代数曲線とその特異点の簡単な例

代数曲線は多項式方程式 $f (x, y) = 0$ で表される曲線です。点 $(a, b)$ が 特異点 であるとは、次の3条件が同時に成り立つときです。

$f (a, b) = 0, \frac{\partial f}{\partial x} (a, b) = 0, \frac{\partial f}{\partial y} (a, b) = 0$

例1：結節点（ノード）

$f (x, y) = y^{2} - x^{2} (x + 1)$

この曲線は $x$ 軸のまわりで「8の字」に似た形になります。原点 $(0, 0)$ を代入すると $f (0, 0) = 0$ 。偏微分は

$\frac{\partial f}{\partial x} = - 3 x^{2} - 2 x, \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y$

原点でどちらも $0$ になるので、 $(0, 0)$ は特異点です。この特異点は滑らかに交わる2本の枝をもち、「交差型特異点（ノード）」と呼ばれます。

例2：尖点（カスプ）

$f (x, y) = y^{2} - x^{3}$

この曲線は「やじり」のように一点でとがっています。 $f (0, 0) = 0$ 、また偏微分は

$\frac{\partial f}{\partial x} = - 3 x^{2}, \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y$

原点でいずれも $0$ なので、そこが特異点です。このように1本の枝が鋭く折れ曲がる点を カスプ（cusp） といいます。

例3：滑らかな曲線（非特異）

$f (x, y) = y - x^{2}$

放物線 $y = x^{2}$ はどこでも滑らかです。 $f_{x} = - 2 x$ , $f_{y} = 1$ であり、どちらかが常に 0 ではないため、特異点は存在しません。

代数幾何学では、このように偏微分の消える点を調べることで、曲線の局所的な形や分類を理解します。