代数曲線のどこがとがっているのか？偏微分で特異点を見つける

曲線が 1 点でとがっているかどうかは、偏微分を 2 本計算すれば決まります。

多項式 $f (x, y)$ の零点として与えられた曲線を考えましょう。点 $(a, b)$ が特異点であるとは、次の 3 つが同時に $0$ になることをいう。

$f (a, b) = 0, \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) = 0, \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) = 0$

判定そのものはこれで終わりです。難しいのは $0$ になったあとで、どんなとがり方をしているかを見分ける段階になります。

以下では 8 つの曲線を順に手で調べます。結節点・尖点・孤立点・タクノード・三重点が出てくるので、それぞれの見分け方を確かめていく。体は複素数体のような代数閉体を想定します^[2]。

接線が 1 本に決まらない点

滑らかな点では、接線がちょうど 1 本引けます。陰関数定理が働き、曲線はその点の近くで関数のグラフになるからです。

$f_{y} (a, b) \neq = 0$ なら $y$ について解けて $y = φ (x)$ の形になります。 $f_{x} (a, b) \neq = 0$ なら $x$ について解ける。

どちらも $0$ だと、この足場が崩れます。接線の方程式にあたる $f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b) = 0$ が $0 = 0$ になってしまい、線を 1 本に絞れません。

線が引けないのではなく、絞れない。だから枝が 2 本に分かれたり、向きが折り返したりできてしまいます。

例 1: 放物線には特異点がない

$f (x, y) = y - x^{2}$ とします。偏微分は次のとおりです。

$f_{x} = - 2 x, f_{y} = 1$

$f_{y}$ が定数の $1$ なので、どの点でも $0$ になりません。したがって特異点は存在しない。

放物線がどこでも滑らかなのは、この一行で言い切れます。グラフとして書ける曲線には、そもそも特異点が現れません。

例 2: 円も全体が滑らか

$f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$ の偏微分は $f_{x} = 2 x$ 、 $f_{y} = 2 y$ です。

両方が $0$ になるのは原点だけですが、原点は $f (0, 0) = - 1 \neq = 0$ なので曲線の上にありません。よって特異点はありません。

3 条件のうち $f (a, b) = 0$ を忘れると、ここで間違えます。偏微分が消える点を探すだけでは足りず、その点が曲線に乗っているかどうかまで見る。

判定の手順

例を増やす前に、手順を並べておきます。

$f$ と $f_{x}$ と $f_{y}$ の共通零点を求める

その点を原点へ平行移動する

最低次の同次部分をとり出す

その因数分解から型を読む

3 番目に出てくる最低次の同次部分が接錐です。次数が重複度、因数が接線の方向を与えます^[3]。

平行移動しておくのは、接錐が原点を基準に定義されるためです。 $(a, b)$ での話は $x \to x + a$ 、 $y \to y + b$ で原点の話に直せます。

例 3: 結節点をもつ曲線

$f (x, y) = y^{2} - x^{2} (x + 1)$ を調べましょう。展開すると $f = y^{2} - x^{3} - x^{2}$ です。

$f_{x} = - 3 x^{2} - 2 x, f_{y} = 2 y$

$f_{y} = 0$ から $y = 0$ 、 $f_{x} = 0$ から $x = 0$ または $x = - 2/3$ が出ます。曲線に乗るのは $(0, 0)$ だけなので、特異点は原点の 1 つです。

$(- 2/3, 0)$ を代入すると $f = - (- 2/3)^{3} - (- 2/3)^{2} = 8/27 - 4/9 \neq = 0$ となり、曲線から外れます。

結節点の 2 本の接線

原点での接錐をとり出します。 $f = y^{2} - x^{2} - x^{3}$ の最低次は 2 次の部分です。

$y^{2} - x^{2} = (y - x) (y + x)$

因数が 2 つに分かれ、どちらも実数係数の 1 次式です。接線が $y = x$ と $y = - x$ の 2 本あることになります。

2 本の異なる接線をもつ 2 重点を結節点といいます^[1]。曲線が原点で自分自身と交わり、 $8$ の字のような形になる。

この曲線は有理曲線でもあります。 $y = t x$ と置いて代入すると $t^{2} x^{2} = x^{2} (x + 1)$ となり、 $x = t^{2} - 1$ が出る。

$x = t^{2} - 1, y = t (t^{2} - 1)$

$t = 1$ と $t = - 1$ がどちらも原点へ行きます。パラメータの側では 2 点だったものが、曲線の上で 1 点に重なっている。

例 4: 尖点をもつ曲線

$f (x, y) = y^{2} - x^{3}$ の偏微分は $f_{x} = - 3 x^{2}$ 、 $f_{y} = 2 y$ です。両方が消えるのは原点だけで、原点は曲線に乗っています。

接錐は最低次の $y^{2}$ です。 $y \cdot y$ と分解されるので、接線は $y = 0$ の 1 本だけ、それが 2 重になっています。

2 重の接線を 1 本だけもつ 2 重点を尖点といいます^[5]。フランス語では点が引き返す点と呼ばれ、名前がそのまま形を表しています。

パラメータ表示は $x = t^{2}$ 、 $y = t^{3}$ です。原点へ行く $t$ は $t = 0$ のただ 1 つ。

結節点との違いがここに出ます。結節点では 2 つのパラメータ値が 1 点に重なり、尖点では 1 つのパラメータ値が原点で止まって向きを変える。

3 つの型を並べて見る

結節点・尖点・孤立点を、同じ縮尺で描いてみましょう。

右端の図では、原点だけが本体から離れて浮いています。実平面で見ると孤立した点に見える。

例 5: 実平面で孤立して見える点

$f (x, y) = y^{2} - x^{2} (x - 1)$ を調べます。原点で $f = 0$ 、 $f_{x} = - 3 x^{2} + 2 x$ 、 $f_{y} = 2 y$ がどちらも消えるので特異点です。

接錐は $y^{2} + x^{2}$ になります。実数の範囲では $(0, 0)$ しか解がなく、1 次式へ分解できません。

複素数まで広げると $y^{2} + x^{2} = (y - i x) (y + i x)$ と分かれます。接線は 2 本あり、それが実数でないだけ。

このような点を孤立点と呼びます^[5]。実平面に描くと原点がぽつんと残り、曲線の本体は $x \geq 1$ の側にあります。

代数閉体で考える理由がここにあります。実数体の上では 3 つの型に見えるものが、複素数体の上では結節点と孤立点が同じ扱いになる。

族の中を動かす

$y^{2} = x^{2} (x + c)$ の $c$ を連続的に動かすと、3 つの型が入れ替わります。

$c$ が正から負へ渡る一瞬だけ、尖点が現れます。左右の枝が閉じて 1 点に潰れ、そこから離れて孤立点になる。

尖点が特別に見えるのは、この一瞬でしか起きないからです。族の中では境目にあたる型になります。

接錐と重複度

いま何度か使った最低次の同次部分に、正式な名前を与えておきます。

$f$ を原点で展開し、次数が最も低い同次部分を $f_{m}$ と書きます。 $f_{m} = 0$ が定める図形が接錐、次数 $m$ が原点での重複度です^[3]。

m = 1

なら滑らかな点。接錐は接線 1 本になる。

m = 2

で接錐が異なる 2 直線なら結節点。

m = 2

で接錐が 2 重直線なら尖点かタクノード。

m = 3

で接錐が異なる 3 直線なら通常三重点。

重複度は、原点を通る一般の直線と曲線が何点で交わるかの数でもあります。結節点なら 2 点、三重点なら 3 点が原点に集まっている。

接錐が 2 重直線のときは、それだけでは型が決まりません。次の 2 例がその場合にあたります。

例 6: タクノード

$f (x, y) = y^{2} - x^{4}$ の最低次は $y^{2}$ で、接錐は 2 重直線 $y = 0$ です。尖点と同じ接錐になります。

ところが因数分解すると様子が違います。

$y^{2} - x^{4} = (y - x^{2}) (y + x^{2})$

2 つの放物線に分かれ、どちらも原点で $x$ 軸に接している。曲線が既約ですらありません。

このように 2 本の枝が同じ接線をもって触れ合う点をタクノードといいます。枝が 2 本ある点は結節点と似ていますが、接線が重なっている点が違う。

例 7: 高次の尖点

$f (x, y) = y^{2} - x^{5}$ も接錐は $y^{2}$ です。パラメータ表示は $x = t^{2}$ 、 $y = t^{5}$ になります。

尖点と同じく枝は 1 本で、原点で向きを変えます。とがり方はより深く、 $y^{2} = x^{3}$ より平らに寝た形になる。

接錐だけでは尖点と区別できません。区別するには、あとで触れる不変量まで下りる必要があります。

例 8: 通常三重点

$f (x, y) = y^{3} - x^{2} y - x^{4}$ を調べましょう。最低次は 3 次の部分です。

$y^{3} - x^{2} y = y (y - x) (y + x)$

異なる 3 直線に分かれるので、原点は通常三重点です。重複度は $3$ で、3 本の枝が原点で交わっている。

偏微分でも確かめられます。 $f_{x} = - 2 x y - 4 x^{3}$ と $f_{y} = 3 y^{2} - x^{2}$ は、どちらも原点で $0$ です。

重複度が上がるほど、その点はきつい特異点になります。次に見る不変量でも、この差がそのまま数に出る。

例 8 までの一覧

ここまでの曲線を、原点での型でまとめます。

曲線	原点での型	接錐
$y = x^{2}$	滑らか	$y = 0$
$y^{2} = x^{2} (x + 1)$	結節点	$(y - x) (y + x)$
$y^{2} = x^{3}$	尖点	$y^{2}$
$y^{2} = x^{2} (x - 1)$	孤立点	$y^{2} + x^{2}$
$y^{2} = x^{4}$	タクノード	$y^{2}$
$y^{2} = x^{5}$	高次の尖点	$y^{2}$
$y^{3} - x^{2} y = x^{4}$	三重点	$y (y - x) (y + x)$

同じ接錐 $y^{2}$ から 3 つの型が出ています。接錐は最初のふるいであって、最終判定ではない。

特異点は有限個しかない

既約な曲線の特異点は、いつでも有限個です。理由は共通因子の話に帰着します。

$f$ が既約で、 $f$ と $f_{x}$ が共通零点を無限個もつとしましょう。曲線の既約性から、 $f_{x}$ は $f$ で割り切れることになります。

ところが $f_{x}$ の次数は $f$ より小さいので、 $f_{x} = 0$ しかありません。標数 $0$ ではこれは $f$ が $x$ を含まないことを意味します。

$f_{y} = 0$ でも同じ議論が働き、 $f$ が定数になってしまう。よって特異点は有限個です。

一般の代数多様体でも、滑らかな点の全体は開かつ稠密になります^[2]。特異なところは、いつでも痩せた集合です。

次数と種数の関係

特異点の重さは、種数の落ち方として数に出ます。次数 $d$ の既約平面曲線の算術種数は次の式で決まります^[4]。

$p_{a} = \frac{( d - 1 ) ( d - 2 )}{2}$

特異点があると、幾何種数はここから落ちます。落ちる量が各特異点の $δ$ 不変量で、結節点と通常の尖点はどちらも $δ = 1$ です。

$g = p_{a} - P \sum δ_{P}$

3 次曲線で試しましょう。 $d = 3$ なので $p_{a} = 1$ です。 $y^{2} = x^{2} (x + 1)$ は結節点を 1 つもつので $g = 0$ になります。

さきほど得た有理パラメータ表示と辻褄が合います。種数 $0$ の曲線は有理曲線なので、 $1$ 変数で書けるはずでした。

$y^{2} = x^{3}$ も $δ = 1$ で $g = 0$ です。実際 $x = t^{2}$ 、 $y = t^{3}$ と書けています。

特異点をもたない 3 次曲線なら $g = 1$ で、有理パラメータ表示は存在しません。楕円曲線がそれにあたります。

座標を変えても型は変わらない

判定に座標を使ったので、座標のとり方に答えが左右されないかを確かめておきます。

1 次変換で座標をとり替えると、偏微分はヤコビ行列を掛けた形に変わります。行列が正則なら $f_{x}$ と $f_{y}$ が同時に $0$ になる条件は変わらないので、特異点の位置は座標の選び方によりません。

接錐も同じ 1 次変換で写り、因数の本数と重なり方は保たれる。

重複度も不変です。原点を通る一般の直線との交点数として定義できるので、座標の言葉を使わずに書き直せます。

不変であることが分かって初めて、特異点は曲線そのものの性質だと言えます。判定に使った式は道具にすぎません。

練習

曲線 $y^{2} = x^{4} + x^{5}$ の原点は、どの型の特異点ですか。

滑らかな点
尖点
タクノード
三重点

__RESULT__

最低次は $y^{2}$ で重複度は $2$ 、接錐は 2 重直線です。因数分解すると $y^{2} - x^{4} (1 + x) = (y - x^{2} 1 + x) (y + x^{2} 1 + x)$ となり、原点の近くで枝が 2 本に分かれます。同じ接線をもつ枝が 2 本なのでタクノードです。

枝の本数を数える習慣がつくと、接錐が同じ場合でも迷わなくなります。

よくある誤り

判定でつまずきやすい点を並べます。

偏微分だけを見る

$f_{x}$ と $f_{y}$ の共通零点を求めて満足してしまう。その点が曲線に乗っているかどうかを確かめていない。

3 条件をそろえる

$f = f_{x} = f_{y} = 0$ の 3 つを連立させる。円の例のように、偏微分が消えても曲線から外れる点がある。

ほかにも間違えやすい点があります。

実平面の絵だけで判定する。孤立点は絵の上では点にしか見えない。

接錐が同じなら同じ型だと思う。尖点とタクノードは接錐が一致する。

自己交差だけが特異点だと思う。尖点も孤立点も交差していない。

とがって見えないと滑らかだと思う。

y^{2} = x^{5}

は原点でほとんど平らに見える。

f

が可約でも既約と同じ議論を使う。2 直線の交点は成分の交わりであって、有限個の判定は既約性を使う。

どれも定義に戻れば防げます。3 条件を確かめ、原点へ移し、接錐を因数分解する。この順番を崩さないことです。

参考文献

Singular point of a curve, Wikipedia (English).

Singular point of an algebraic variety, Wikipedia (English).

Tangent cone, Wikipedia (English).

Genus–degree formula, Wikipedia (English).

Point singulier d'une courbe, Wikipédia (français).

多項式で書かれた曲線の上で、接線が 1 本に決まらない点が特異点です。$f$ と 2 つの偏微分が同時に消える条件から始め、放物線・円・結節点・尖点・孤立点・タクノード・三重点まで 8 つの曲線を手で判定します。最低次の同次部分を因数分解すると型が読める。同じ接錐から尖点とタクノードが分かれる理由、実平面では点にしか見えない孤立点、次数と種数の関係で特異点の重さを数えるところまで。$y^2 = x^2(x+c)$ の $c$ を動かすと、3 つの型が入れ替わります。