代数幾何学の視点では、球面 は単なる幾何的な円周としてではなく、代数的方程式で表されるアフィン多様体または射影多様体として理解できる。たとえば実数体上では
と表され、複素数体上に拡張すると複素射影直線 と深い関係をもつ。
アフィン多様体としての S^1
方程式 により定義されるアフィン多様体を考える。このとき座標環は次のように与えられる。
これは単位円を表す代数的構造であり、単位群 の実代数的実現でもある。 は整域であり、対応するアフィン多様体は滑らかな一次元多様体である。
次元 1（1次元多様体）
特異点 存在しない
既約性 既約
座標環
複素化と射影直線との関係
を複素数体に拡張して考えると、次の多様体が得られる。
ここで 上の点 は、実円を包み込む複素曲線を形成する。これは代数的には射影直線 のアフィン開部分に同型である。
が 上を動く
は の実部分に対応
つまり は複素射影直線の「実構造」をもつ部分多様体であり、代数幾何学的には実射影直線 として再解釈される。
実構造とガロア作用
複素射影直線 において、複素共役 は自然な実構造を与える。この実構造の固定点集合がちょうど に一致する。したがって は次のように特徴づけられる。
複素射影直線 ... の実点集合
複素共役によるガロア群 ... の不動点
単位円 ... と同型
この見方により、 の性質はガロア理論や実代数幾何学の枠組みでも解析できる。
結論
は単なるトポロジー的な円ではなく、代数幾何学的には「実射影直線 の滑らかな実部分」であり、複素化すると射影直線 に埋めこまれる。実代数多様体・複素多様体・群多様体の三つの観点が交差する代表的な対象である。
