準連接層……アフィンでは加群、貼り合わせても加群のまま

準連接層は、加群を層に仕立て直したものです。アフィンな開集合の上では、必ずある加群 $M$ から作った層 $\tilde{M}$ の形をしています。

有限性は要求しません。無限生成の加群から作った層も準連接層です。有限性まで課したものが連接層になります。

以下ではまず $\tilde{M}$ の作り方を書き下し、判定条件を 1 つ用意します。そのあと例を 6 つ並べ、準連接でない層も作ってみる。

加群から層を作る

$A$ を可換環、$M$ を $A$ 加群とします。$X=\mathrm{Spec}A$ の基本開集合 $D(f)$ に対して、次のように定めます。

$$\tilde{M}(D(f))=M_f=M{\otimes }_A{A}_f$$

$f$ を可逆にした加群です。$f=1$ とすれば $\tilde{M}(X)=M$ になります。

基本開集合が開基をなすので、この規定から層が 1 つ決まります。素イデアル $\mathfrak{p}$ での茎は局所化 $M_{\mathfrak{p}}$ です。

$M=A$ とすると $\tilde{A}={\mathcal{O}}_X$、つまり構造層そのものが出てきます。構造層は、いちばん基本的な準連接層です。

定義

スキーム $X$ 上の ${\mathcal{O}}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ が準連接層であるとは、次が成り立つことをいいます。

$X$ をアフィン開集合 $U_i=\mathrm{Spec}{A}_i$ で覆えて、各 $i$ について $A_i$ 加群 $M_i$ が存在し、次の同型が成り立つ。

$$\mathcal{F}{|}_{U_i}\cong \widetilde{M_i}$$

局所的には加群にすぎない、という条件です。貼り合わせ方は自由なので、大域的には加群と呼べないものも入ってきます。

環付き空間の言葉で言えば、局所的に ${\mathcal{O}}_X$ の直和どうしの写像の余核として書ける層のことです^[2]。添字集合は無限でもよい。

判定条件

いちいち被覆をとり直さずに済む言い換えがあります。$X=\mathrm{Spec}A$ がアフィンのときの条件です。

$\mathcal{F}$ が準連接であることと、すべての $f\in A$ について次の自然な写像が同型であることが同値になります^[3]。

$$\mathcal{F}(X{)}_f\stackrel{\sim }{\to }\mathcal{F}(D(f))$$

左辺は大域切断を $f$ で局所化したもの、右辺は小さい開集合の上の切断です。「開集合を小さくすることと、分母を許すことが同じ」という条件になります。

準連接でない層を見つけるときは、この等式を壊せばよい。あとで実際に壊してみます。

アフィンでは加群と層が同じもの

判定条件を認めると、次の定理が出ます。アフィンスキームの上では、準連接層の圏と加群の圏が圏同値になります^[1]。

$$M\mapsto \tilde{M},\mathcal{F}\mapsto \Gamma (X,\mathcal{F})$$

この 2 つの関手が互いに擬逆です。加群の言葉で証明した命題は、そのまま層の言葉へ翻訳できます。

翻訳が効くので、アフィン上の議論はほとんど可換環論に帰着します。層らしい難しさが出るのは、貼り合わせたあとです。

開集合を小さくすると加群は大きくなる

判定条件の意味を、絵で見ておきます。

点を抜くたびに、その点で極をもつ関数が使えるようになります。開集合が痩せるほど、切断は太る。

準連接性とは、この太り方がちょうど局所化のぶんで済むという条件です。余計に太っても痩せてもいけません。

例: 構造層とイデアル層

いちばん近いところから並べます。

どれも $\tilde{M}$ の形が直接書けています。アフィンの上では、準連接層を作ることと加群を作ることが同じ作業です。

例: 局所自由層と直線束

貼り合わせで初めて出てくる例へ移ります。局所的に ${\mathcal{O}}_X^n$ と同型な層を、階数 $n$ の局所自由層といいます。

大域的には ${\mathcal{O}}_X^n$ と同型とは限りません。貼り合わせの部分に情報が入るためです。

射影直線 ${\mathbb{P}}^1$ で作ってみましょう。2 枚のアフィン開集合を $U_0=\mathrm{Spec}k[t]$、$U_1=\mathrm{Spec}k[t^{-1}]$ とします。

重なりの上で、$U_0$ 側の切断に $t^n$ を掛けて $U_1$ 側の切断へ移す。この規則で貼り合わせた階数 $1$ の層を $\mathcal{O}(n)$ と書きます。

$n=0$ なら構造層そのものです。$n\ne 0$ では構造層と同型になりません。大域切断の次元が変わるためです。

$n\ge 0$ のとき、大域切断は次数 $n$ 以下の多項式のなす空間で、次元は $n+1$ になります。$n<0$ では大域切断が $0$ だけ。

局所的には $1$ 次元、大域的には次元が $n$ で動く。この差が貼り合わせの効果です。

例: 無限直和

準連接層に有限性の条件はありません。無限個の直和も準連接です。

${⨁}_{i\in \mathbb{N}}{\mathcal{O}}_X$ を考えると、アフィン開集合の上では ${⨁}_{i}A$ という無限生成加群に対応します。局所化は直和と交換するので、判定条件が通ります。

一般の環付き空間ではこれが崩れます。無限直和が準連接とは限らない、という警告が付いています^[2]。

スキームに限れば安全です。準連接層の圏はアーベル圏になり、核も像も余核も準連接層のままです^[3]。

準連接でない層を作る

判定条件を壊してみましょう。$X=\mathrm{Spec}k[t]$、$U=D(t)$ とします。

$U$ の外側で茎が $0$ になるように、${\mathcal{O}}_U$ を $0$ で延長した層 $j_{!}{\mathcal{O}}_U$ を作ります。$U$ の上では ${\mathcal{O}}_X$ と同じで、原点での茎は $0$ です。

大域切断を計算します。$X$ 全体の切断は、原点の近くで $0$ になる $U$ 上の関数です。$k[t,t^{-1}]$ の $0$ でない元は原点の近くで消えないので、そのような切断は $0$ しかありません。

もしこれが準連接なら $\tilde{M}$ の形に書けます。$M=\Gamma (X,j_{!}{\mathcal{O}}_U)=0$ なので、層全体が $0$ でなければならない。

ところが $U$ の上では $0$ ではありません。矛盾するので、この層は準連接ではないと分かります。

$0$ による延長は、判定条件をきれいに壊す操作です。「小さい開集合のほうが切断が多い」の度が過ぎている、と読めます。

茎と台を計算する

$\tilde{M}$ の茎は局所化でした。この事実だけで、層の台がすぐに求まります。

$X=\mathrm{Spec}k[t]$、$M=k[t]/(t)$ としましょう。$M$ は原点に集中した加群です。

素イデアル $\mathfrak{p}=(t-a)$ で局所化します。$a\ne 0$ なら $t$ が $M_{\mathfrak{p}}$ の中で可逆かつ $0$ になるので、$M_{\mathfrak{p}}=0$ です。

$a=0$ では $M_{(t)}=k$ が残ります。生成点 $(0)$ でも $t$ が可逆になるので $0$ です。

したがって茎が $0$ でないのは原点だけ。台は 1 点になり、この層は原点の摩天楼層です。

加群の台と層の台が一致します。$\mathrm{Supp}M=V(\mathrm{Ann}M)$ という可換環論の公式が、そのまま幾何の言葉になっている。

完全列は茎ごとに見る

準連接層の圏がアーベル圏である、という主張の中身を計算で確かめます^[3]。

$X=\mathrm{Spec}k[t]$ の上で、$t$ 倍写像 ${\mathcal{O}}_X\to {\mathcal{O}}_X$ を考えましょう。加群の言葉では $k[t]\stackrel{t}{\to }k[t]$ です。

局所化は完全関手なので、核と余核はそれぞれ加群の核と余核から来ます。核は $0$、余核は $k[t]/(t)$ です。

$$0\to {\mathcal{O}}_X\stackrel{t}{\to }{\mathcal{O}}_X\to i_{0\ast }k\to 0$$

右端は原点の摩天楼層です。層の完全列が、加群の完全列と 1 対 1 に対応している。

アフィンでない場合も、アフィン開集合ごとにこの計算をして貼り合わせます。局所化の完全性が全体を支えています。

貼り合わせの図

$\mathcal{O}(n)$ がどう組み立てられているかを描いておきます。

重なりの上でどう掛け合わせるかだけが自由です。掛ける量を $t^n$ に選んだものが $\mathcal{O}(n)$ になります。

$t^n$ の代わりに $t^{n}u(t)$（$u$ は重なりの上の可逆元）を使っても、同型な層しか出ません。整数 $n$ だけが本質的な情報です。

$\mathcal{O}(n)$ の大域切断を数える

大域切断を実際に計算しましょう。$U_0$ 側で多項式 $f(t)$、$U_1$ 側で $g(t^{-1})$ をとります。

重なりの上で $f=t^{n}g$ が要求されます。$g={\sum }_{j\ge 0}{c}_j{t}^{-j}$ と書くと、$t^{n}g$ の項は $t^{n-j}$ の形です。

これが多項式であるには $n-j\ge 0$、つまり $j\le n$ が必要になります。

$n\ge 0$ なら $j$ は $0$ から $n$ まで動けるので、大域切断の次元は $n+1$ です。$n<0$ なら条件をみたす $j$ がなく、$g=0$ しかありません。

$${\dim }_k\Gamma ({\mathbb{P}}^1,\mathcal{O}(n))=\{\begin{array}{ll}n+1& (n\ge 0)\\ 0& (n<0)\end{array}$$

$\mathcal{O}(-1)$ には大域切断が $0$ しかない。局所的には ${\mathcal{O}}_X$ と同じ形なのに、貼り合わせのせいで大域では何も残りません。

ベクトル束としての読み方

階数 $n$ の局所自由層は、階数 $n$ のベクトル束と同じものです^[3]。

各点にベクトル空間が乗っていて、近くの点どうしで自然につながっている。層の言葉では、局所的に ${\mathcal{O}}_X^n$ と同型ということです。

$\mathcal{O}(n)$ は階数 $1$ なので直線束と呼ばれます。${\mathbb{P}}^1$ 上の直線束は、同型を除いて整数 $n$ で尽くされます。

局所自由層はいつでも連接層です。逆は成り立たず、摩天楼層は連接でも局所自由ではありません。台が 1 点に潰れているためです。

連接層との違い

有限性を課したものが連接層です。2 つの条件の差を並べます。

ネーター的なら、連接層は局所的に有限生成加群に対応する層と一致します^[4]。この条件の下では、有限生成と有限表示が同じことになるためです。

幾何の対象としては、連接層が有限次元的なものにあたります。準連接層はその外側まで含んだ広い枠です。

用語の対応

英語の資料を読むときのために、名前を並べておきます。

日本語の「準」は quasi の訳です。連接の一歩手前、という語感になっています。

引き戻しは準連接性を保つ

射に沿って層を動かす操作のうち、引き戻しは扱いやすい側です。

$f:X\to Y$ を射、$\mathcal{G}$ を $Y$ 上の準連接層とすると、引き戻し $f^{\ast }\mathcal{G}$ は $X$ 上の準連接層になります^[2]。

アフィンどうしで見ると、テンソル積そのものです。$\phi :B\to A$ に対応する射なら、$\tilde{N}$ の引き戻しは $\widetilde{N{\otimes }_{B}A}$ です。

局所的な計算だけで済むので、条件なしに準連接性が保たれます。押し出しのほうは射に条件が要り、そこから先は別の話になる。

練習

よくある誤り

最後にまとめます。

判定条件に戻れば、どれも短く決着します。局所化と切断が食い違っていないか、そこだけを見る。

参考文献