは、いつでも一致するわけではありません。

被覆を細かくしていく極限を ${\check{H}}^p(X,\mathcal{F})$ と書きます。$p=0,1$ ではこれが $H^p(X,\mathcal{F})$ と一致し、$p\ge 2$ では一般には一致しません。

前者はどんな位相空間でも成り立ちます（チェックコホモロジー）。

$X$ がパラコンパクトなハウスドルフ空間であれば、すべての次数で一致します。ゴドマンによる古典的な結果です。

ルレイの定理

極限をとらず、固定した被覆のまま一致させる条件もあります。

被覆 $\mathcal{U}$ が $\mathcal{F}$ に関して非輪状であるとは、すべての交わり $U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p}$ の上で、$\mathcal{F}$ の高次コホモロジーが消えることをいいます。

このとき次が成り立ちます。

$$H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\cong H^p(X,\mathcal{F})$$

これをルレイの定理といい、非輪状被覆についての補題として定式化されます。証明はチェックから導来関手へのスペクトル系列を使うので、ここでは立ち入りません。

以下の計算例では、いずれもこの条件を満たす被覆を選んでいます。条件を確かめる作業まで含めて計算だと思ってください。

計算例: 定数層の $0$ 次

$X$ を位相空間、$\underline{A}$ をアーベル群 $A$ の定数層とします。

定数層の切断は局所定数関数です。連結な開集合の上では値が動けないので、定数になります。

$X$ が局所連結で、連結成分が $X_1,\dots ,X_n$ の $n$ 個だとしましょう。局所連結なら各成分は開集合です。

成分は互いに交わらず、合わせて $X$ を覆います。したがって大域切断は、成分ごとに独立に値を選ぶことと同じになります。

$$H^0(X,\underline{A})\cong A^n$$

$0$ 次が数えているのは連結成分の個数でした。ここまでは貼り合わせの障害と関係ありません。

計算例: 円周上の定数層

$X=S^1$、$\mathcal{F}=\underline{\mathbb{Z}}$ とします。被覆は最初の図の $U$, $V$ です。

$U$ と $V$ はどちらも弧なので連結で、$\underline{\mathbb{Z}}(U)=\underline{\mathbb{Z}}(V)=\mathbb{Z}$ です。交わりは 2 つの弧に分かれるため、$\underline{\mathbb{Z}}(U\cap V)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ になります。

$$C^0=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},C^1=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$$

差分写像は、2 つの重なりのそれぞれで差をとります。

$$\delta (a,b)=(b-a,b-a)$$

核は $a=b$ となる組で、$\mathbb{Z}$ に同型です。よって $H^0=\mathbb{Z}$ になり、$S^1$ が連結であることと合っています。

像は対角線 $\{(c,c)\}$ です。したがって次が得られます。

$$H^1(S^1,\underline{\mathbb{Z}})\cong (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})/\{(c,c)\}\cong \mathbb{Z}$$

弧も 2 つの重なりも可縮なので、定数層はその上で非輪状です。ルレイの条件が満たされ、得られた値は層コホモロジーそのものになります。

直観: 円周の 1 次が数えているもの

出てきた $\mathbb{Z}$ を、もとの図に照らして読んでみましょう。

$U$ 側と $V$ 側の値を、片方の重なりでそろえたとします。$C^0$ に残る自由度は使い切っているので、もう片方の重なりに残るずれは消せません。

この消せない整数がコホモロジー類です。円周を 1 周したときに値がいくつ飛ぶか、$H^1(S^1,\underline{\mathbb{Z}})\cong \mathbb{Z}$ はその飛び幅を数えています。

計算例: 射影直線の構造層

複素射影直線 ${\mathbb{P}}^1$ を、標準的な 2 枚のアフィン開集合で覆います。

$U_0=\{x_0\ne 0\}$ の座標を $t=x_1/x_0$、$U_1=\{x_1\ne 0\}$ の座標を $s=x_0/x_1$ とすると $s=1/t$ です。

$$\mathcal{O}(U_0)=\mathbb{C}[t],\mathcal{O}(U_1)=\mathbb{C}[t^{-1}],\mathcal{O}(U_0\cap U_1)=\mathbb{C}[t,t^{-1}]$$

差分写像は $\delta (f,g)=g-f$ です。

核は $\mathbb{C}[t]$ と $\mathbb{C}[t^{-1}]$ の共通部分、すなわち定数だけになります。よって $H^0({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O})=\mathbb{C}$ です。

像は $\mathbb{C}[t]+\mathbb{C}[t^{-1}]$ です。次数が $0$ 以上の項と $0$ 以下の項を合わせれば任意のローラン多項式が書けるので、これは $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ の全体になります。したがって $H^1({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O})=0$ です。

3 つの開集合はどれもアフィンです。アフィン開集合の上では準連接層の高次コホモロジーが消えるので、この被覆はルレイの条件を満たします。

計算例: $\mathcal{O}(n)$ の $0$ 次

$\mathcal{O}(n)$ は、$U_0$ と $U_1$ の上でそれぞれ自明化され、重なりの上での貼り合わせが $t^n$ 倍で与えられる直線束の層です。

チェック複体の形は構造層のときと同じになります。

$$C^0=\mathbb{C}[t]\times \mathbb{C}[t^{-1}],C^1=\mathbb{C}[t,t^{-1}]$$

差分写像には貼り合わせが挟まり、$\delta (f,g)=t^{n}g-f$ となります。

核は $f=t^{n}g$ をみたす組です。$g$ を $t^{-1}$ の多項式として $g={\sum }_{j\ge 0}{c}_j{t}^{-j}$ と書くと、$t^{n}g$ の項は $t^{n-j}$ の形をしています。

これが $\mathbb{C}[t]$ に入るには、$c_j\ne 0$ となるすべての $j$ で $n-j\ge 0$、すなわち $j\le n$ でなければなりません。

$n\ge 0$ なら $j$ は $0$ から $n$ までを動けるので、次元は $n+1$ です。$n<0$ なら $j\ge 0$ と $j\le n$ が両立せず、$g=0$ しかありません。

$$\dim H^0({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O}(n))=\{\begin{array}{ll}n+1& (n\ge 0)\\ 0& (n<0)\end{array}$$

計算例: $\mathcal{O}(n)$ の $1$ 次

像は 2 つの部分から生まれます。$f$ から来るのは $t^m$（$m\ge 0$）が張る部分、$t^{n}g$ から来るのは $t^m$（$m\le n$）が張る部分です。

合わせると、$m\ge 0$ または $m\le n$ をみたす $t^m$ がすべて像に入ります。商に残るのは $n<m<0$ をみたす $t^m$ だけです。

$n\ge -1$ なら、そのような $m$ は 1 つもありません。$n\le -2$ なら $m=n+1,\dots ,-1$ が残り、その個数は $-n-1$ になります。

$$\dim H^1({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O}(n))=\{\begin{array}{ll}0& (n\ge -1)\\ -n-1& (n\le -2)\end{array}$$

たとえば $\mathcal{O}(-2)$ では $0$ 次が消え、$1$ 次が $1$ 次元になります。大域切断がないのに $1$ 次が現れる、典型的な例です。

一般の ${\mathbb{P}}^r$ でも同じ形の結果が知られています。$0$ 次は $d\ge 0$ のとき次数 $d$ の斉次多項式のなす空間、$r$ 次は $d<0$ のときその双対で、それ以外は $0$ です。

出典は射影空間のコホモロジーです。上の ${\mathbb{P}}^1$ の値は $r=1$ の場合にあたります。

計算例: アフィン直線上の構造層

$X={\mathbb{A}}^1=\mathrm{Spec}\mathbb{C}[t]$ とします。被覆として $X$ 自身の 1 枚だけをとってみましょう。

$C^0=\mathbb{C}[t]$ で、交わりがないので $p\ge 1$ では $C^p=0$ です。

$$H^0(X,\mathcal{O})=\mathbb{C}[t],H^p(X,\mathcal{O})=0(p\ge 1)$$

この答えが正しいのは、アフィンスキーム上の準連接層が非輪状だからです。1 枚の被覆でもルレイの条件が満たされます。

裏を返すと、非輪状でない層に 1 枚被覆を当てると誤った答えが出ます。次の節で見てみましょう。

直観: 被覆が粗いと何を見落とすのか

被覆を $\{X\}$ の 1 枚にすると、$p\ge 1$ でコチェインが空になります。チェックコホモロジーは、層が何であっても $0$ になってしまいます。

これは層コホモロジーが $0$ だという意味ではありません。$X$ を ${\mathbb{P}}^1$、層を $\mathcal{O}(-2)$ にすれば、$1$ 次は本当は $1$ 次元でした。

粗い被覆では、交わりの上に隠れた障害が見えません。細かくすれば交わりの上の高次コホモロジーが消えていき、見落としがなくなります。ルレイの条件は、その「十分細かい」を言い換えたものです。

よくある誤り

最後に、間違えやすい点を並べておきます。

どれも定義に戻れば防げます。何を測っている群なのか、そこを見失わないことです。

参考文献