代数曲線とその特異点の簡単な例

$$f(x,y)=y^2-x^2(x+1)$$

この曲線は $x$ 軸のまわりで「8の字」に似た形になります。原点 $(0,0)$ を代入すると $f(0,0)=0$。偏微分は

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-3x^2-2x,\frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

原点でどちらも $0$ になるので、$(0,0)$ は特異点です。この特異点は滑らかに交わる2本の枝をもち、「交差型特異点（ノード）」と呼ばれます。

$$f(x,y)=y^2-x^3$$

この曲線は「やじり」のように一点でとがっています。$f(0,0)=0$、また偏微分は

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-3x^2,\frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

原点でいずれも $0$ なので、そこが特異点です。このように1本の枝が鋭く折れ曲がる点を カスプ（cusp） といいます。

$$f(x,y)=y-x^2$$

放物線 $y=x^2$ はどこでも滑らかです。$f_x=-2x$, $f_y=1$ であり、どちらかが常に 0 ではないため、特異点は存在しません。

代数幾何学では、このように偏微分の消える点を調べることで、曲線の局所的な形や分類を理解します。