離散付値環とは｜付値環の一般論から同値条件と具体例まで

付値環は「割り算がどこまでできるか」を測る仕組みを、環の言葉だけで書き直したものです。体の元それぞれについて、自分自身か逆数のどちらかが必ず環に属する、という一行の条件で定義されます。

そのうち測り方が整数の目盛りになっているものが離散付値環で、数論と代数幾何のどちらでも基本単位として現れます。

何回割れるかを測る

整数 $12$ は $2$ で $2$ 回割り切れます。$12=2^2\cdot 3$ と書けるからです。この回数を $v_2(12)=2$ と書くことにします。

分数へも自然に延びます。$3/8=3\cdot 2^{-3}$ なので $v_2(3/8)=-3$ です。負の値は「$2$ で割れる」どころか「$2$ で割られている」ことを表します。

この $v_2$ には 2 つの性質があります。積では回数が足され、和では回数が減りません。

$$v_2(xy)=v_2(x)+v_2(y),v_2(x+y)\ge \min \{v_2(x),v_2(y)\}$$

$v_2(x)\ge 0$ を満たす有理数を集めると、分母が奇数の分数全体になります。これが付値環の最初の例です。

見方を変えます。$0$ でない有理数 $x$ について、$v_2(x)$ と $v_2(1/x)$ は符号が逆なので、少なくとも一方は $0$ 以上です。

つまり $x$ か $1/x$ の少なくとも一方はこの環に属します。この性質だけを抜き出したものが、次の定義です。

付値環の定義

$K$ を体、$R$ をその部分環とします。任意の $x\in K^{\times }$ に対し、$x\in R$ または $x^{-1}\in R$ が成り立つとき、$R$ を $K$ の付値環といいます。

体の部分環なので $R$ は自動的に整域です。商体は $K$ に一致します。

$K$ 自身も条件を満たすので付値環です。これは自明な例で、あとで離散付値環を定義するときに除きます。

$x$ と $x^{-1}$ の両方が $R$ に属することもあります。それは $x$ が $R$ の単元であることに他なりません。

付値環は局所環

付値環はいつでも局所環になります。定義の一行から自動的に従うので、まずこれを示します。

主張は、非単元全体の集合 $\mathfrak{m}=R\setminus R^{\times }$ がイデアルであり、それが唯一の極大イデアルになる、というものです。

まず $a\in \mathfrak{m}$ と $r\in R$ について $ra\in \mathfrak{m}$ を見ます。もし $ra$ が単元なら $a\cdot (r(ra{)}^{-1})=1$ となり $a$ が単元になってしまいます。

次に $a,b\in \mathfrak{m}$ について $a+b\in \mathfrak{m}$ を見ます。どちらかが $0$ なら明らかなので、両方 $0$ でないとします。

付値環の条件から $a/b\in R$ か $b/a\in R$ のどちらかです。$a/b\in R$ の場合、次のように書けます。

$$a+b=b\left(\frac{a}{b}+1\right)\in bR$$

前段から $bR\subseteq \mathfrak{m}$ なので $a+b\in \mathfrak{m}$ です。$b/a\in R$ の場合も $a$ と $b$ を入れ替えれば同じです。

$\mathfrak{m}$ はイデアルになりました。真のイデアルは単元を含まないので必ず $\mathfrak{m}$ に含まれ、$\mathfrak{m}$ が唯一の極大イデアルです。

イデアルは包含で全順序

付値環のイデアルは、一列に並びます。ふつうの環では起きないこの現象が、付値環をきわめて扱いやすくしています。

$I,J$ をイデアルとし、$I⊈J$ とします。このとき $J\subseteq I$ を示します。

仮定から $a\in I\setminus J$ が取れます。任意の $b\in J$ について $b\in I$ を言えば十分です。

$b=0$ なら明らかなので $b\ne 0$ とします。付値環の条件から $a/b\in R$ か $b/a\in R$ です。

$a/b\in R$ だとすると $a=(a/b)\cdot b\in J$ となり、$a\notin J$ に反します。よって $b/a\in R$ です。

すると $b=(b/a)\cdot a\in I$ が従います。$b$ は任意だったので $J\subseteq I$ です。

系として、有限生成イデアルは単項になります。生成元のうち包含がいちばん大きいものを 1 つ取れば、他はすべてその倍元だからです。

付値環は整閉

もう 1 つ、定義だけから出る性質があります。付値環はその商体の中で整閉です。

$x\in K$ が $R$ 上整とします。すなわち $a_i\in R$ を係数とする次の関係式があるとします。

$$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$

$x\in R$ なら示すことはありません。そこで $x\notin R$ とすると、付値環の条件から $x^{-1}\in R$ です。

関係式の両辺を $x^{n-1}$ で割り、$x$ について解きます。

$$x=-(a_{n-1}+a_{n-2}{x}^{-1}+\cdots +a_0{x}^{-(n-1)})$$

右辺は $R$ の元だけで書かれているので $R$ に属します。よって $x\in R$ となり、$x\notin R$ に矛盾します。

整閉性はあとで効きます。離散付値環を特徴づける条件の 1 つがこれになるからです。

値群と付値

「割れる回数」を測る関数を、付値環から復元します。単元は割り算の回数を変えないので、単元で割った商を見ます。

$R$ を $K$ の付値環とし、$\Gamma =K^{\times }/R^{\times }$ とおきます。剰余類 $\bar{x}$ どうしの順序を、$\bar{x}\le \bar{y}$ が $y/x\in R$ と同値になるように定めます。

代表元の取り替えで $y/x$ は単元倍しか変わらないので、この定義は正しく定まります。付値環の条件から任意の 2 元が比較可能で、$\Gamma$ は全順序アーベル群になります。

自然な全射 $v:K^{\times }\to \Gamma$ を付値といい、$\Gamma$ を値群といいます。$v(0)=\infty$ と約束し、$\infty$ はどの元より大きいとします。

積が剰余類の積になることから $v(xy)=v(x)+v(y)$ です。和については、$v(x)\le v(y)$ とすると $y/x\in R$ なので次が成り立ちます。

$$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}\in R$$

これは $v(x+y)\ge v(x)=\min \{v(x),v(y)\}$ を意味します。冒頭で見た $v_2$ の 2 性質が、一般の付値環でそのまま成り立つわけです。

逆向きも成り立ちます。全順序アーベル群への全射 $v$ でこの 2 条件を満たすものが与えられれば、$\{x:v(x)\ge 0\}$ は付値環になります。付値環と付値は同じものの言い換えです。

離散付値と離散付値環

値群が整数のなす群である場合が、いちばん扱いやすく応用も広いところです。

全射準同型 $v:K^{\times }\to \mathbb{Z}$ が $v(x+y)\ge \min \{v(x),v(y)\}$ を満たすとき、$v$ を離散付値といいます。$v(0)=\infty$ と約束します。

このとき $R=\{x\in K:v(x)\ge 0\}$ を $v$ の付値環といい、離散付値環と呼びます。値群が $\mathbb{Z}$ と同型な付値環、と言っても同じです。

$\mathfrak{m}=\{x:v(x)>0\}$ が極大イデアルです。全射性から $v(\pi )=1$ となる $\pi \in R$ が存在し、これを一様化元といいます。

例として p 進付値

素数 $p$ を固定します。$0$ でない有理数 $x$ は、$p$ と互いに素な整数 $a,b$ を使って $x=p^n\cdot a/b$ と一意に書けます。そこで $v_p(x)=n$ と定めます。

$v_p$ は全射です。$v_p(p)=1$ だからです。積で指数が足されることも明らかです。

和については、$v_p(x)\le v_p(y)$ のとき共通因子 $p^{v_p(x)}$ をくくり出せば、残りが $p$ 進整数の和として $p$ で割り切れる回数が $0$ 以上になります。

付値環は次のとおりで、分母が $p$ で割れない分数全体です。

$${\mathbb{Z}}_{(p)}=\left\{\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}:a,b\in \mathbb{Z},p\nmid b\right\}$$

これは $\mathbb{Z}$ を素イデアル $(p)$ で局所化したものです。極大イデアルは $p{\mathbb{Z}}_{(p)}$、剰余体は ${\mathbb{F}}_p$、一様化元は $p$ です。

例として形式的冪級数環

$k$ を体とし、形式的冪級数環 $k[[t]]$ を考えます。$0$ でない元は $f={\sum }_{n\ge N}{a}_n{t}^n$（$a_N\ne 0$）と書けるので、$v(f)=N$ と定めます。

商体は形式的ローラン級数体 $k((t))$ で、有限個の負冪を許した級数からなります。$v$ はここへ全射に延びます。

$f$ が単元であることと $a_0\ne 0$ は同値です。$a_0\ne 0$ なら $1/f$ を等比級数の要領で係数比較しながら構成できるからです。

極大イデアルは $(t)$、剰余体は $k$、一様化元は $t$ です。$v(f)$ は「$f$ が $t=0$ で何位の零点を持つか」を表しています。

例として p 進整数環

記号が似ているので混同されがちですが、${\mathbb{Z}}_p$ と ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ は別のものです。

${\mathbb{Z}}_p$ の元は ${\sum }_{n\ge 0}{a}_n{p}^n$（$0\le a_n<p$）と一意に書けます。有限小数ならぬ無限桁の $p$ 進展開です。

包含 ${\mathbb{Z}}_{(p)}⊊{\mathbb{Z}}_p$ は真です。たとえば $x^2+1=0$ は ${\mathbb{Z}}_5$ で解けます。$x\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ が単根なのでヘンゼルの補題で持ち上がるからです。

一方この解は有理数ではないので ${\mathbb{Z}}_{(5)}$ には属しません。どちらも $v_p$ の付値環で離散付値環ですが、乗っている体が違います。

例として曲線上の点

代数曲線 $C$ の滑らかな点 $P$ を取ると、$P$ での局所環 ${\mathcal{O}}_{C,P}$ は離散付値環になります。

いちばん簡単な場合を見ます。$C$ をアフィン直線、$P$ を原点とすると、局所環は分母が原点で消えない有理関数の全体です。

$$\mathcal{O}=k[x{]}_{(x)}=\left\{\frac{f}{g}:f,g\in k[x],g(0)\ne 0\right\}$$

付値 $v(f/g)$ は $f$ が $x$ で何回割り切れるかです。$v$ が正なら零点の位数、負なら極の位数を表します。

たとえば $v(x^3/(x+1))=3$ で、原点は 3 位の零点です。$v((x+1)/x^2)=-2$ で、原点は 2 位の極です。

一様化元は $x$、より一般には $P$ でちょうど 1 位の零点を持つ関数です。離散付値環が「滑らかな曲線上の点の局所的な姿」と言われるのは、この対応があるからです。

元は一様化元の冪と単元に分かれる

ここから離散付値環の構造を調べます。まず元の形が完全に決まります。

$R$ を離散付値環、$\pi$ を一様化元とします。$0$ でない $x\in K$ は $x=u{\pi }^n$（$u\in R^{\times }$、$n=v(x)$）と一意に書けます。

$n=v(x)$ とおいて $u=x{\pi }^{-n}$ と定めると、$v(u)=v(x)-n\cdot v(\pi )=0$ です。

$v(u)=0$ は $u\in R$ かつ $u^{-1}\in R$ と同値、つまり $u$ が単元であることと同値です。これで存在が示せました。

一意性も簡単です。$u{\pi }^n=u^{\prime }{\pi }^m$ の両辺に $v$ を施すと $n=m$ となり、割れば $u=u^{\prime }$ です。

系として $R$ は一意分解整域で、既約元は $\pi$ の単元倍しかありません。素因数が 1 種類しかない整数環のようなものです。

イデアルは極大イデアルの冪だけ

イデアルの形も完全に決まります。$0$ でないイデアルは $({\pi }^n)$（$n\ge 0$）に限ります。

$I\ne 0$ をイデアルとし、$n=\min \{v(x):x\in I,x\ne 0\}$ とおきます。$v$ の値は $0$ 以上の整数なので最小値が存在します。

$v(x)=n$ となる $x\in I$ を取ると $x=u{\pi }^n$ と書け、$u$ が単元なので ${\pi }^n=u^{-1}x\in I$ です。よって $({\pi }^n)\subseteq I$ です。

逆に $y\in I$ を取ると $v(y)\ge n$ なので、$y=u^{\prime }{\pi }^{v(y)}=\left(u^{\prime }{\pi }^{v(y)-n}\right){\pi }^n\in ({\pi }^n)$ です。

したがって $I=({\pi }^n)$ です。とくに $R$ は単項イデアル整域で、$\mathfrak{m}=(\pi )$、${\mathfrak{m}}^n=({\pi }^n)$ となります。

イデアルは次の 1 本の鎖に並びます。全順序という一般論が、ここでは完全な形で現れます。

$$R⊋\mathfrak{m}⊋{\mathfrak{m}}^2⊋{\mathfrak{m}}^3⊋\cdots ⊋0$$

クルル次元は 1

クルル次元は素イデアルの真の増大列の長さの上限です。極大イデアルの鎖ではありません。

離散付値環 $R$ の素イデアルは $0$ と $\mathfrak{m}$ だけです。したがって $\dim R=1$ です。

$0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ を取ると、前節から $\mathfrak{p}=({\pi }^n)$ で $n\ge 1$ です。${\pi }^n\in \mathfrak{p}$ と素性から $\pi \in \mathfrak{p}$ が従います。

すると $\mathfrak{m}=(\pi )\subseteq \mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{m}$ の極大性から $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ です。

素イデアルの鎖は $0⊊\mathfrak{m}$ しかなく、長さは 1 です。イデアルの鎖は無限に伸びますが、そのほとんどは素イデアルではありません。

一様化元は単元倍しか違わない

$\pi$ と ${\pi }^{\prime }$ をともに一様化元とすると、$v({\pi }^{\prime }/\pi )=1-1=0$ なので ${\pi }^{\prime }/\pi$ は単元です。

逆に $v(x)=1$ となる元はすべて一様化元です。これは $x\in \mathfrak{m}\setminus {\mathfrak{m}}^2$ と言い換えられます。

$k[[t]]$ では $t$ のほか、$t+t^2$ や $t-3t^5$ もすべて一様化元です。定数項が $0$ で 1 次の係数が $0$ でなければよいからです。

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ では $p$ のほか $3p$ や $p/5$（$p\ne 5$ のとき）も一様化元です。取り替えの自由度がある分、計算では都合のよいものを選べます。

離散付値環の同値条件

離散付値環はさまざまな角度から特徴づけられます。これが理論の中心にある定理です。

$R$ を体でないネーター局所整域とし、$\mathfrak{m}$ を極大イデアル、$k=R/\mathfrak{m}$ を剰余体、クルル次元を 1 とします。このとき次はすべて同値です。

アティヤとマクドナルドの教科書では命題 9.2 として与えられています。以下では要となる 3 本の含意を証明します。

構造の節ですでに (1) から (3)、(5)、(6) は示してあります。残るのは逆向き、つまり弱い条件から離散付値環を復元する方向です。

極大イデアルが単項なら離散付値環

$\mathfrak{m}=(\pi )$ と仮定します。ここから付値を作ります。

ネーター局所環に対するクルルの交叉定理から ${\bigcap }_{n\ge 0}{\mathfrak{m}}^n=0$ が成り立ちます。したがって $0$ でない $x\in R$ に対し、$x\in {\mathfrak{m}}^n$ かつ $x\notin {\mathfrak{m}}^{n+1}$ となる $n\ge 0$ がただ 1 つ定まります。

この $n$ を $v(x)$ と定めます。$x\in {\mathfrak{m}}^n=({\pi }^n)$ なので $x=u{\pi }^n$ と書けます。

このとき $u$ は単元です。もし $u\in \mathfrak{m}$ なら $x\in {\mathfrak{m}}^{n+1}$ となって $n$ の取り方に反するからです。

積については $xy=u{u}^{\prime }{\pi }^{n+m}$ で $u{u}^{\prime }$ が単元なので $v(xy)=v(x)+v(y)$ です。和については $x+y$ が ${\pi }^{\min (n,m)}$ でくくれるので $v(x+y)\ge \min \{v(x),v(y)\}$ です。

商体へ $v(x/y)=v(x)-v(y)$ で延ばせば離散付値になり、$v(\pi )=1$ から全射です。$v\ge 0$ の部分がちょうど $R$ になることも、標準形から確かめられます。

中山の補題で剰余次元とつなぐ

条件 (3) と (4) が同値であることを見ます。ここでは中山の補題を使います。

中山の補題は、局所環 $R$ 上の有限生成加群 $M$ について $M=\mathfrak{m}M$ なら $M=0$ という主張です。系として、$M/\mathfrak{m}M$ を $k$ 上生成する元を持ち上げれば $M$ を $R$ 上生成します。

まず (3) から (4) を示します。$\mathfrak{m}=(\pi )$ なら $\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は $\pi$ の像 1 個で生成されるので、次元は 1 以下です。

ここで $\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}^2$ だとすると、中山の補題から $\mathfrak{m}=0$ となり $R$ が体になってしまいます。仮定に反するので $\mathfrak{m}\ne {\mathfrak{m}}^2$ で、次元はちょうど 1 です。

逆に (4) を仮定します。$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ が 1 次元なら、その基底を 1 つ取って $\pi \in \mathfrak{m}$ に持ち上げます。

中山の補題の系から $\pi$ は $\mathfrak{m}$ を $R$ 加群として生成します。つまり $\mathfrak{m}=(\pi )$ で (3) が従います。

整閉なら極大イデアルは単項

いちばん手数が要るのが (2) から (3) です。整閉性を使って、極大イデアルの生成元を作り出します。

$0$ でない $a\in \mathfrak{m}$ を取ります。クルル次元 1 とネーター性から、$\mathfrak{m}$ は $(a)$ の根基になり、${\mathfrak{m}}^n\subseteq (a)$ となる最小の $n\ge 1$ が存在します。

最小性から ${\mathfrak{m}}^{n-1}⊈(a)$ なので、$b\in {\mathfrak{m}}^{n-1}\setminus (a)$ が取れます。$n=1$ のときは ${\mathfrak{m}}^0=R$ と読み、$b\in R\setminus (a)$ とします。

$x=a/b\in K$ とおきます。$b\notin (a)$ なので $x^{-1}=b/a$ は $R$ に属しません。

ここで $x^{-1}\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{m}$ だと仮定してみます。$\mathfrak{m}$ は $0$ でない有限生成忠実加群なので、行列式を使う標準的な議論から $x^{-1}$ は $R$ 上整になります。

$R$ は整閉なので $x^{-1}\in R$ となり、さきほどの結論に矛盾します。したがって $x^{-1}\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{m}$ ではありません。

一方 $b\mathfrak{m}\subseteq {\mathfrak{m}}^{n-1}\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}^n\subseteq (a)$ なので、$x^{-1}\mathfrak{m}=(b/a)\mathfrak{m}\subseteq R$ です。つまり $x^{-1}\mathfrak{m}$ は $R$ のイデアルです。

$\mathfrak{m}$ に含まれないイデアルは $R$ 自身しかないので $x^{-1}\mathfrak{m}=R$、すなわち $\mathfrak{m}=xR$ です。$1\in R$ より $x\in \mathfrak{m}$ なので、これは $\mathfrak{m}$ が単項であることを意味します。

離散でない付値環

値群が $\mathbb{Z}$ とはかぎらないことを、例で見ておきます。付値環の一般論と離散付値環の落差がここにあります。

$k$ を標数 $0$ の代数閉体とし、ピュイズー級数体を次で定めます。$t$ の分数冪を許した級数の全体です。

$$k\{\{t\}\}=\bigcup _{n\ge 1}k\left(\right(t^{1/n}\left)\right)$$

$v(t^{1/n})=1/n$ と定めて延ばすと、値群は $\mathbb{Q}$ になります。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ と同型ではなく、正の元がいくらでも $0$ に近づくので離散でもありません。

付値環 $R=\{v\ge 0\}$ はネーターではありません。極大イデアル $\{v>0\}$ が有限生成でないからです。

もし $f_1,\dots ,f_r$ で生成されるとすると、${\min }_{i}v(f_i)>0$ より小さい正の付値を持つ元が生成されません。$t^{1/n}$ を $n$ を大きく取れば必ずはみ出します。

素イデアルは $0$ と極大イデアルだけなのでクルル次元は 1 です。次元 1 で整閉でも、ネーターでなければ離散付値環にならないわけです。

階数 2 の付値

値群が $\mathbb{R}$ に埋め込めない場合もあります。今度はクルル次元も上がります。

$K=k(x,y)$ とし、$\Gamma ={\mathbb{Z}}^2$ に辞書式順序を入れます。$(a,b)>(0,0)$ とは、$a>0$ であるか、$a=0$ かつ $b>0$ であることとします。

$v(x)=(1,0)$、$v(y)=(0,1)$ と定めて単項式へ延ばし、多項式には現れる単項式の付値の最小値を与えます。これは付値になり、値群は ${\mathbb{Z}}^2$ です。

${\mathbb{Z}}^2$ は全順序アーベル群ですが $\mathbb{Z}$ とは同型でありません。どんな $n$ についても $v(x)>v(y^n)$ が成り立ち、$y$ の冪では $x$ に追いつけないからです。

「$x$ は $y$ のどの冪よりも深く割り切れる」という測り方で、整数 1 本の目盛りでは表せません。

付値環の素イデアルは値群の凸部分群と対応します。${\mathbb{Z}}^2$ の凸部分群は $0$ と $\{0\}\times \mathbb{Z}$ と ${\mathbb{Z}}^2$ の 3 つなので、素イデアルも 3 つです。

したがって素イデアルの鎖は $0⊊\mathfrak{p}⊊\mathfrak{m}$ となり、クルル次元は 2 です。付値環でありながら次元が 1 でない例になっています。

尖点の局所環は離散付値環でない

逆に、次元 1 のネーター局所整域でも離散付値環にならない例があります。整閉性が破れる場合です。

$R=k[[t^2,t^3]]$、つまり $k[[t]]$ の中で $t^2$ と $t^3$ が生成する部分環を考えます。$t^2,t^3,t^4,\dots$ は属しますが $t$ は属しません。

$R$ はネーター局所整域で、極大イデアルは $\mathfrak{m}=(t^2,t^3)$、クルル次元は 1 です。ここまでは離散付値環と同じ条件を満たします。

しかし整閉ではありません。$t=t^3/t^2$ は商体の元で、$t^2\in R$ より $X^2-t^2=0$ を満たすので $R$ 上整ですが、$t\notin R$ です。

同値条件の (2) が破れるので離散付値環ではありません。(4) を直接確かめることもできます。

$\mathfrak{m}$ は $t^2,t^3,t^4,\dots$ が張る空間、${\mathfrak{m}}^2$ は $t^4,t^5,\dots$ が張る空間なので、$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ の基底は $t^2$ と $t^3$ の像です。次元は 2 になります。

これは $y^2=x^3$ で定まる曲線の尖点における局所環です。特異点なので離散付値環になりません。正規化は $k[[t]]$ で、そちらは離散付値環です。

次元が上がると付値環でなくなる

もう 1 つ、条件のどこが効いているかを見る例です。今度は整閉ですが次元が違います。

$R=k[x,y{]}_{(x,y)}$、つまり平面の原点における局所環を取ります。正則局所環なので一意分解整域であり、整閉です。ネーター局所整域でもあります。

しかしクルル次元は 2 です。$0⊊(x)⊊(x,y)$ という素イデアルの鎖があるからです。同値条件は次元 1 を仮定していたので、この $R$ は対象外です。

実際 $\mathfrak{m}=(x,y)$ は単項ではなく、${\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=2$ です。

そもそも付値環でもありません。$x/y$ も $y/x$ も $R$ に属さないからです。分母が原点で消える有理関数は局所環に入りません。

曲線上の点なら次元 1 で離散付値環、曲面上の点なら次元 2 で付値環ですらない。次元 1 という条件は、この意味で本質的です。

デデキント整域との関係

離散付値環は「局所化したデデキント整域」として現れます。数論での使われ方はこの形です。

デデキント整域とは、ネーターかつ整閉でクルル次元が 1 以下の整域のことです。代数体の整数環 ${\mathcal{O}}_K$ が代表例です。

$A$ をデデキント整域、$\mathfrak{p}$ を $0$ でない素イデアルとすると、局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ は離散付値環になります。

局所化はネーター性と整閉性を保ちます。$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルと対応するので、$0$ と $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ だけで次元は 1 です。

局所環でもあるので、同値条件の (2) から (1) が使えて離散付値環が従います。

逆も成り立ちます。ネーター整域 $A$ がデデキント整域であることと、$0$ でないすべての素イデアルでの局所化が離散付値環であることは同値です。

イデアルの一意分解は、各素イデアルでの局所化における付値を並べたものだと読めます。指数 $n_{\mathfrak{p}}$ がまさに $v_{\mathfrak{p}}$ の値です。

完備化とオストロフスキーの定理

離散付値環には距離が入ります。$0<c<1$ を固定し $|x|=c^{v(x)}$ と定めると、通常より強い三角不等式が成り立ちます。

$$|x+y|\le \max \{|x|,|y|\}$$

この距離で完備化すると、また離散付値環が得られます。${\mathbb{Z}}_{(p)}$ の完備化が ${\mathbb{Z}}_p$、$k[x{]}_{(x)}$ の完備化が $k[[x]]$ です。

完備な離散付値環ではヘンゼルの補題が使えます。剰余体で単根に分解する多項式は、根がそのまま持ち上がります。前に ${\mathbb{Z}}_5$ で $\sqrt{-1}$ を作ったのがこれです。

最後に、$\mathbb{Q}$ の上ではこれらが全部だという定理を挙げます。オストロフスキーの定理によれば、$\mathbb{Q}$ 上の自明でない絶対値は通常の絶対値か、ある素数 $p$ に対する $p$ 進絶対値と同値です。

素数ひとつひとつが離散付値環をひとつ与え、それに通常の絶対値を足したものが $\mathbb{Q}$ の測り方をすべて尽くします。離散付値環が数論の基本単位と呼ばれるのは、この定理があるからです。

参考文献