有限生成群の定義と性質｜生成系・商と部分群の非対称・構造定理

群 $G$ の有限個の元 $g_1,\dots ,g_n$ をとり、これらと逆元の有限個の積で $G$ のどの元も書けるとき、$G$ は有限生成であるといいます。この $S=\{g_1,\dots ,g_n\}$ が生成系。

無限に大きい群でも、指の数ほどの元から全体が組み上がることがある。どこまでが組み上がってどこからが組み上がらないのか、その境目を見ていきます。

生成される部分群

部分集合 $S\subseteq G$ に対し、$S$ を含む最小の部分群を $⟨S⟩$ と書きます。$S$ を含む部分群すべての共通部分をとったもの、と言ってもよい。

中身は具体的に書けます。

$$⟨S⟩=\{s_1^{{\epsilon }_1}{s}_2^{{\epsilon }_2}\cdots s_k^{{\epsilon }_k}\mid s_i\in S,{\epsilon }_i=\pm 1,k\ge 0\}$$

$k=0$ のときは空の積で、単位元を表す。この集合が積と逆元で閉じることは、並べた列をつなぐだけで確かめられる。

$⟨S⟩=G$ となる有限集合 $S$ があれば有限生成。生成系は一つに決まらず、同じ群がいくつもの生成系を持つ。

例：整数全体は 1 元で生成される

$\mathbb{Z}$ は $1$ ひとつで生成されます。任意の整数 $n$ は $1$ を $n$ 回足すか、$-1$ を $|n|$ 回足すかで得られる。

$$\mathbb{Z}=⟨1⟩$$

$\{2,3\}$ も生成系になります。$3-2=1$ が作れるので、そこから全体に届く。

1 元で生成される群を巡回群といい、$\mathbb{Z}$ と有限巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ がその全部です。

例：対称群は 2 元で生成される

$n$ 文字の対称群 $S_n$ は位数 $n!$ で、$n$ が大きいと元の個数は急に増えます。それでも生成系は 2 個で足りる。

互換 $(12)$ と巡回置換 $(12\cdots n)$ をとれば、この 2 つで $S_n$ 全体が書ける。巡回置換で番号をずらしながら互換を掛けると、隣どうしの互換がすべて作れるからです。

元の個数と生成系の大きさは、まるで別の量。

有限生成群は可算

生成系が有限なら、語の長さごとに元を並べられる。長さ $k$ 以下の語は有限個しかないので、群全体は可算集合になる。

対偶をとると、非可算な群は有限生成になりません。実数の加法群 $(\mathbb{R},+)$ がその例です。

ただし可算だから有限生成、とはいかない。次の節がその反例になります。

例：有理数全体は有限生成にならない

$(\mathbb{Q},+)$ は可算ですが、有限生成ではありません。有限個の分数 $a_1/b_1,\dots ,a_n/b_n$ をとり、$N$ をその分母の最小公倍数とする。

これらが生成する部分群は $\frac{1}{N}\mathbb{Z}$ に収まる。ところが $\frac{1}{2N}$ はそこに入らない。

何個選んでも分母に上限ができてしまい、全体には届かないという構図です。

自由群からの全射として言いかえる

$S$ が $G$ を生成するとします。自由群 $F(S)$ の普遍性を使うと、包含写像 $S\to G$ が延長されて全射準同型が得られる。

$$F(S)\twoheadrightarrow G$$

つまり有限生成であることは、ある $F_n$ の商になることと同じ意味です。関係式を書き足していけば、どんな有限生成群も作れる。

この言いかえのおかげで、有限生成群の話が自由群と関係式の話に置きかわる。

商は有限生成のまま

$G$ が有限生成で $N$ が正規部分群なら、商 $G/N$ も有限生成です。生成系の像がそのまま商の生成系になる。

逆向きの合わせ技も成り立ちます。$N$ と $G/N$ がどちらも有限生成なら、$G$ も有限生成になる。

$N$ の生成系と、$G/N$ の生成系の代表元を合わせればよいからです。

部分群は有限生成とは限らない

商のほうは素直でしたが、部分群では崩れます。有限生成群の部分群が有限生成にならないことがある。

正規部分群でも同じで、正規性は助けになりません。この非対称は、群を扱ううえで最初に覚えておく落とし穴の一つ。

例：交換子部分群が無限階数になる

$F_2=F(\{a,b\})$ は 2 元で生成される群です。その交換子部分群 $[F_2,F_2]$ をとる。

これは自由群になりますが、階数は無限です。基底として $[a^m,b^n]$（$m$ と $n$ は $0$ でない整数）の全体がとれる。

一方で商 $F_2/[F_2,F_2]$ は ${\mathbb{Z}}^2$ で、2 元で生成されます。上へ移せば有限生成のまま、中へ入ると無限生成になるという対比。

有限指数なら部分群も有限生成

歯止めもあります。有限生成群の、指数が有限の部分群は有限生成になる。

証明は Schreier の方法で、剰余類の代表系から生成系を組み立てる。代表系が有限なので、できる生成系も有限になる。

アーベル群でも歯止めが効く。有限生成アーベル群の部分群は、かならず有限生成です。

有限生成アーベル群の構造定理

有限生成でアーベルなら、形が完全に決まります。

$$G\cong {\mathbb{Z}}^r\times \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}/n_s\mathbb{Z}$$

ここで $n_1\mid n_2\mid \cdots \mid n_s$ という割り切れる関係を課すと、$r$ と $n_i$ の並びが一つに決まる。$r$ を階数、右側をねじれ部分といいます。

非可換になったとたん、この種の分類は失われる。有限生成群の全体を分類する望みは、いまのところありません。

Cayley グラフと語の長さ

生成系 $S$ を固定すると、群を図にできる。頂点を $G$ の元、辺を生成元を掛ける操作にとったものが Cayley グラフ。

このグラフの上で、単位元からの最短の辺数が語の長さです。生成系をとりかえると長さは変わりますが、変わり方には限度がある。

有限生成であることが、この図を描くための前提になる。

例：格子の球を数える

${\mathbb{Z}}^2$ を標準的な 2 元で生成し、半径 $n$ の球にいくつ元があるかを数えます。距離 $k$ ちょうどの点は $|x|+|y|=k$ を満たすもので、$k\ge 1$ なら $4k$ 個ある。

原点の 1 個を足して合計をとると、次の式になります。

$$1+\sum _{k=1}^{n}4k=2n^2+2n+1$$

$n$ の 2 次式。一般に ${\mathbb{Z}}^d$ では $d$ 次式になり、次数が階数と一致する。

例：自由群の球を数える

同じ数え方を $F_2$ でやってみる。長さ $1$ の簡約語は $a$、$a^{-1}$、$b$、$b^{-1}$ の 4 個です。

長さ $k$ の簡約語は、長さ $k-1$ の語の末尾に、直前の文字の逆でない 3 通りを足したもの。だから $4\cdot 3^{k-1}$ 個になる。

$$1+\sum _{k=1}^{n}4\cdot 3^{k-1}=2\cdot 3^n-1$$

こちらは指数関数。同じ 2 元生成でも、格子とは増え方がまるで違う。

増大度で群を見分ける

球の元の個数を $n$ の関数として見たものが増大関数です。生成系をとりかえると値は変わりますが、多項式か指数かという区別は変わらない。

だから増大の型は、生成系によらない群そのものの量になる。ここから幾何的な分類が始まる。

Bass と Guivarc’h の公式によれば、そのときの次数はかならず整数になる。半端な指数で増える群は存在しません。

指数的に増える例は自由群で、その中間の速さで増える群も見つかっている。詳しくは 英語版の Gromov’s theorem on groups of polynomial growth にあります。

よくある誤り

参考文献