付置環（valuation ring）は、体 の部分環 のうちで次の条件を満たすものです。
つまり、体の任意の元について「それ自身か逆数のどちらか」が必ず に含まれるような環です。この性質により、 は の元に「大きさの順序」を与えるものと考えられます。
離散付置環（discrete valuation ring, DVR）
離散付置環とは、付置環のうちで「離散的な値付け関数」をもつものを指します。
体 に対して、写像 があり、次を満たすとき「離散付置（discrete valuation）」と呼びます。
そして と定めた環が 離散付置環（DVR） です。
このとき の値域が整数 に対応しているため「離散」と呼ばれます。
具体例
進整数環
（ を体とする形式的冪級数環）
これらはいずれも体（それぞれ や ）の部分環としての付置環であり、離散値をもつ典型例です。
性質と次元
離散付置環 は整域であり、しかも局所環です。その極大イデアル は 1 つの元 （一様化元）で生成されます。
このときの剰余体 を剰余体（residue field）と呼びます。
主イデアル整域 はい（すべてのイデアルは の形）
極大イデアル のみ
局所環 はい
整域 はい
Krull 次元 1
したがって、離散付置環の Krull 次元は 1 です。これは「極大イデアルの鎖が だけ」という事実に対応します。
幾何的視点
代数幾何では、曲線の各点の局所環がしばしば離散付置環になります。したがって離散付置環は「滑らかな曲線上の点の局所的な性質」を表す基本単位ともいえます。
たとえば代数曲線上の正則関数の「零点の位数」や「極の位数」は、まさに値付け によって測られます。
