有限生成の群について

群とは、集合 $G$ と二項演算 $\cdot$ があり、次の三つの条件を満たすものです。

任意の $a, b, c \in G$ に対して $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ （結合律）
単位元 $e \in G$ が存在して、すべての $a \in G$ に対して $e \cdot a = a \cdot e = a$
任意の $a \in G$ に対して逆元 $a^{- 1} \in G$ が存在して、 $a \cdot a^{- 1} = a^{- 1} \cdot a = e$

有限生成とは

群 $G$ の部分集合 $S = {g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n}}$ があって、 $G$ の任意の元が $S$ の元とその逆元を有限回の積で表せるとき、 $G$ は 有限生成群（finitely generated group）といいます。

すなわち

$G = ⟨ S ⟩ = {g_{i_{1}}^{ϵ_{1}} g_{i_{2}}^{ϵ_{2}} \dots g_{i_{k}}^{ϵ_{k}} ∣ g_{i_{j}} \in S, ϵ_{j} = \pm 1, k \in N}$

であるとき、 $G$ は有限生成群。

$S$ はそのときの生成系（generating set）と呼ばれます。最小の生成系の大きさを 生成元の個数 といいます。

例

整数全体の加法群

1 つの元 $1$ からすべての整数が $1$ の加法的な反復で得られるため、 $Z = ⟨ 1 ⟩$ です。したがって有限生成。

有理数加法群

有限個の元からすべての有理数を作ることはできません。したがって有限生成ではありません。

性質

有限生成群には次のような重要な特徴があります。

有限生成アーベル群は「有限個の巡回群の直積」として表される（有限生成アーベル群の基本定理）

有限生成群は Cayley グラフを用いて幾何的に表せる

有限生成でない群はしばしば「無限次元的」な構造をもつ

有限生成群の概念は、代数幾何学やトポロジーでも現れます。たとえば、コンパクトなトポロジー群の基本群は有限生成であることが多く、空間の「形の有限性」を表しています。