付置環と離散付置環

付置環（valuation ring）は、体 $K$ の部分環 $R$ のうちで次の条件を満たすものです。

$$\forall x\in K^{\times },x\in R\text{ または }{x}^{-1}\in R$$

つまり、体の任意の元について「それ自身か逆数のどちらか」が必ず $R$ に含まれるような環です。この性質により、$R$ は $K$ の元に「大きさの順序」を与えるものと考えられます。

離散付置環（discrete valuation ring, DVR）

離散付置環とは、付置環のうちで「離散的な値付け関数」をもつものを指します。

体 $K$ に対して、写像 $v:K^{\times }\to \mathbb{Z}$ があり、次を満たすとき「離散付置（discrete valuation）」と呼びます。

$$v(xy)=v(x)+v(y),v(x+y)\ge \min \{v(x),v(y)\}$$

そして $R=\{x\in K\mid v(x)\ge 0\}$ と定めた環が 離散付置環（DVR） です。

このとき $v$ の値域が整数 $\mathbb{Z}$ に対応しているため「離散」と呼ばれます。

具体例

${\mathbb{Z}}_{(p)}=\{a/b\mid a,b\in \mathbb{Z},p\nmid b\}$

$p$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_p$

$k[[t]]$ （$k$ を体とする形式的冪級数環）

これらはいずれも体（それぞれ $\mathbb{Q}$ や $k((t))$）の部分環としての付置環であり、離散値をもつ典型例です。

性質と次元

離散付置環 $R$ は整域であり、しかも局所環です。その極大イデアル $\mathfrak{m}$ は 1 つの元 $\pi$（一様化元）で生成されます。

$$\mathfrak{m}=(\pi )$$

このときの剰余体 $R/\mathfrak{m}$ を剰余体（residue field）と呼びます。

主イデアル整域 はい（すべてのイデアルは $({\pi }^n)$ の形）
極大イデアル $(\pi )$ のみ
局所環 はい
整域 はい
Krull 次元 1

したがって、離散付置環の Krull 次元は 1 です。これは「極大イデアルの鎖が $0⊊\mathfrak{m}$ だけ」という事実に対応します。

幾何的視点

代数幾何では、曲線の各点の局所環がしばしば離散付置環になります。したがって離散付置環は「滑らかな曲線上の点の局所的な性質」を表す基本単位ともいえます。

たとえば代数曲線上の正則関数の「零点の位数」や「極の位数」は、まさに値付け $v$ によって測られます。