核はそのまま、像には「層化」が要る｜層の写像と制限

層の写像には、はっきりした非対称があります。核はそのまま層になり、像はそのままでは層になりません。

核は「各点で $0$ へ行く」という局所的な条件で決まります。局所的な条件で切り出したものは、層の公理をそのまま受け継ぐ。

像は違います。「その開集合の上で持ち上がる」という条件が局所的でないためです。

以下では射・制限・押し出し・逆像を整理し、核と像の差がどこから出るかを具体例で追います。

層の射

$X$ 上の層 $\mathcal{F}$、$\mathcal{G}$ に対して、射 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ とは開集合ごとの写像の族です^[1]。

$${\phi }_U:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{G}(U)$$

制限と両立することを要求します。$V\subseteq U$ について ${\phi }_V(s{|}_V)={\phi }_U(s){|}_V$ が成り立つ、という条件です。

値が群や環なら、各 ${\phi }_U$ も準同型にします。層の圏はこの射で定まります。

茎にも写像が誘導されます。芽 $[s,U]$ を $[{\phi }_U(s),U]$ へ送ればよく、well-defined になります。

制限

開集合 $U\subseteq X$ に対して、$\mathcal{F}$ を $U$ の上の層に読み替えられます^[1]。

$V\subseteq U$ に対して $(\mathcal{F}{|}_U)(V)=\mathcal{F}(V)$ と定めます。もともと $\mathcal{F}$ が $V$ に値を割り当てているので、何も新しく作りません。

層の公理は自動的に成り立ちます。$U$ の中の開被覆は $X$ の中の開被覆でもあるためです。

$V\subseteq U$ について $(\mathcal{F}{|}_U){|}_V=\mathcal{F}{|}_V$ が成り立ちます。制限を 2 回しても 1 回と同じです。

茎も変わりません。$x\in U$ なら $(\mathcal{F}{|}_U{)}_x={\mathcal{F}}_x$ です。

押し出しと逆像

連続写像 $f:X\to Y$ があると、層を移せます。

押し出しは素直です^[1]。

$$(f_{\ast }\mathcal{F})(V)=\mathcal{F}(f^{-1}(V))$$

$f$ が連続なので $f^{-1}(V)$ は開集合です。層の公理も、逆像が被覆を被覆へ送ることから従います。

逆像は素直にいきません。$Y$ 上の層 $\mathcal{G}$ に対して $(f^{-1}\mathcal{G})(U)$ を素朴に定めても、層になりません。

$f(U)$ が開集合とは限らないためです。$f(U)$ を含む開集合について極限をとり、そのあと層化します^[1]。

$f$ が開埋め込みなら簡単になります。$f^{-1}\mathcal{G}(U)=\mathcal{G}(U)$ で、制限と同じものです。

3 つの操作の向き

移し方を図にしておきます。

右向きが押し出し、左向きが逆像です。片方は定義がそのまま通り、もう片方は層化が要ります。

制限は、開埋め込みに沿った逆像の特別な場合です。この場合だけ層化が要りません。

核は層になる

射 $\phi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ の核を定めます^[1]。

$$(\ker \phi )(U)=\{s\in \mathcal{F}(U):{\phi }_U(s)=0\}$$

これが層になることを確かめます。一意性は $\mathcal{F}$ から受け継ぎます。部分集合なので、一致すれば等しい。

貼り合わせを見ましょう。$s_i\in (\ker \phi )(U_i)$ が重なりで一致するとします。

$\mathcal{F}$ が層なので、貼り合わせた $s\in \mathcal{F}(U)$ があります。${\phi }_U(s)$ を各 $U_i$ へ制限すると ${\phi }_{U_i}(s_i)=0$ です。

$\mathcal{G}$ の一意性の公理から ${\phi }_U(s)=0$ となり、$s\in (\ker \phi )(U)$ です。核は層になりました。

茎とも交換します。$(\ker \phi {)}_x=\ker ({\phi }_x)$ が成り立ちます^[1]。

像前層は層にならない

像を素朴に定めてみます。

$${\mathrm{im}}_{\text{pre}}(\phi )(U)=\mathrm{im}({\phi }_U)$$

これは前層ですが、層にならないことがあります。貼り合わせの公理が破れるためです^[1]。

各 $U_i$ の上では持ち上がる切断が、$U$ 全体では持ち上がらない。そういう状況が起きます。

「持ち上がるかどうか」が局所的な条件でないことが原因です。核のときとの差はここにあります。

例: 平方根が貼れない

具体的な反例を作ります。$X={\mathbb{C}}^{\ast }$ とし、${\mathcal{O}}^{\ast }$ を $0$ をとらない正則関数の層とします。

射を $\phi (f)=f^2$ と定めます。層の射になっていることは、制限と両立するので分かります。

茎では全射です。$1$ 点のまわりでは、$0$ をとらない正則関数に平方根がとれるためです。

大域切断では全射になりません。座標関数 $z$ に対して $w^2=z$ をみたす大域的な $w$ が存在しないからです。

$z$ は各点のまわりで像に入ります。ところが ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 全体では像に入らない。像前層の貼り合わせが破れています。

1 周すると符号が変わる

貼れない理由を動かして見ます。

左の点が 1 周するあいだに、右の平方根は半周しかしません。

戻ってきたとき、平方根は出発点の反対側にいます。符号が反転しているので、局所的に選んだ枝どうしが重なりで食い違う。

各弧の上では平方根がとれています。それでも貼り合わせられません。像前層が層にならない、というのはこの状況を指しています。

層化して像を定める

対処は層化です^[1]。

$$\mathrm{im}(\phi )=({\mathrm{im}}_{\text{pre}}(\phi ){)}^{+}$$

層化してできた $\mathrm{im}(\phi )$ は $\mathcal{G}$ の部分層になります。茎は変わらないので、点ごとの像は同じです。

さきほどの例では、$z$ が層化した像に入ります。局所的に像に入っていれば、層化の段階で拾われるためです。

余核も同じ事情です。素朴に商をとった前層は層にならないので、層化して定めます。

核だけが層化なしで済む。この非対称が、層の圏を扱うときの基本になります。

全射性は茎で見る

射の全射性は、開集合ごとではなく茎で定めます^[1]。

$\phi$ が全射であるとは、すべての $x$ で ${\phi }_x$ が全射であることをいいます。$\mathrm{im}(\phi )=\mathcal{G}$ と同じ条件です。

${\phi }_U$ が全射である必要はありません。さきほどの平方根の例が、その差を示しています。

単射のほうは食い違いません。$\phi$ が単射であることと、すべての ${\phi }_U$ が単射であることが同値です^[1]。

同型についても茎で判定できます。すべての ${\phi }_x$ が同型なら $\phi$ は同型です^[1]。

完全列と大域切断

核と像が定まったので、完全列が書けます。

$$0\to {\mathcal{F}}^{\prime }\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}^{\prime \prime }\to 0$$

完全性は茎で見ます。各点で完全なら、層の列として完全とします。

大域切断をとると、右端で切れます。左の 2 本までは完全ですが、$\Gamma (X,\mathcal{F})\to \Gamma (X,{\mathcal{F}}^{\prime \prime })$ が全射とは限りません。

平方根の例がまさにこれです。局所的に持ち上げられても、貼り合わせで失敗する。

このずれを測る道具が層コホモロジーで、チェック複体を使えば計算できます^[4]。

準連接層の場合

代数幾何では、層に条件を付けて扱いやすくします^[2]。

スキームの上の準連接層に限れば、核も像も余核も準連接層のままです。圏がアーベル圏になります。

アフィン開集合の上では加群の話に帰着します。局所化が完全関手なので、核と余核が加群の側の計算どおりに出ます^[3]。

一般の環付き空間では、この保証がありません。準連接層の圏がアーベル圏にならないことがあります^[3]。

スキームという土台があるおかげで、扱いが軽くなっています^[5]。

練習

局所的な条件かどうか。判定はこの一言で済みます。

よくある誤り

まとめます。

核と像の非対称が、層コホモロジーが必要になる出発点です。

参考文献