群とは、集合 と二項演算 があり、次の三つの条件を満たすものです。
任意の に対して （結合律）
単位元 が存在して、すべての に対して
任意の に対して逆元 が存在して、
有限生成とは
群 の部分集合 があって、 の任意の元が の元とその逆元を有限回の積で表せるとき、 は 有限生成群（finitely generated group）といいます。
すなわち
であるとき、 は有限生成群。
はそのときの生成系（generating set）と呼ばれます。最小の生成系の大きさを 生成元の個数 といいます。
例
整数全体の加法群
1 つの元 からすべての整数が の加法的な反復で得られるため、 です。したがって有限生成。
有理数加法群
有限個の元からすべての有理数を作ることはできません。したがって有限生成ではありません。
性質
有限生成群には次のような重要な特徴があります。
有限生成アーベル群は「有限個の巡回群の直積」として表される（有限生成アーベル群の基本定理）
有限生成群は Cayley グラフを用いて幾何的に表せる
有限生成でない群はしばしば「無限次元的」な構造をもつ
有限生成群の概念は、代数幾何学やトポロジーでも現れます。たとえば、コンパクトなトポロジー群の基本群は有限生成であることが多く、空間の「形の有限性」を表しています。
